計算機組成原理 主編： 石磊 教授 鄭州大學信息工程學院計算機系 2 第一章 概述 第二章 計算機中的數據表示 第三章 運算方法和運算器 第四章 存儲器及存儲系統 第五章 指令系統 第六章 中央處理器 第七章 總線系統 第八章 輸入輸出系統 第九章 計算機外部設備 第十章 計算機系統及發展 目錄 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 3頁 第 3章 運算方法和運算器 計算機組成原理 清華大學出版社教學目標 教學重點 教學過程 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 4頁 教學目標 理解和掌握數據在運算器中的基本運算方法 理解運算器的核心部件 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 5頁 教學重點 運算器的核心部件 定點數和浮點數四則運算 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 6頁 教學過程 點數的加減運算 點乘法運算 點除法運算 點運算器的組成和結構 點算術運算方法和浮點運算器 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 7頁 計算機進行算術運算的特點 (1)所有數據都是用二進制數位形式來表示的。 (2)在計算機內部數以編碼形式即機器數來表示的。 (3)機器運算用電子設備實現，電子設備規模有限，因而機器運算要解決運算方法、數據表示格式及數據長度的選取、規定等問題。 (4)用計算機進行運算時，都要把復雜的運算，簡化為一系列最基本的運算才能實現。計算機可以實現的基本運算有算術運算 (加、減、乘、除等 )和邏輯運算 (與、或、異或等 )。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 8頁 點數的加減運算 碼加減運算規則 碼加減運算規則 本的二進制加法 /減法器 法運算及其加速方法 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 9頁 碼加減運算 對兩個數進行加減運算時，計算機的實際操作時加還是減，不僅取決于指令的操作碼，還取決于兩個操作數的符號。 當原碼加減運算時，符號位并不參加運算，只有兩數的絕對值參加運算。首先要判斷參加運算的兩個操作數的符號，再根據操作的要求決定進行相加還是相減運算，最后還要根據兩個操作數絕對值的大小決定結果的符號，整個運算過程比較復雜。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 10頁 碼加減運算 在大多數計算機中，通常只設置加法器而不設置減法器，減法運算將轉換為加法運算來實現。原碼運算時，用 |X|+|Y|補來代替 |X|-|Y|。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 11頁 碼加減運算 原碼加減運算規則如下： 參加運算的操作數取其絕對值。 若做加法，則兩數直接相加，若做減法，則將減數先 變一次補，再進行加法運算。 運算之后，可能有兩種情況： 若有進位，結果為正，即得到正確的結果。 若無進位，結果為負，則應再變一次補，才能得到正確的結果。 結果加上符號位。 通常，把運算之前的變補稱為前變補，運算之后的變補稱為后變補。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 12頁 碼加減運算 在大多數計算機中，通常只設置加法器而不設置減法器，減法運算將轉換為加法運算來實現。原碼運算時，用 |X|+|Y|補來代替 |X|-|Y|。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 13頁 補碼加法 補碼加法的公式是 x補 +y補 = + 補 在模 2意義下，任意兩數的補碼之和等于該兩數之和的補碼 這是 補碼加法的理論基礎 ，其結論也適用于定點整數 例： x 補 y 補 x 補 y 補 + 補 所以 例： x 補 y 補 x 補 y 補 + 補 所以 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 16頁 補碼減法 負數的減法運算可以轉化為加法來做，它可以和常規的加法運算使用同一加法器電路，從而簡化了計算機的設計 數用補碼表示時，減法運算的公式為 補 x補 -y補 x補 - 2 2 例 ： 已知 1 2 ： ， ， ， 例： + + x補 y補 x 補 補 補 所以 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 19頁 溢出概念與檢驗方法 兩個正數相加 ,結果為負（即： 大于機器所能表示的最大正數 ） ,稱為 上溢 。 兩個負數相加 ,結果為正（即： 小于機器所能表示的最小負數 ),稱為 下溢 。 運算出現溢出，結果就是錯誤的 例 求 。 解 : 補 補 補 補 補 兩正數相加，結果為負，顯然錯誤。 運算中出現了“ 上溢 ” 有進位 無進位 又例 求 。 解 : 補 補 補 補 補 正數相加，結果無溢出 無進位 無進位 例 求 。 解 : 補 補 補 補 補 負數相加，結果為正，顯然錯誤。 運算中出現了“ 下溢 ” 無進位 有進位 又例 求 。 解 : 補 補 補 補 補 負數相加，結果為負，無 溢出。 有進位 有進位 進一步結論 ： 當最高有效位產生進位而符號位無進位時 ,產生 上溢 ； 當最高有效位無進位而符號位有進位時 ,產生 下溢 。 產生 “ 溢出 ” 的原因 ： 分析可知，當最高有效數值位的運算 進位 與符號位的運算 進位 不一致時，將產生運算 “ 溢出 ” “溢出”檢測方法 為了判斷 “ 溢出 ” 是否發生 ,可采用 兩種 檢測的方法 。 第一種方法 ： 采用 雙符號位 法 , 稱為 “ 變形補碼 ” 或“ 模 4補碼 ” ,可使模 2補碼所能表示的數的范圍擴大一倍 第二種溢出檢測方法 ： 采用 “ 單符號位法 ” 。 