.1. 二階行列式-對角線法則 : a11 a12a21 a22= a11a22 -a12a212. 三階行列式 對角線法則 按行（列）展開法則3. 全排列：n個不同的元素排成一列。 所有排列的種數用Pn 表示， Pn = n！ 逆序數：對于排列p1 p2 pn，如果排在元素pi前面，且比pi大的元素個數有ti個，則pi這個元素的逆序數為ti。 整個排列的逆序數就是所有元素的逆序數之和。 奇排列：逆序數為奇數的排列。偶排列：逆序數為偶數的排列。n個元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n!2 對換：一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.4. 其中：j1j2j3 是1,2,3的一個排列， t(j1j2j3)是排列 j1j2j3 的逆序數5. 下三角行列式:副三角跟副對角相識 對角行列式： 副對角行列式：6. 行列式的性質：行列式與它的轉置行列式相等. （轉置：行變列，列變行）。D = DT互換行列式的兩行（列），行列式變號。 推論 ：兩行（列）相同的行列式值為零。 互換兩行：ri rj 行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一個數k，等于用數 k 乘此行列式。第i行乘k：ri x k 推論 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面行列式中如果有兩行（列）元素成比例 ，則此行列式等于0若行列式的某一列（行）的元素都是兩個元素和，則此行列式等于兩個行列式之和。如：把行列式的某行（列）的各元素同一倍數后加到另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變。如第j列的k倍加到第i列上：ci+kcj7. 重要性質：利用行列式的性質 ri+krj 或 ci+kcj ，可以把行列式化為上（下）三角行列式，從而計算n階 行列式的值。（P11頁例7）8. 行列式按行（列）展開法則（*重要*） 重要概念： 余子式：在 n 階行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列劃去, 剩下的( n 1 )2 個元素按原來的排法構 成的 n 1 階行列式 叫做aij 的余子式，記為Mij 代數余子式：記 Aij = ( 1 ) i+j Mij 為元素 aij 的代數余子式 。 重要性質，定理 1）第i行各元素的余子式，代數余子式與第i行元素的取值無關?；?2）行列式按行（列）展開法則：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和， 即： 推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零. 即 或 使用該法則計算行列式的值：先選取存在最多0的行（列），從該行選取一個非0元素aij，并將該行其他元素 通過性質化為0，則D = aij Aij 9. 利用Cramer法則求解n個n元線性方程組：若非齊次線性方程組的系數行列式不等于零，則方程組有唯一解。等于0，則無解其中 Dj(j=1,2n) 是把系數行列式中的第j列的元素用方程組右邊的常數項代替后所得到的的n階行列式即：對于齊次線性方程組，如果系數行列式D 0，則該方程組只有零解，若D = 0，則存在非零解。第二章1. 矩陣相關的概念： 矩陣：由 mn 個數 aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的 m 行 n 列的數表(是一組數)。 行（列）矩陣：只有一行（列）的矩陣，又稱為行（列）向量。 同型矩陣：行數，列數均相等的兩個矩陣 A=B ： 矩陣A和矩陣B為同型矩陣，且對應的元素相等。 零矩陣：所有元素為0的矩陣，記為O，不同型的零矩陣是不相等的。 對角矩陣：對角線元素為，其余元素為0的方陣 單位矩陣：對角線元素為，其余元素為0的方陣， 2. 矩陣的運算1）加法：只有兩個矩陣為同型矩陣時，才能進行加法運算。A+B等于對應元素相加起來。滿足交換律和結合律2）數與矩陣相乘，3）矩陣與矩陣相乘：要求前一個矩陣的列數等于后一個矩陣的行數；AmsBsn 乘積矩陣的行數為前一個矩陣的行數，列數為后一個矩陣的列數；Cmn 即：乘積矩陣的第行，第列元素為前一個矩陣的第行元素與后一個矩陣的第行元素對應相乘再相加。注意：一般情況下：AB BA。 但是滿足結合律和分配律。 EA = AE = A4）矩陣的冪：若 A 是 n 階方陣，則：A2=AA A3=AA2 Ak=AAk-1 顯然： A、B可交換時才成立 3. 矩陣的轉置：把矩陣 A 的行換成同序數的列得到的新矩陣，記作AT .如：性質：設A為n階方陣，如果滿足 A= AT，即aij=aji ，則A為對稱陣如果滿足 A= -AT，即aij=-aji ，則A為反對稱陣4. 方陣的行列式：由 n 階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或det A.性質：，。5. 伴隨矩陣：其中Aij是aij的代數余子式，稱為的伴隨矩陣。（特別注意符號）注意：元素aij的代數余子式Aij是位于A*的第j行第i列（類似于轉置）性質：AA*= A*A= AE 6. 