第2課時排列的應用 第一章 2排列 學習目標1 進一步加深對排列概念的理解 2 掌握幾種有限制條件的排列 能應用排列數公式解決簡單的實際問題 題型探究 知識梳理 內容索引 當堂訓練 知識梳理 知識點排列及其應用 1 排列數公式 n m n m n 叫做n的階乘 另外 我們規定0 2 應用排列與排列數公式求解實際問題中的計數問題的基本步驟 n n 1 n 2 n m 1 n n 1 n 2 2 1 n 1 題型探究 例1 1 有7本不同的書 從中選3本送給3名同學 每人各1本 共有多少種不同的送法 類型一無限制條件的排列問題 解答 解從7本不同的書中選3本送給3名同學 相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列 所以共有 7 6 5 210 種 不同的送法 2 有7種不同的書 要買3本送給3名同學 每人各1本 共有多少種不同的送法 解從7種不同的書中買3本書 這3本書并不要求都不相同 根據分步乘法計數原理 共有7 7 7 343 種 不同的送法 典型的排列問題 用排列數計算其排列方法數 若不是排列問題 需用分步乘法計數原理求其方法種數 排列的概念很清楚 要從 n個不同的元素中取出m個元素 即在排列問題中元素不能重復選取 而在用分步乘法計數原理解決的問題中 元素可以重復選取 反思與感悟 跟蹤訓練1某信號兵用紅 黃 藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號 每次可以任掛1面 2面或3面 并且不同的順序表示不同的信號 則一共可以表示多少種不同的信號 解答 解第1類 掛1面旗表示信號 有種不同的方法 第2類 掛2面旗表示信號 有種不同的方法 第3類 掛3面旗表示信號 有種不同的方法 根據分類加法計數原理 得可以表示的信號共有 3 3 2 3 2 1 15 種 命題角度1元素 相鄰 與 不相鄰 問題 解答 解 相鄰問題捆綁法 男生必須站在一起 即把3名男生進行全排列 有種排法 女生必須站在一起 即把4名女生進行全排列 有種排法 全體男生 女生各看作一個元素全排列有種排法 由分步乘法計數原理知共有 288 種 排法 類型二排隊問題 例23名男生 4名女生 這7個人站成一排在下列情況下 各有多少種不同的站法 1 男 女各站在一起 3 男生不能排在一起 解 不相鄰問題插空法 先排女生有種排法 把3名男生安排在4名女生隔成的5個空中 有種排法 故有 1440 種 不同的排法 2 男生必須排在一起 解答 解 捆綁法 把所有男生看作一個元素 與4名女生組成5個元素全排列 故有 720 種 不同的排法 4 男生互不相鄰 且女生也互不相鄰 解先排男生有種排法 讓女生插空 有 144 種 不同的排法 處理元素 相鄰 不相鄰 問題應遵循 先整體 后局部 的原則 元素相鄰問題 一般用 捆綁法 先把相鄰的若干個元素 捆綁 為一個大元素與其余元素全排列 然后再松綁 將這若干個元素內部全排列 元素不相鄰問題 一般用 插空法 先將不相鄰元素以外的 普通 元素全排列 然后在 普通 元素之間及兩端插入不相鄰元素 反思與感悟 跟蹤訓練2排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單 1 任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種 解答 解先排歌唱節目有種 歌唱節目之間以及兩端共有6個空位 從中選4個放入舞蹈節目 共有種方法 所以任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有 43200 種 方法 2 歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種 解先排舞蹈節目有種方法 在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位 