當最高有效位產生進位而符號位無進位時 ,產生 上溢 ； 當最高有效位無進位而符號位有進位時 ,產生 下溢 。 故： 溢出邏輯表達式為 ： V 中 : 進位。（顯然：此邏輯關系可用異或門方便地實現） 在定點機中，當運算結果發生溢出時 ,機器通過邏 輯電路自動檢查出溢出故障 ,并進行中斷處理。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 26頁 碼加減運算規則 （ 1/4） 公式總結： X+Y補 =X補 +Y補 =X補 + 例 3X=Y= X+Y補 解： X補 =Y補 =X+Y補 = X補 +Y補 = 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 27頁 碼加減運算規則 （ 2/4） 例 3X=Y= 解： X補 = 補 = = X補 + = 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 28頁 碼加減運算規則 （ 3/4） 溢出及處理：補碼加減運算可能溢出，為判斷，采用變形補碼形式 判斷溢出的原則：以兩位符號位表示數的符號。當兩符號位不同時，溢出；兩符號位相同時，無溢出。無論是否發生溢出，最高符號位代表真正的符號。 變形補碼的加減法，同樣是兩個符號位都看作數值位參加運算，最高符號位產生的進位丟掉。 X+Y 變補 =X 變補 +Y 變補 變補 =X 變補 +變補 例 3X=Y= X+Y補 解： X變補 = Y 變補 = X+Y 變補 = X+Y補 = 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 29頁 碼加減運算規則 （ 4/4） 例 3X=Y= X+Y補 解： X 變補 = Y 變補 = X+Y 變補 = 算結果的兩符號位是 01，不相同，發生溢出，因第一符號位是 0，代表正數， 這種溢出為“正溢出”。 例 3X=Y= X+Y補 解： X 變補 = Y 變補 = X+Y 變補 = 果的兩符號位是 10，不相同，發生溢出，因第一符號位是 1，代表負數， 所以稱這種溢出為“負溢出”。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 30頁 本的二進制加法 /減法器 在計算機中完成兩個二進制數相加的基本加法器有半加器和全加器。半加器在完成兩數相加時，不需要考慮低位進位。全加器用來完成兩個二進制數相加，并且同時考慮低位的進位，即全加器完成三個一位數相加的功能。 設： 為第 i+1位產生的進位 則全加器以 、 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 31頁 本的二進制加法 /減法器 圖 3加器邏輯圖 i i i i i+1 輸 出 輸 入 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 表 3加器真值表 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 32頁 本的二進制加法 /減法器 全加器的表達式為： = 一位全加器內部邏輯圖 B C i+1 A B C A i 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 33頁 本的二進制加法 /減法器 利用全加器可以實現兩數的和或差 1、串行加法：從低位開始，每步只完成一位運算的加法。 串行加法器只需要一個全加器和一個進位觸發器 計算兩個 要 n+1步（ 1位符號位），或n+2步（ 2位符號位）運算。 高位運算只有等低位運算完成后才能進行，速度較慢 2、并行加法器：可在同一時刻完成 若采用變形補碼表示一個機器數，則符號位需 2位，這時需要 n+2個加法器。 運算速度比串行進位加法器高很多，這是用足夠多的硬件設備換來的。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 34頁 本的二進制加法 /減法器 圖 3波進位補碼加法 /減法器 A A 0 1 0 1 0 溢出 控制 M=1 減 M=0 加 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 35頁 法運算及其加速方法 在計算機技術發展過程中，人們提出了各種各樣提高運算速度的方法： 、從計算機系統結構角度，提出了并行處理、流水線等方式； 、運算電路特別是用高速化的邏輯電路實現加法和移位功能； 、運算方法和邏輯結構的高速化。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 36頁 法運算及其加速方法 1一級分組先行進位法 （ 1）相鄰 4位加法器單元邏輯（第 i+開： i=i i I*，最后一項的前四個因子記為 則， 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 37頁 四位一組先行進位全加器 + + + i i 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 38頁 一級分組先行進位及組間行波進位 14 1 (2 4 5 8 11 12 2 2 1 第 3組先行 進位加法器 第 2組先行 進位加法器 第 1組先行 進位加法器 第 0組先行 進位加法器 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 39頁 法運算及其加速方法 2 二級分組先行進位法 仿一級分析法： + 1) + 3*(1 ) + 7* + 7*1 ) + 11* + 11*3*(1 ) 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 40頁 法運算及其加速方法 圖 4片 4位先行加法器構成的 16位快速進位加法器邏輯示意圖 C 0 1 I+0 12 8 4 0 12 8 4 0 中組 (包括四小組 )加法器 5 10 I+2 14 15 一級先行進位 第 3組 一級先行進位 第 2組 一級先行進位 第 1組 一級先行進位 第 0組 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 41頁 點乘法運算 實現乘除法運算的方案： 1、當使用乘除運算較多，速度要求高時，用硬件直接實現； 2、一般情況，配置乘除法選件； 3、對速度要求不高的機器，用軟件實現。