逆矩陣：對于n 階方陣 A，如果有 n 階方陣 B，使得AB = BA = E，則稱A可逆， B為A的逆矩陣，記為A-1。且A的逆矩陣是唯一的。 判斷方陣A是否可逆：A 0 A可逆，且逆矩陣A-1= 1AA*A = a bc d - A-1=1ad-bcd -b-c a 推論：若A 0，則A-1= 1A*。此時稱A為非奇異矩陣。若A=0，則稱A為奇異矩陣。二階矩陣的逆矩陣：主對角線兩數對調，副對角線兩數反號。單位矩陣E是可逆的 E= E-1。零矩陣是不可逆的。對角矩陣的逆矩陣：對角線上每個元素取倒數。推論：如果 n 階方陣A、B可逆，那么A-1、AT 、 A (0)、AB也可逆 （5）A-1= A-1 且： 用逆矩陣求解線性方程組：已知 AXB=C，若AB可逆，則 X= A-1CB-1（A在X左邊，則A-1必須在C左邊，B也如此）7. 矩陣分塊法：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進行分塊； 每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.分塊矩陣的運算：（其運算與矩陣運算基本一致） 1）加法：要求矩陣A和B是同型矩陣，且采用相同的分塊法(即相對應的兩個子塊也是同型的) 2）分塊矩陣A的轉置AT：除了A整體上需轉置外，每一個子塊也必須得轉置。8. 分塊對角矩陣：設 A 是 n 階矩陣，若：A 的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣對角線上的子塊都是方陣則稱A為分塊對角矩陣。性質：| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，則 | A | 0，并且分塊副對角矩陣：O AB O-1= O B-1A-1 O A = O 的充分必要條件：ATA= O第三章1. 初等行變換：（運算符號：）- 注意與行列式的運算加以區分互換兩行，記做rirj 第i行乘以非0常數k，記做rik 第j行的k倍加到第i行上，記做ri+krj2. 若矩陣A經過有限次初等變換成矩陣B，則稱A與B等價，記做AB AmnBmn的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B3. 矩陣之間等價關系的性質：反身性：AA 對稱性：若AB，則BA 傳遞性：若AB，BC，則AC4. 行階梯形矩陣：1）可畫出一條階梯線，線的下方全為零；2）每個臺階只有一行；3）階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素. 行最簡形矩陣：4）非零行的首非零元為1;5）首非零元所在的列的其它元素都為零.5. 初等矩陣：由單位矩陣 E 經過一次初等變換得到的矩陣。（是可逆的）1）單位矩陣對換i，j行，記作 Em(i,j)Em(i,j)-1= Em(i,j)2）以常數 k0 乘單位矩陣第 i 行（列）， 記作Em(i(k)Em(i(k)-1=Em(i(1k)3）以 k 乘單位矩陣第 j 行加到第 i 行，記作Em(i,j(k)Em(i,j(k)-1=Em(i,j(-k)性質1：左行右列設A是一個 mn 矩陣，對 A 施行一次初等行變換，相當于在 A 的左邊乘以相應的 m 階初等矩陣；對 A 施行一次初等列變換，相當于在 A 的右邊乘以相應的 n 階初等矩陣.性質2：方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl rr推論：方陣 A 可逆的充要條件是如果AB ，則存在可逆矩陣P，使PA = B。 (A,E)(B,P)：即當A變換成B是時，E變為P（求P）求方陣A的逆矩陣 方法總結：方法1：判斷A可不可逆：若A0 A可逆 - 書中P41頁r A-1= 1AA* ：注意伴隨矩陣里每個代數余子式對應的符號r方法2：本身蘊含了判斷A可不可逆的條件，即 A E A可逆 - 書中P64頁例2 (A,E)(E,A-1) ：即對矩陣 (A,E) 進行初等行變換，當A變成E時，E就變成了所求的 A-1r求A-1B：該方法用來求方程組 AX= B X= A-1B - 若XA= B，可先化為 ATXT= BT方法：A,B (E,A-1B) ：即對矩陣 (A,B) 進行初等行變換，當A變成E時，B就變成了所求的 A-1B二、 矩陣的秩1. k階子式：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，k n)，位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式mn 矩陣A的k階子式共有 Cmk Cnk 個2. 矩陣的秩：設矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣A 的最高階非零子式，數 r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A)。零矩陣的秩等于0。常用：1）對于n階方陣A，R(A) = n (稱A滿秩) A0 A可逆求秩方法：將矩陣化為行階梯形矩陣2）若 AB，則R(A) = R(B)3）對于行階梯形矩陣，它的秩等于非零行的行數4）RAT=R(A)5）若P、Q可逆，則R(PAQ) = R(A) (ABPAQ=B) 即：可逆矩陣與任何矩陣A相乘，都不會改變所乘矩陣A的秩6）max R(A), R(B) R(A, B) R(A) + R(B)當B = b為非零列向量時，R(A) R(A, B) R(A) +7）R(A+B) R(A) + R(B)8）R(AB) minR(A), R(B)3. 