2017年普通高等學校招生統一考試（全國II卷）理科數學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1ABCD【答案】D2設集合，若，則ABCD【答案】C【解析】試題分析：由得，即是方程的根，所以，故選C【考點】 交集運算、元素與集合的關系【名師點睛】集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性兩個防范：不要忽視元素的互異性；保證運算的準確性3我國古代數學名著算法統宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈A1盞B3盞C5盞D9盞【答案】B4如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為ABCD【答案】B【解析】試題分析：由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積，故該組合體的體積故選B【考點】 三視圖、組合體的體積【名師點睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解5設，滿足約束條件，則的最小值是ABCD 【答案】A6安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A12種B18種C24種D36種【答案】D【解析】試題分析：由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種 故選D【考點】 排列與組合、分步乘法計數原理【名師點睛】（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：按元素(或位置)的性質進行分類；按事情發生的過程進行分步具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配在分組時，通常有三種類型：不均勻分組；均勻分組；部分均勻分組注意各種分組類型中，不同分組方法的求解7甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據以上信息，則A乙可以知道四人的成績B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對方的成績D乙、丁可以知道自己的成績【答案】D8執行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的A2B3C4D5【答案】B9若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為A2BCD【答案】A【解析】試題分析：由幾何關系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，即，整理可得，雙曲線的離心率故選A【考點】 雙曲線的離心率；直線與圓的位置關系，點到直線的距離公式【名師點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式；只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2c2a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)10已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為ABCD【答案】C11若是函數的極值點，則的極小值為ABCD1【答案】A【解析】試題分析：由題可得，因為，所以，故，令，解得或，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極小值為，故選A【考點】 函數的極值、函數的單調性【名師點睛】（1）可導函數yf(x)在點x0處取得極值的充要條件是f (x0)0，且在x0左側與右側f (x)的符號不同學*；（2）若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數，即在某區間上單調增或減的函數沒有極值12已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小是ABC D【答案】B解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13一批產品的二等品率為，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數，則_【答案】【解析】試題分析：由題意可得，抽到二等品的件數符合二項分布，即，由二項分布的期望公式可得【考點】 二項分布的期望與方差【名師點睛】判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：是否為n次獨立重復試驗，在每次試驗中事件A發生的概率是否均為p；隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數，且表示在獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率14函數的最大值是_【答案】115等差數列的前項和為，則_【答案】【解析】16已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點若為的中點，則_【答案】6【解析】試題分析：如圖所示，不妨設點M位于第一象限，設拋物線的準線與軸交于點，作與點，與點，由拋物線的解析式可得準線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結合題意，有，故【考點】拋物線的定義、梯形中位線在解析幾何中的應用【名師點睛】拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯系起來，那么用拋物線定義就能解決問題因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分17（12分）的內角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為，求【答案】（1）；（2） “邊轉角”“角轉邊”，另外要注意三者之間的關系，這樣的題目小而活，備受命題者的青睞18（12分）海水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100 個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）其頻率分布直方圖如下：（1）設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：“舊養殖法的箱產量低于50kg，新養殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；（2）填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：箱產量50kg箱產量50kg舊養殖法新養殖法（3）根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值（精確到0.01）附：， 【答案】（1）；（2）有的把握認為箱產量與養殖方法有關；（3）【考點】 獨立事件概率公式、獨立性檢驗原理、頻率分布直方圖估計中位數【名師點睛】（1）利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題作出合理的推斷和預測獨立性檢驗就是考察兩個分類變量是否有關系，并能較為準確地給出這種判斷的可信度，隨機變量的觀測值值越大，說明“兩個變量有關系”的可能性越大（2）利用頻率分布直方圖求眾數、中位數和平均數時，應注意三點：最高的小長方形底邊中點的橫坐標即眾數；中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和19（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點（1）證明：直線平面PAB；（2）點M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角的余弦值【答案】（1）證明略；（2）【考點】 判定線面平行、面面角的向量求法【名師點睛】（1）求解本題要注意兩點：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，利用方程思想進行向量運算，要認真細心、準確計算（2）設m，n分別為平面，的法向量，則二面角與互補或相等，故有|cos |cos|=求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角20（12分）設O為坐標原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足（1）求點P的軌跡方程；（2）設點Q在直線上，且證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F 【答案】（1） ；（2）證明略【考點】 軌跡方程的求解、直線過定點問題【名師點睛】求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)0（2）待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程（3）定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程（4）代入(相關點)法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而運動，常利用代入法求動點P(x，y)的軌跡方程21（12分）已知函數，且（1）求；（2）證明：存在唯一的極大值點，且【答案】（1）；（2）證明見解析（2）由（1）知 ，設，則當 時， ；當 時，所以在上單調遞減，在上單調遞增又，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，當時，因為，所以是的唯一極大值點由得，故由得因為是在（0，1）的最大值點，由，得所以【考點】利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值【名師點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出導數專題在高考中的命題方向及命題角度：從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系；（2）利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性求參數；（3）利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題；（4）考查數形結合思想的應用（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分22選修44：坐標系與參數方程（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足，求點P的軌跡的直角坐標方程；（2）設點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值【答案】（1）；（2）（2）設點B的極坐標為，由題設知，于是的面積當