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 42頁 碼一位乘法 （ 1/5） 算法描述 設 X原 = iX 1Y原 = iY 1乘積 Z原 = ( 運算步驟 (1) 從乘數的最低位開始，用乘數 ，若 B 的某個二進制位為 1，則得位積 A；如為 0，則得位積 0。 (2) 的所得的位積，因為位權不同，逐次向左移位，即在空間上按一定位數錯開，這樣逐位進行下去，直到乘數各位都乘完為止。 (3) 把經過移位對準的各次位積相加起來即得結果。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 43頁 碼一位乘法 （ 2/5） 缺點 (a)將多個數一次相加，機器難以實現。一般的加法器，只能把兩個輸入數相加，多個位積的同時輸入是無法實現的。 (b)乘積位數增長一倍，即 2n，而機器字長只有 改進 (a)把一次求和操作，變成逐步累加求部分積的操作。 (b)將求積過程中逐位按權左移位積的操作，改為位積不動，而是上次部分積右移的操作。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 44頁 碼一位乘法 （ 3/5） 手算方法 例如 求 A= 機器算法 若用 0 2 2 2A + 2 和 AB=求得乘積位左移位左移位左移不移位乘數被乘數0 1 0 0 1 1 1 0 02221 1 0 11121 1 0 10200 0 0 00 1 1 1 0 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 45頁 碼一位乘法 （ 4/5） 例 3已知 X=Y= X Y原 解： X原 =Y原 =X| = |Y| = 原碼一位乘法運算規則，求 X Y原 的數值部分。 |X| |Y| = 而 1 0 =1 最后求得 X Y原 = 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 46頁 例 3 位乘法運算過程 +） 0. 0 0 0 0 +） 0. 0 0 0 0 +） 0. 1 0 1 1 +） 0. 1 0 1 1 0. 0 0 0 1 0. 0 1 1 0 0. 1 1 0 0 0. 0 0 1 0 0. 0 0 1 0 0. 0 1 0 1 0. 0 1 0 1 0. 1 0 1 1 0. 0 0 0 0 右移一位得部分積 數同時右移一位 右移一位得部分積 數同時右移一位 右移一位得部分積 數同時右移一位 右移一位得部分積 數同時右移一位 ，加 |X| ，加 0 ，加 0 ，加 |X| 設部分積初值 操作說明 乘 數 部 分 積 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 低 位 積 高 位 積 例 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 47頁 原碼一位乘法邏輯結構原理圖 1 S R 分積 Z 乘數 Y 計數器 i Y/2Y / 2Z 乘法啟動 n 1 s 1 , 2 被乘數 X 加數器 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 48頁 碼一位乘法 （ 5/5） 工作原理 （ I） 乘法開始時，“啟動”信號使控制觸發器 1”，于是開啟時序脈沖 T。 （ 當乘數寄存器 1”時，部分積 在加法器中相加，其結果輸出至 （ 旦打入控制脈沖 制信號 此同時， 計數器 （ 計數器 i=數器的溢出信號使觸發器 0”，關閉時序脈沖 T， 乘法宣告結束。 若將 1連接起來，乘法結束時乘積的高 0，低 1， 由于移位而全部丟失。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 49頁 碼一位乘法 X 補 與真值的關系： 設 X補 = n，則有設 X補 = 2X 證明：當 X補 = 2X=X 當 X補 = 2+X=2X（根據定義） 由此可得： X =X補 2 - 0 n 即 ，真值 X=X補 ； ，真值 X= n 故可推出，當 （ n） =X（ 0 n） 以得到： X Y補 = X補 ( n) + 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 50頁 碼一位乘法 校正法的思想： 先將任意兩個補碼 X補 、 Y補 看作是一般的二進制數，仍按原碼運算規則求得 X補 Y補 ，然后對其結果加以校正，而獲得 X Y補 之值。 當乘數 原碼乘法相似，只是在部分積相加、右移操作時， 按補碼性質進行；當乘數為負時，先不考慮乘數的符號，將乘數補碼的數值部分與被乘數相乘；最后進行校正操作，即加上 。 設 Y補 = n ，我們用一個公式表示補碼校正法的算法規則： X Y補 = X補 ( n) + 時， X Y補 = X補 ( n) 當 時， X Y補 = X補 ( n) + 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 51頁 碼一位乘法 布斯夫婦提出，又稱 對校正法的改進，不論乘數為正為負，符號位都參加運算，其運算規則統一。 假設 X、 X補 和 Y 補 = n，都是任意符號表示的數。求新的部分積，取決于兩個比較位的數位，即 布斯乘法規則： （ 1）設置附加位 =0，部分積初值 補 =0。 （ 2）當 n0時，判 ，若 =00或 11，即相鄰位相同時，上次部分積右移一位，直接得部分積。 若 =01，上次部分積加 X補 ，右移一位得新部分積 若 =10，上次部分積加 ，右移一位得新部分積 （ 3）當 n=0時，判 （對應于 運算規則同（ 1）只是不移位。即在運算的最后一步，乘積不再右移。