恰好供5個歌唱節目放入 所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有 2880 種 方法 3 5個歌唱節目中a b必須相鄰 c d e也必須相鄰 則排列的方法有多少種 解答 解將ab捆綁一起 cde也捆綁一起 應用捆綁法共有 8640 種 方法 解甲 乙 丙自左向右的順序保持不變 即甲 乙 丙自左向右順序的排法種數占全體全排列種數的 故有 840 種 不同的排法 命題角度2定序問題 解答 解甲在乙前面的排法種數占全體全排列種數的一半 故有 2520 種 不同的排法 例37人站成一排 1 甲必須在乙的前面 不一定相鄰 則有多少種不同的排列方法 2 甲 乙 丙三人自左向右的順序不變 不一定相鄰 則有多少種不同的排列方法 反思與感悟 跟蹤訓練37名師生排成一排照相 其中老師1人 女生2人 男生4人 若4名男生的身高都不等 按從高到低的順序站 有多少種不同的站法 解答 解7人全排列中 4名男生不考慮身高順序的站法有種 而由高到低有從左到右和從右到左的不同的站法 所以共有 420 種 不同的站法 命題角度3特殊元素與特殊位置問題 解答 例4從包括甲 乙兩名同學在內的7名同學中選出5名同學排成一列 求解下列問題 1 甲不在首位的排法有多少種 解方法一把同學作為研究對象 第一類 不含甲 此時只需從甲以外的其他6名同學中取出5名放在5個位置上 有種 第二類 含有甲 甲不在首位 先從4個位置中選出1個放甲 再從甲以外的6名同學中選出4名排在沒有甲的位置上 有種排法 根據分步乘法計數原理 含有甲時共有4 種排法 由分類加法計數原理 共有 2160 種 排法 方法二把位置作為研究對象 第一步 從甲以外的6名同學中選1名排在首位 有種方法 第二步 從占據首位以外的6名同學中選4名排在除首位以外的其他4個位置上 有種方法 由分步乘法計數原理 可得共有 2160 種 排法 方法三 間接法 即先不考慮限制條件 從7名同學中選出5名進行排列 然后把不滿足條件的排列去掉 不考慮甲不在首位的要求 總的可能情況有種 甲在首位的情況有種 所以符合要求的排法有 2160 種 解答 解把位置作為研究對象 先滿足特殊位置 第一步 從甲以外的6名同學中選2名排在首末2個位置上 有種方法 第二步 從未排上的5名同學中選出3名排在中間3個位置上 有種方法 根據分步乘法計數原理 有 1800 種 方法 2 甲既不在首位 又不在末位的排法有多少種 解用間接法 總的可能情況是種 減去甲在首位的種 再減去乙在末位的種 注意到甲在首位同時乙在末位的情況被減去了兩次 所以還需補回一次種 所以共有 1860 種 排法 解答 解把位置作為研究對象 第一步 從甲 乙以外的5名同學中選2名排在首末2個位置 有種方法 第二步 從未排上的5名同學中選出3名排在中間3個位置上 有種方法 根據分步乘法計數原理 共有 1200 種 方法 3 甲與乙既不在首位又不在末位的排法有多少種 4 甲不在首位 同時乙不在末位的排法有多少種 反思與感悟 在 與 不在 排列問題解題原則及方法 1 原則 解 在 與 不在 的有限制條件的排列問題時 可以從元素入手也可以從位置入手 原則是誰特殊誰優先 2 方法 從元素入手時 先給特殊元素安排位置 再把其他元素安排在其他位置上 從位置入手時 先安排特殊位置 再安排其他位置 提醒 解題時 或從元素考慮 或從位置考慮 都要貫徹到底 不能一會考慮元素 一會考慮位置 造成分類 分步混亂 導致解題錯誤 跟蹤訓練4某一天的課程表要排入政治 語文 數學 物理 體育 美術共六節課 如果第一節不排體育 最后一節不排數學 那么共有多少種不同的排課程表的方法 解答 解6門課總的排法是 其中不符合要求的可分為體育排在第一節 有種排法 數學排在最后一節 有種排法 但這兩種方法 都包括體育排在第一節 數學排在最后一節 這種情況有種排法 因此符合條件的排法有 504 種 類型三數字排列問題 解答 例5用0 