線性方程組的解 n元非齊次線性方程組 Ax= b - P75頁例13 P79頁17題有唯一解 RA=RA,b=n有無限解 RA=RA,bn1）無解 RAR(A,b)2）有解 RA=R(A,b) n 元齊次線性方程組 Ax= b有非零解 R(A ) n第四章一、向量組及線性組合1. n 維向量：n 個有次序的數 a1 , a2 , , an 所組成的數組。這 n 個數稱為該向量的 n個分量，第 i 個數 ai 稱為第 i 個分量2. 向量組：若干個同維數的列向量（行向量）所組成的集合3. 給定向量組 A：a1, a2, , am ，對于任何一組實數k1, k2, , km ，表達式 k1a1 + k2a2 + + km am 稱為向量組 A 的一個線性組合。k1, k2, , km 稱為這個線性組合的系數4. 給定向量組 A：a1, a2, , am 和向量 b，如果存在一組實數 l1, l2, , lm ，使得b = l1a1 + l2a2 + + lm am 則向量 b 是向量組 A 的線性組合，這時稱向量 b 能由向量組A 的線性表示 向量 b 能由向量組A 的線性表示 R(A) = R(A, b) 方程組x1a1 + x2a2 + + xm am = b 有解5. 設有向量組 A：a1, a2, , am 及 B：b1, b2, , bl ， 若向量組 B 中的每個向量都能由向量組 A 線性表示， 則稱向量組 B 能由向量組 A 線性表示若向量組 A 與向量組 B 能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價 兩個向量組等價 R(A) = R(B) = R(A, B)6. 向量組 B能由向量組 A 線性表示 存在矩陣K，使B = AK 矩陣方程AX=B有解 R(A) = R(A,B) R(B) R(A) （這是必要條件）二、向量組的線性相關性1. 給定向量組 A：a1, a2, , am ，如果存在不全為零的實數 k1, k2, , km ，使得k1a1 + k2a2 + + km am =0（零向量） 則稱向量組 A 是線性相關的，否則稱它是線性無關的2. 只含一個向量a的向量組A，當a = 0時，A線性相關； a 0時，A線性無關 只含兩個向量a1, a2的向量組A，線性相關 a1, a2 的分量對應成比例。 向量組A：a1, a2, , am(m2)線性相關 向量組A中至少存在一個向量能由其余m-1個向量線性表示。3. 向量組A線性相關 m 元齊次線性方程組Ax = 0有非零解 R(A) m 向量組A線性無關 m 元齊次線性方程組Ax = 0只有零解 R(A) = m4. n維單位坐標向量組E：e1, e2, , en ，是線性無關的，且是最大的線性無關組之一。 維單位坐標向量組E：e1, e2, , en能由向量組A：a1, a2, , am 線性表示. R(A) = n5. 定理1）若向量組 A ：a1, a2, , am 線性相關， 則向量組 B ：a1, a2, , am, am+1 也線性相關其逆否命題也成立，即若向量組 B 線性無關，則向量組 A 也線性無關2）m 個 n 維向量組成的向量組，當維數 n 小于向量個數 m 時，一定線性相關特別地， n + 1個 n 維向量一定線性相關3）設向量組 A ：a1, a2, , am 線性無關， 而向量組 B ：a1, a2, , am, b 線性相關，則向量 b 必能由向量組 A 線性表示，且表示式是唯一的三、向量組的秩1. 設有向量組 A ，如果在 A 中能選出 r 個向量a1, a2, ,ar，滿足向量組 A0 ：a1, a2, , ar 線性無關； 向量組 A 中任意 r + 1個向量（如果 A 中有r + 1個向量的話）都線性相關； 那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個最大線性無關向量組，簡稱最大無關組 最大無關組所含向量個數 r 稱為向量組 A 的秩，記作RA 。RA 向量組A中向量的個數只含零向量的向量組沒有最大無關組，秩 = 0。2. 向量組 A 和它自己的最大無關組 A0 是等價的 推論：向量組A0線性無關；向量組 A 中任意一個向量都能由向量組 A0 線性表示；那么稱向量組 A0 是向量組 A 的一個最大無關組3. 全體 n 維向量構成的向量組記作Rn，向量組E是Rn的一個最大無關組，且Rn的秩等于n4. 矩陣的秩等于它的列（行）向量組的秩5. 矩陣初等變換后保持列向量組之間的線性關系。 如：向量組A ：a1, a2, a3 , a4, a5，假設A0：a1，a2，a4是一個最大無關組，把a3 , a5用a1，a2，a4線性表示：可以看出：b3 = b1 b2 b5 = 4b1 + 3b2 3b4所以a3 = a1 a2 a5 = 4a1 + 3a2 3a4 四、線性方程組的解的結構1. 設有齊次線性方程組 Ax = 0 ，如果x1 = x11， x 2= x21，.， x n= x n為該方程組的解，則稱 為方程組的解向量2. 性質：若 x = x 1， x = x 2 是齊次線性方程組 Ax = 0 的解，則 x = x 1