圓過定點問題 班級_姓名_1已知定點G（3，0），S是圓C：（X3）2+y2=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E設點E的軌跡為M（1）求M的方程；（2）是否存在斜率為1的直線，使得直線與曲線M相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由2在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=1（）判斷圓C1與圓C2的位置關系；（）若動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長，則動圓C是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由3已知定點A（2，0），B（2，0），及定點F（1，0），定直線l：x=4，不在x軸上的動點M到定點F的距離是它到定直線l的距離的倍，設點M的軌跡為E，點C是軌跡E上的任一點，直線AC與BC分別交直線l與點P，Q（1）求點M的軌跡E的方程；（2）試判斷以線段PQ為直徑的圓是否經過定點F，并說明理由4如圖，已知橢圓C：+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=2分別交于點M、N，（）設直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1k2為定值；（）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論5如圖所示，已知圓C：x2+y2=r2（r0）上點處切線的斜率為，圓C與y軸的交點分別為A，B，與x軸正半軸的交點為D，P為圓C在第一象限內的任意一點，直線BD與AP相交于點M，直線DP與y軸相交于點N（1）求圓C的方程；（2）試問：直線MN是否經過定點？若經過定點，求出此定點坐標；若不經過，請說明理由6二次函數f（x）=3x24x+c（xR）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C（1）求實數c的取值范圍；（2）求C的方程；（3）問C是否經過某定點（其坐標與c的取值無關）？請證明你的結論7如圖，拋物線M：y=x2+bx（b0）與x軸交于O，A兩點，交直線l：y=x于O，B兩點，經過三點O，A，B作圓C（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；（II）求證：圓C經過除原點外的一個定點；（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？8在平面直角坐標系xoy中，點M到兩定點F1（1，0）和F2（1，0）的距離之和為4，設點M的軌跡是曲線C（1）求曲線C的方程； （2）若直線l：y=kx+m與曲線C相交于不同兩點A、B（A、B不是曲線C和坐標軸的交點），以AB為直徑的圓過點D（2，0），試判斷直線l是否經過一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由9如圖直線l：y=kx+1與橢圓C1：交于A，C兩點，AC在x軸兩側，B，D是圓C2：x2+y2=16上的兩點且A與BC與D的橫坐標相同,縱坐標同號（I）求證：點B縱坐標是點A縱坐標的2倍，并計算|AB|CD|的取值范圍；（II）試問直線BD是否經過一個定點？若是，求出定點的坐標：若不是，說明理由10已知A（1，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足=，設動點M的軌跡為C（1）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡C是什么圖形；（2）求動點M與定點B連線的斜率的最小值；（3）設直線l：y=x+m交軌跡C于P，Q兩點，是否存在以線段PQ為直徑的圓經過A？若存在，求出實數m的值；若不存在，說明理由11已知定直線l：x=1，定點F（1，0），P經過F且與l相切（1）求P點的軌跡C的方程（2）是否存在定點M，使經過該點的直線與曲線C交于A、B兩點，并且以AB為直徑的圓都經過原點；若有，請求出M點的坐標；若沒有，請說明理由12已知動圓P與圓M：（x+1）2+y2=16相切，且經過M內的定點N（1，0） （1）試求動圓的圓心P的軌跡C的方程；（2）設O是軌跡C上的任意一點（軌跡C與x軸的交點除外），試問在x軸上是否存在兩定點A，B，使得直線OA與OB的斜率之積為定值（常數）？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由13已知在ABC中，點A、B的坐標分別為（2，0）和（2，0），點C在x軸上方（）若點C的坐標為（2，3），求以A、B為焦點且經過點C的橢圓的方程；（）若ACB=45，求ABC的外接圓的方程；（）若在給定直線y=x+t上任取一點P，從點P向（）中圓引一條切線，切點為Q問是否存在一個定點M，恒有PM=PQ？