3 1全稱量詞與全稱命題3 2存在量詞與特稱命題 第一章 3全稱量詞與存在量詞 學習目標1 了解全稱量詞與存在量詞的含義 2 理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念 3 能判斷全稱命題和特稱命題的真假并掌握其判斷方法 問題導學 達標檢測 題型探究 內容索引 問題導學 知識點一全稱量詞與全稱命題 思考觀察下列命題 1 所有偶函數的圖像都關于y軸對稱 2 每一個四邊形都有外接圓 3 任意實數x x2 0 以上三個命題有什么共同特征 答案都使用了表示 全部 的量詞 如 所有 每一個 任意 梳理 全稱量詞 任意 x m p x 判斷全稱命題真假性的方法 對于全稱命題 任意x m p x 要判斷它為真 需要對集合m中的每個元素x 證明p x 成立 要判斷它為假 只需在m中找到一個x 使p x 不成立 即 存在x m p x 不成立 知識點二存在量詞與特稱命題 思考觀察下列命題 1 有些矩形是正方形 2 存在實數x 使x 5 3 至少有一個實數x 使x2 2x 2 0 以上三個命題有什么共同特征 答案都使用了表示 存在 的量詞 如 有些 存在 至少有一個 判斷特稱命題真假性的方法 要判斷一個特稱命題是真命題 只要在限定集合m中 至少能找到一個x 使p x 成立即可 否則 這一特稱命題是假命題 梳理 存在量詞 存在 x m p x 思考辨析判斷正誤 1 有些 某個 有的 等短語不是存在量詞 2 全稱量詞的含義是 任意性 存在量詞的含義是 存在性 3 全稱命題中一定含有全稱量詞 特稱命題中一定含有存在量詞 題型探究 類型一全稱命題與特稱命題的辨析 解答 例1判斷下列語句是全稱命題 還是特稱命題 1 凸多邊形的外角和等于360 解可以改為所有的凸多邊形的外角和等于360 故為全稱命題 2 有的向量方向不定 解含有存在量詞 有的 故是特稱命題 3 對任意角 都有sin2 cos2 1 解含有全稱量詞 任意 故是全稱命題 4 矩形的對角線不相等 解答 解可以改為所有矩形的對角線不相等 故為全稱命題 5 若一個四邊形是菱形 則這個四邊形的對角線互相垂直 解若一個四邊形是菱形 也就是所有的菱形 故為全稱命題 反思與感悟判定命題是全稱命題還是特稱命題 主要方法是看命題中含有全稱量詞還是存在量詞 要注意的是有些全稱命題并不含有全稱量詞 這時我們就要根據命題涉及的意義去判斷 跟蹤訓練1判斷下列命題哪些是全稱命題 哪些是特稱命題 1 對任意x r x2 0 2 有些無理數的平方也是無理數 3 正四面體的各面都是正三角形 4 存在x 1 使方程x2 x 2 0 5 對任意x x x 1 3x 4 0成立 6 存在a 1且b 2 使a b 3成立 解答 解 1 5 含全稱量詞 任意 3 雖不含有量詞 但其本義是所有正四面體的各面都是正三角形 故 1 3 5 為全稱命題 2 4 6 為特稱命題 分別含有存在量詞 有些 存在 存在 類型二全稱命題與特稱命題的真假判斷 例2判斷下列命題的真假 1 存在 cos cos cos 解答 2 存在一個函數既是偶函數又是奇函數 解真命題 函數f x 0既是偶函數又是奇函數 3 每一條線段的長度都能用正有理數表示 解答 4 存在一個實數x 使等式x2 x 8 0成立 解假命題 因為該方程的判別式 31 0 故無實數解 反思與感悟1 判斷全稱命題真假的方法 1 要判斷一個全稱命題為真 必須對在給定集合的每一個元素x 均使命題p x 為真 2 要判斷一個全稱命題為假 即否定一個全稱命題可以通過 舉反例 來說明 在給定的集合中找到一個元素x 使命題p x 為假 2 判斷特稱命題真假的方法 1 要判斷一個特稱命題為真 只要在給定的集合中找到一個元素x 使命題q x 為真 2 要判斷一個特稱命題為假 必須對在給定集合的每一個元素x 均使命題q x 為假 所以說 全稱命題與特稱命題之間有可能轉化 它們之間并不是對立的關系 跟蹤訓練2判斷下列命題是全稱命題 還是特稱命題 并判斷其真假 1 每一個平行四邊形的對角線都互相平分 解答 解是全稱命題 由平行四邊形的性質可知此命題是真命題 所以該命題是假命題 3 存在一組m n的值 使m n 1 解答 解是特稱命題 當m 4 n 3時 m n 1成立 所以該命題是真命題 4 至少有一個集合a 滿足a 1 2 3 解是特稱命題 存在a 3 使a 1 2 3 成立 所以該命題是真命題 類型三全稱命題 特稱命題的應用 例3 1 已知關于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 求實數a的取值范圍 解答 解關于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集非空 2 令p x ax2 2x 1 0 若對任意x r p x 是真命題 求實數a的取值范圍 解答 解 對任意x r p x 是真命題 對任意x r ax2 2x 1 0恒成立 當a 0時 不等式為2x 1 0不恒成立 當a 0時 若不等式恒成立 即a的取值范圍是 1 反思與感悟有解和恒成立問題是特稱命題和全稱命題的應用 注意二者的區別 跟蹤訓練3 1 對于任意實數x 不等式sinx cosx m恒成立 求實數m的取值范圍 解令y sinx cosx x r 又 任意x r sinx cosx m恒成立 解答 2 存在實數x 不等式sinx cosx m有解 求實數m的取值范圍 解答 解令y sinx cosx x r 又存在x r sinx cosx m有解 達標檢測 1 下列命題中特稱命題的個數是 有些自然數是偶數 正方形是菱形 能被6整除的數也能被3整除 對于任意x r 總有 sinx 1 a 0b 1c 2d 3 答案 解析 1 2 3 4 5 解析命題 含有存在量詞 命題 可以敘述為 所有的正方形都是菱形 是全稱命題 命題 可以敘述為 一切能被6整除的數也都能被3整除 是全稱命題 而命題 是全稱命題 故有一個特稱命題 2 給出下列命題 存在實數x 1 使x2 1 全等的三角形必相似 有些相似三角形全等 至少有一個實數a 使ax2 ax 1 0的根為負數 其中特稱命題的個數為a 1b 2c 3d 4 1 2 3 4 5 答案 解析 解析由存在量詞及特稱命題的定義知 為特稱命題 3 下列含有量詞的命題為真命題的是a 所有四邊形都有外接圓b 有的等比數列的項為零c 存在實數沒有偶次方根d 任何實數的平方都大于零 1 2 3 4 5 答案 解析 解析c選項中存在負數沒有偶次方根正確 1 2 3 4 5 答案 解析 1 m 1 則m的最小值為1 5 將下列命題改寫為含有量詞的命題 使其為真命題 1 相等的角是對頂角 1 2 3 4 5 解答 解存在相等的兩個角是對頂角 2 sinx cosx 3 解對任意x r sinx cosx 3 1 判斷命題是全稱命題還是特稱命題 主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞 有些全稱命題雖然不含