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 52頁 碼一位乘法 例 3X補 =Y補 =X Y 補 解： 補 = X Y 補 = 算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 53頁 表 3 3+) 1 1 0 1 1 1 +) 0 0 1 0 0 1 +) 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 右移一位得部分積 右移一位得 右移一位得 =10， + =11，右移一位得 =01， +X補 =10， + =11，最后一步不移位 設部分積初值 ，附加位 =0 操作說明 乘 數 附加位 部 分 積 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 低 位 積 高 位 積 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 54頁 碼兩位乘法 為了提高乘法的執行速度 ， 可以選用兩位乘法的方案 。 所謂兩位乘法 ， 就是每次處理乘數中的兩位 ， 從而使乘法的速度提高了一倍 。 為了簡單起見 ， 這里只介紹補碼兩位乘法 。 可以根據前面介紹的 即把補碼兩位乘理解為將 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 55頁 假定上次乘法的部分積表示為 Z補，本次的部分積表示為 Z 補 ，則有： Z補 =2Z補 +（ - X補 Z 補 =2 Z補 +（ X補 =22Z補 +（ - X補 +（ X補 =2Z補 +（ - X補 +2（ X補 =2Z補 +（ + 2X補 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 56頁 判斷位 操 作 說 明 0 0 0 原部分積 +0，右移兩位 0 0 1 原部分積 +X補 ，右移兩位 0 1 0 原部分積 +X補 ，右移兩位 0 1 1 原部分積 +2X補 ，右移兩位 1 0 0 原部分積 +2 ，右移兩位 1 0 1 原部分積 + ，右移兩位 1 1 0 原部分積 + ，右移兩位 1 1 1 原部分積 +0，右移兩位 表 3補碼兩位乘法操作 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 57頁 被乘數和部分積取 3個符號位，當乘數的數值位 數取 2個符號位，共需做 n/2+1次累加， n/2次移位（最后一次不移位）；當 數只需 1個符號位，共需 (n+1)/2次累加和移位，但最后一次僅移一位。 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 58頁 例 3知 X=Y= X Y。 解： X補 =B， Y補= ， 0A 。 2X補 =2 = 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 59頁 A C 附加位 說明 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 + 2 - X 補1 1 1 . 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 . 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 . 1 1 0 0 1 1 0 + 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 . 1 1 0 0 1 1 0 2 1 1 1 . 1 1 1 1 0 0 1 + X 補0 0 0 . 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 . 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 . 0 0 0 1 0 1 1 + - X 補1 1 1 . 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 . 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 . 1 1 0 1 1 0 0 1 . 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 , + 2 - X 補 部分積右移兩位 1 1 1 , + 0 部分積右移兩位 0 0 1 , + X 補 部分積右移兩位 1 1 0 , + - X 補 最后一次右移一位 所以 X Y補 = Y=算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 60頁 至此，介紹了原碼、補碼一位乘法和補碼兩位乘法，對于初學者來說，往往會在運算次數、符號位取多少位、符號位是否參加運算等問題上出錯，為了幫助大家記憶，特將這 3種乘法運算的上述問題統一列于表3 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 61頁 乘法類型 符號位 累加次數 移位 參與運算 部分積 乘數 方向 次數 每次位數 原碼一位乘法 否 2 0 n 右 n 1 補碼一位乘法 是 2 1 n+1 右 n 1 補碼兩位乘法 是 3 2( n/2+1 右 n/2 2 1( (n+1)/2 右 (n+1)/2 2(最后一次移 1位 ) 表 3乘法運算總結 計算機組成原理 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 62頁 列乘法器 為了進一步提高乘法運算的速度，可采用高速乘法模塊組成的陣列乘法器。設有兩個不帶符號的二進制整數 102102 101010)( 22)( 第三章運算方法和運算器 2015年 12月 17日 第 63頁 例 3 例如： m=n=5時， P 9 P 8 P