請說明理由2015年03月12日yinyongxia100的高中數學組卷參考答案與試題解析一填空題（共1小題）1已知定點G（3，0），S是圓C：（X3）2+y2=72（C為圓心）上的動點，SG的垂直平分線與SC交于點E設點E的軌跡為M（1）求M的方程；（2）是否存在斜率為1的直線，使得直線與曲線M相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由考點：直線與圓錐曲線的綜合問題菁優網版權所有專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（1）由已知條件推導出點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6的橢圓，由此能求出動點E的軌跡方程（2）假設存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，其方程為y=x+m，由，得3x2+4mx+2m218=0由此能求出符合題意的直線l存在，所求的直線l的方程為y=x或y=x2解答：解：（1）由題知|EG|=|ES|，|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6又|GC|=6，點E的軌跡是以G，C為焦點，長軸長為6的橢圓，動點E的軌跡方程為=1（4分）（2）假設存在符合題意的直線l與橢圓C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，其方程為y=x+m，由消去y，化簡得3x2+4mx+2m218=0直線l與橢圓C相交于A，B兩點，=16m212（2m218）0，化簡得m227，解得3（6分）x1+x2=，x1x2=以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，=0，所以x1x2+y1y2=0（8分）又y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，x1x2+y1y2=2x1x2+m（x1+x2）+m2=+m2=0，解得m=（11分）由于（3，3），符合題意的直線l存在，所求的直線l的方程為y=x或y=x2（13分）點評：本題考查點的方程的求法，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用二解答題（共12小題）2在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=1（）判斷圓C1與圓C2的位置關系；（）若動圓C同時平分圓C1的周長、圓C2的周長，則動圓C是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由考點：直線和圓的方程的應用菁優網版權所有專題：直線與圓分析：（）求出兩圓的圓心距離，即可判斷圓C1與圓C2的位置關系；（）根據圓C同時平方圓周，建立條件方程即可得到結論解答：解：（）C1：（x+1）2+y2=1的圓心為（1，0），半徑r=1，圓C2：（x3）2+（y4）2=1的圓心為（3，4），半徑R=1，則|C1C2|=，圓C1與圓C2的位置關系是相離（）設圓心C（x，y），由題意得CC1=CC2，即，整理得x+y3=0，即圓心C在定直線x+y3=0上運動設C（m，3m），則動圓的半徑，于是動圓C的方程為（xm）2+（y3+m）2=1+（m+1）2+（3m）2，整理得：x2+y26y22m（xy+1）=0由，解得或，即所求的定點坐標為（1，2），（1+，2+）點評：本題主要考查圓與圓的位置關系的判斷，以及與圓有關的綜合應用，考查學生的計算能力3已知定點A（2，0），B（2，0），及定點F（1，0），定直線l：x=4，不在x軸上的動點M到定點F的距離是它到定直線l的距離的倍，設點M的軌跡為E，點C是軌跡E上的任一點，直線AC與BC分別交直線l與點P，Q（1）求點M的軌跡E的方程；（2）試判斷以線段PQ為直徑的圓是否經過定點F，并說明理由考點：軌跡方程；圓的標準方程菁優網版權所有專題：直線與圓分析：（1）由橢圓的第二定義即可知道點M的軌跡E為橢圓；（2）設出橢圓上的點C的坐標，進而寫出直線AC、BC的方程，分別求出點P、Q的坐標，只要判斷kPFkQF=1是否成立即可解答：解：（1）由橢圓的第二定義可知：點M的軌跡E是以定點F（1，0）為焦點，離心率e=，直線l：x=4為準線的橢圓（除去與x軸相交的兩點）c=1，a=2，b2=2212=3，點M的軌跡為橢圓E，其方程為（除去（2，0）（2）以線段PQ為直徑的圓經過定點F下面給出證明：如圖所示：設C（x0，y0），（x02），則直線AC的方程為：，令x=4，則yP=，=；直線BC的方程為：，令x=4，則yQ=，kQF=kPFkQF=，點C（x0，y0）在橢圓上，=1，kPFkQF=1因此以線段PQ為直徑的圓經過定點F點評：熟練掌握橢圓的定義、直線垂直與斜率的關系是解題的關鍵4如圖，已知橢圓C：+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓上，且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=2分別交于點M、N，（）設直線AP、BP的斜率分別為k1、k2，求證：k1k2為定值；（）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過定點？