1 2 3 4 5這六個數字可以組成多少個無重復數字的 1 能被5整除的五位數 解答 2 能被3整除的五位數 3 若所有的六位數按從小到大的順序組成一個數列 an 則240135是第幾項 解答 即240135是數列的第193項 數字排列問題是排列問題的重要題型 解題時要著重注意從附加受限制條件入手分析 找出解題的思路 常見附加條件有 1 首位不能為0 2 有無重復數字 3 奇偶數 4 某數的倍數 5 大于 或小于 某數 反思與感悟 跟蹤訓練5 1 由數字0 1 2 3 4 5組成的奇偶數字相間且無重復數字的六位數有多少個 解答 解第一類 首位為奇數的奇偶數字相間且無重復數字的六位數 第一步 把1 3 5三個數排列在奇數位上 有種方法 第二步 把0 2 4三個數排列在偶數位上 有種方法 根據分步乘法計數原理 可得首位為奇數的奇偶數字相間且無重復數字的六位數有 36 個 第二類 首位為偶數的奇偶數字相間且無重復數字的六位數 第一步 把1 3 5三個數排列在偶數位上 有種方法 第二步 把0 2 4三個數排列在奇數位上 有種方法 根據分步乘法計數原理 可得首位為偶數的奇偶數字相間且無重復數字的六位數有 24 個 根據分類加法計數原理可得滿足條件的六位數共有36 24 60 個 解第一類 當數字 1 在首位時 其他數字不受限制 其排列方法有種 所以當數字 1 在首位時 滿足條件的六位數共有 120 個 第二類 當數字 1 不在首位時 根據數字 1 只能在奇數位上 數字 1 的位置只能在千位或十位 有2種選擇 數字 0 不能在首位 有4種選擇 其他數字不受條件限制 其排列方法有種 所以當數字 1 不在首位時 滿足條件的六位數共有2 4 192 個 根據分類加法計數原理 可得滿足條件的六位數共有120 192 312 個 2 由0 1 2 3 4 5六個數字組成的六位數中 數字1排在奇數位上的數有多少個 注 本題中提到的 奇數位 按從最高位開始從左到右依次為奇數位 偶數位來理解 解答 當堂訓練 2 3 4 5 1 1 6位選手依次演講 其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講 則不同的演講次序共有a 240種b 360種c 480種d 720種 解析 解析第一步 排甲 共有種不同的排法 答案 2 3 4 1 2 有6道選擇題 答案分別為a b c d d d 在安排題目順序時 要求3道選d的題目任意兩道不相鄰 則不同的排列方法種數為a 72b 144c 288d 36 答案 解析 解析先排a b c 則種數為 6 把選d的三題插入到四個間隔中 則種數為 24 則不同的排序方法種數為6 24 144 5 2 3 4 1 3 計劃在某畫廊展出10幅不同的畫 其中1幅水彩畫 4幅油畫 5幅國畫 排成一列陳列 要求同一種畫必須連在一起 并且水彩畫不能放在兩端 那么不同的陳列方式的種數為 答案 解析 解析先把每種品種的畫看作一個整體 而水彩畫只能放在中間 則油畫與國畫放在兩端有種放法 再考慮4幅油畫本身排放有種方法 5幅國畫本身排放有種方法 故不同的陳列法有種方法 5 2 3 4 1 4 從6名短跑運動員中選出4人參加4 100m接力賽 甲不能跑第一棒和第四棒 問共有 種參賽方案 答案 240 解析 5 2 3 4 1 解析方法一從人 元素 的角度考慮 優先考慮甲 分以下兩類 第1類 甲不參賽 有種參賽方案 第2類 甲參賽 可優先將甲安排在第二棒或第三棒 有2種方法 然后安排其他3棒 有種方法 此時有種參賽方案 由分類加法計數原理可知 甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有 240 種 5 2 3 4 1 方法二從位置 元素 的角度考慮 優先考慮第一棒和第四棒 則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人 有種方法 其余兩棒