請證明你的結論考點：橢圓的應用菁優網版權所有專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：（）由橢圓方程求出兩個頂點A，B的坐標，設出P點坐標，寫出直線AP、BP的斜率k1，k2，結合P的坐標適合橢圓方程可證結論；（）設出以MN為直徑的圓上的動點Q的坐標，由=0列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯立方程組可求解圓所過定點的坐標解答：（）證明：由題設橢圓C：+y2=1可知，點A（0，1），B（0，1）令P（x0，y0），則由題設可知x00直線AP的斜率k1=，PB的斜率為k2=又點P在橢圓上，+y02=1（x01）從而有k1k2=；（）解：以MN為直徑的圓恒過定點（0，2+2）或（0，22）事實上，設點Q（x，y）是以MN為直徑圓上的任意一點，則=0，故有+（y+2）（y+2）=0又k1k2=以MN為直徑圓的方程為x2+（y+2）212+=0令x=0，則（y+2）2=12，解得y=22以MN為直徑的圓恒過定點（0，2+2）或（0，22）點評：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了圓系方程，考查了學生的計算能力，是有一定難度題目5如圖所示，已知圓C：x2+y2=r2（r0）上點處切線的斜率為，圓C與y軸的交點分別為A，B，與x軸正半軸的交點為D，P為圓C在第一象限內的任意一點，直線BD與AP相交于點M，直線DP與y軸相交于點N（1）求圓C的方程；（2）試問：直線MN是否經過定點？若經過定點，求出此定點坐標；若不經過，請說明理由考點：直線與圓的位置關系菁優網版權所有專題：直線與圓分析：（1）根據條件結合點在圓上，求出圓的半徑即可求圓C的方程；（2）根據條件求出直線MN的斜率，即可得到結論解答：解：（1），點在圓C：x2+y2=r2上，故圓C的方程為x2+y2=4（2）設P（x0，y0），則x02+y02=4，直線BD的方程為xy2=0，直線AP的方程為y=+2聯立方程組，得M（，），易得N（0，），kMN=2X=，直線MN的方程為y=x+，化簡得（yx）x0+（2x）y0=2y2x（*）令，得，且（*）式恒成立，故直線MN經過定點（2，2）點評：本題主要考查圓的方程的求解，以及直線和圓的位置關系的應用，考查學生的計算能力6二次函數f（x）=3x24x+c（xR）的圖象與兩坐標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為C（1）求實數c的取值范圍；（2）求C的方程；（3）問C是否經過某定點（其坐標與c的取值無關）？請證明你的結論考點：圓的標準方程；二次函數的性質；圓系方程菁優網版權所有專題：直線與圓分析：（1）令x=0求出y的值，確定出拋物線與y軸的交點坐標，令f（x）=0，根據與x軸交點有兩個得到c不為0且根的判別式的值大于0，即可求出c的范圍；（2）設所求圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得，x2+Dx+F=0，這與x2x+=0是同一個方程，求出D，F令x=0得，y2+Ey+F=0，此方程有一個根為c，代入得出E，由此求得圓C的一般方程；（3）圓C過定點（0，）和（，），證明：直接將點的坐標代入驗證解答：解：（1）令x=0，得拋物線與y軸的交點（0，c），令f（x）=3x24x+c=0，由題意知：c0且0，解得：c且c0；（2）設圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得到x2+Dx+F=0，這與x2x+=0是一個方程，故D=，F=；令x=0，得到y2+Ey+F=0，有一個根為c，代入得：c2+cE+=0，解得：E=c，則圓C方程為：x2+y2x（c+）y+=0；（3）圓C必過定點（0，）和（，），理由為：由x2+y2x（c+）y+=0，令y=，解得：x=0或，圓C必過定點（0，）和（，）點評：本題主要考查圓的標準方程，一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題7如圖，拋物線M：y=x2+bx（b0）與x軸交于O，A兩點，交直線l：y=x于O，B兩點，經過三點O，A，B作圓C（I）求證：當b變化時，圓C的圓心在一條定直線上；（II）求證：圓C經過除原點外的一個定點；（III）是否存在這樣的拋物線M，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑？考點：圓與圓錐曲線的綜合；圓的一般方程；拋物線的簡單性質菁優網版權所有專題：計算題分析：（I）在方程y=x2+bx中令y=0，y=x，易得A，B的坐標表示，設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey=0，利用條件得出，寫出圓C的圓心坐標的關系式，從而說明當b變化時，圓C的圓心在定直線y=x+1上（II）設圓C過定點（m，n），則m2+n2+bm+（b2）n=0，它對任意b0恒成立，從而求出m，n的值，從而得出當b變化時，（I）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標；（III）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在這樣的拋物線M，使它的頂點與它對應的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，再利用不等關系，求出b，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在解答：解：（I）在方程y=x2+bx中令y=0，y=x，易得A（b，0），B（1b，1b）設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey=0，則，故經過三點O，A，B的圓C的方程為x2+y2+bx+（b2）y=0，設圓C的圓心坐標為（x0，y0），則x0=，y0=，y0=x0+1，這說明當b變化時，（I）中的圓C的圓心在定直線y=x+1上（II）設圓C過定點（m，n），則m2+n2+bm+（b2）n=0，整理得（m+n）b+m2+n22n=0，它對任意b0恒成立，或故當b變化時，（I）中的圓C經過除原點外的一個定點坐標為（1，1）（III）拋物線M的頂點坐標為（，），若存在這樣的拋物線M，使它的頂點與它對應的圓C的圓心之間的距離不大于圓C的半徑，則|，整理得（b22b）20，因b0，b=2，以上過程均可逆，故存在拋物線M：y=x2+2x，使它的頂點與C的距離不大于圓C的半徑點評：本題考查了二次函數解析式的確定，圓的一般方程，拋物線的簡單性質等知識點綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法8在平面直角坐標系xoy中，點M到兩定點F1（1，0）和F2（1，0）的距離之和為4，設點M的軌跡是曲線C（1）求曲線C的方程； （2）若直線l：y=kx+m與曲線C相交于不同兩點A、B（A、B不是曲線C和坐標軸的交點），以AB為直徑的圓過點D（2，0），試判斷直線l是否經過一定點，若是，求出定點坐標；若不是，說明理由考點：軌跡方程；直線與圓錐曲線的關系菁優網版權所有專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：（1）由橢圓的定義可知，點M的軌跡C是以兩定點F1（1，0）和F2（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓，由此可得曲線C的方程； （2）直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達定理，結合以AB為直徑的圓過點D（2，0），即可求得結論解答：解：（1）設M（x，y），由橢圓的定義可知，點M的軌跡C是以兩定點F1（1，0）和F2（1，0）為焦點，長半軸長為2的橢圓短半軸長為=曲線C的方程為； （2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0x1+x2=，x1x2=y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=以AB為直徑的圓過點D（2，0），kADkBD=1y1y2+x1x22（x1+x2）+4=07m2+16mk+4k2=0m=2k或m=，均滿足=3+4k2m20當m=2k時，l的方程為y=k（x2），直線過點（2，0），與已知矛盾；當m=時，l的方程為y=k（x），直線過點（，0），直線l過定點，定點坐標為（，0）點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題9（2013溫州二模）如圖直線l：y=kx+1與橢圓C1：交于A，C兩點，AC在x軸兩側，B，D是圓C2：x2+y2=16上的兩點且A與BC與D的橫坐標相同縱坐標同號（I）求證：點B縱坐標是點A縱坐標的2倍，并計算|AB|CD|的取值范圍；（II）試問直線BD是否經過一個定點？若是，求出定點的坐標：若不是，說明理由考點：直線與圓錐曲線的關系；兩點間的距離公式菁優網版權所有專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：（I）設A（x1，y1），B（x1，y2），分別代入橢圓、圓的方程可得，消掉x1得，由y1，y2同號得y2=2y1，設C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，聯立直線與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由A、C在x軸的兩側，得y1y30，代入韋達定理可求得k2范圍，而|AB|CD|=|y1|y3|=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|，再由韋達定理及k2范圍即可求得答案；（II）由斜率公式求出直線BD的斜率，由點斜式寫出直線BD方程，再由點A在直線l上可得直線BD方程，從而求得其所過定點解答：（I）證明：設A（x1，y1），B（x1，y2），根據題意得：，y1，y2同號，y2=2y1，設C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，|AB|=|y1|，|CD|=|y3|，由（4k2+1）x2+8kx12=0，0恒成立，則，A、C在x軸的兩側，y1y30，（kx1+1）（kx3+1）=k2x1x3+k（x1+x3）+1=0，|AB|CD|=|y1|y3|=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=（0，）；（II）解：直線BD的斜率=2k，直線BD的方程為y=2k（xx1）+2y1=2kx2（kx1y1），y1=kx1+1，直線BD的方程為y=2kx+2，直線BD過定點（0，2）點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、兩點間的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，本題中多次用到韋達定理，應熟練掌握10已知A（1，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足=，設動點M的軌跡為C（1）求動點M的軌跡方程，并說明軌跡C是什么圖形；（2）求動點M與定點B連線的斜率的最小值；（3）設直線l：y=x+m交軌跡C于P，Q兩點，是否存在以線段PQ為直徑的圓經過A？若存在，求出實數m的值；若不存在，說明理由考點：軌跡方程；圓方程的綜合應用菁優網版權所有專題：綜合題；探究型分析：解：（1）先將條件化簡即得動點M的軌跡方程，并說明軌跡C是圖形：軌跡C是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓（2）先設過點B的直線為y=k（x2）利用圓心到直線的距離不大于半徑即可解得k的取值范圍，從而得出動點M與定點B連線的斜率的最小值即可；（3）對于存在性問題，可先假設存在，即存在以線段PQ為直徑的圓經過A，再利用PAQA，求出m的長，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在解答：解：（1）化簡可得（x+2）2+y2=4軌跡C是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓（3分）（2）設過點B的直線為y=k（x2）圓心到直線的距離2，kmin=（7分）（3）假設存在，聯立方程得2x2+2（m+2）x+m2=0設P（x1，y1），Q（x2，y2）則x1+x2=m2，x1x2=PAQA，（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+（m+1）（x1+x2）+m2+1=0得m23m1=0，且滿足0（12分）點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一 求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系，求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法本題是利用的直接法直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程11已知定直線l：x=1，定點F（1，0），P經過F且與l相切（1）求P點的軌跡C的方程（2）是否存在定點M，使經過該點的直線與曲線C交于A、B兩點，并且以AB為直徑的圓都經過原點；若有，請求出M點的坐標；若沒有，請說明理由考點：直線與圓錐曲線的綜合問題菁優網版權所有專題：直線與圓分析：（1）由已知得點P的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，由此能求出點P的軌跡C的方程（2）設AB的方程為x=my+n，代入拋物線方程整理，得：y24my4n=0，由此利用韋達定理、直徑性質能求出直線AB：x=my+4恒過M（4，0）點解答：解：（1）由題設知點P到點F的距離與點P到直線l的距離相等，點P的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，點P的軌跡C的方程為y2=4x（2）設AB的方程為x=my+n，代入拋物線方程整理，得：y24my4n=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），則，以AB為直徑的圓過原點，OAOB，y1y2+x1x2=0，y1y2=16，4n=16，解得n=4，直線AB：x=my+4恒過M（4，0）點點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用12已知動圓P與圓M：（x+1）2+y2=16相切，且經過M內的定點N（1，0） （1）試求動圓的圓心P的軌跡C的方程；（2）設O是軌跡C上的任意一點（軌跡C與x軸的交點除外），試問在x軸上是否存在兩定點A，B，使得直線OA與OB的斜率之積為定值（常數）？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由考點：圓方程的綜合應用；圓與圓的位置關系及其判定菁優網版權所有分析：（1）利用動圓P與定圓（x1）2+y2=16相內切，以及橢圓的定義，可得動圓圓心P的軌跡M的方程；（2）先設任意一點以及A、B的坐標，kQAkQB=k（常數），根據軌跡方程列出關于k、s、t的方程，并求出k、s、t的值，即可求出結果解答：解：（1）由題意，兩圓相內切，故，|PM|=4|PN|，即|PM|+|PN|=4又MN=24動圓的圓心P的軌