【第一單元扇形統計圖】本單元在統計表以及條形統計圖、折線統計圖的基礎上編排。扇形統計圖不僅表示各個部分數量的多少，而且側重于用同一個圓里的大大小小的扇形，表示各個部分數量與總數量之間的關系，表示各個部分數量分別占總數量的百分之幾。教學扇形統計圖，要使學生認識它的特點。了解它的用處，能夠看懂統計圖所呈現的數據信息，能夠利用統計圖給出的百分數解決實際問題。體會條形圖、折線圖、扇形圖的不同，體會根據數據內容合理選擇統計圖的必要性。小學數學不要求制作扇形統計圖。因為制作扇形統計圖需要扇形的知識，要計算扇形的圓心角，而小學數學只簡單認識扇形，不教學畫扇形，所以小學生不具備制作扇形統計圖的知識與能力。況且，人們已經很少手工制作扇形統計圖了，利用計算機畫出扇形統計圖，既方便又準確，而且十分美觀。全單元編排兩道例題，具體安排如下表：例1 初步認識扇形統計圖，了解扇形統計圖的特點，能看懂并利用圖中的百分數例2 比較三種統計圖，了解條形圖、折線圖、扇形圖各自的特點；能根據要呈現的數據內容，選擇適宜的統計圖（一） 直接呈現扇形統計圖，鼓勵學生仔細看圖，了解圖中的數據信息，并利用統計圖里的百分數進行有關的計算，解決簡單的問題例1 初步教學扇形統計圖。在給出“我國陸地總面積大約960平方千米”的同時，呈現一幅“我國陸地各種地形分布情況統計圖”。這是一幅扇形統計圖，里面有平原、丘陵、盆地、山地、高原等地形各占陸地總面積的百分比。教材采用直接呈現的方式，引出扇形統計圖，是由于兩點原因：一是不教學制作扇形圖，沒有必要呈現扇形圖的形成過程。二是學生能夠看懂扇形圖里的信息，不需要給予其他幫助。在呈現扇形統計圖以后，教學分兩步進行。第一步，學生獨立看圖，交流“從扇形統計圖中了解到什么”。大多數學生會一一說出圖中的五個百分數，并且根據五個百分數的大小關系以及扇形統計圖里五個扇形的大小，看出山地面積最大，丘陵面積最小。接著體會每一個百分數的意義，明白我國陸地總面積是單位“1”的數量，整個圓表示我國陸地的總面積。然后感到扇形統計圖不是呈現五種地形的面積各有多少，而是分別表示每種地形的面積占總面積的百分之幾。學生看到、想到并說出上述內容，就初步認識了扇形統計圖。第二步，根據已知的我國陸地總面積和每一種地形面積占總面積的百分比，用計算器算出每一種地形的面積，填在教科書的表格里。這是解決求一個數的百分之幾是多少的問題，把新舊知識很自然地融合起來了。學生通過這些計算，能體會到扇形統計圖不直接給出各個部分數量是多少，但可以通過計算求出各個部分的數量。這就進一步體驗了扇形統計圖的特點。于是，有意義接受教材所說的“扇形統計圖可以清楚地表示出各部分數量與總數量之間的關系”。配合例1的“練一練”給出兩幅扇形圖，其中一幅表示中國人口占世界人口的19.6，另一幅表示中國耕地面積占世界耕地面積的9.9。教材問學生“（從圖中）能知道什么？想到什么？”前一個問題要分別說出扇形圖給出的兩個百分數的含義，屬于知識范圍的問題。后一個問題要感受我國以世界耕地的9.9，供世界19.6的人口吃飯，這是非常了不起的事情，是對世界以及全人類的貢獻，屬于思想性的問題。如果有可能，還可以思考其他國家的總人口占世界人口的百分之幾，其他國家的耕地總面積占世界耕地的百分之幾，通過1-19.6和1-9.9求出兩個百分數。把世界人口作為單位“1”、世界耕地作為單位“1”，體會整個扇形圖所蘊含的各種信息，有利于學生深入體驗扇形統計圖的特點。（二） 用不同形式的統計圖表示不同的數據，體會各種統計圖的特點，初步學習選擇合適的統計圖表示數據信息例2同時給出一幅扇形圖、一幅折線圖和一幅條形圖，分別表示六年級一班同學閱讀課外書的一組數據，包括閱讀科普類、漫畫類、童話類、小說類和其他類書各占閱讀課外書總數的百分比；712月各個月閱讀課外書的本數；每星期閱讀課外書時間在2小時以下、24小時、46小時、68小時、8小時以上的人數。分兩個層次提出討論的問題。第一個層次是以下三個具體的問題。“三幅統計圖分別表示什么？”這個問題要回答每一幅統計圖的內容，說出每一幅統計圖里的數據信息。通過這個問題，讓學生看到三組數據采用了三種不同的統計圖，扇形圖表示各個部分數量分別占總數量的百分比，折線圖和條形圖都表示一組數據的各個具體數量。這就了解到各種統計圖在表達數據時的特點，初步體會到三種統計圖的聯系和區別。“從哪幅統計圖能看出六年級一班同學比較喜歡哪一種課外書？從哪幅統計圖能看出去年下半年各月借書本數的變化情況？從哪幅統計圖能看出閱讀課外書的時間多少？”這組問題分別指向三幅統計圖里的內容，引導學生深入了解各幅統計圖里的數據信息，再次體驗扇形統計圖表達的是“各部分占整體的份額”，折線統計圖表達的是“一組數量的變化情況”，條形統計圖表達的是“一組數量各有多少”。這樣，學生就能再次感悟統計圖的使用是有選擇的，應根據數據的內容特點，合理選用相應的統計圖。“你還能從統計圖中獲得哪些信息？”這個問題比較開放，要鼓勵學生說出在三幅統計圖里看到的、想到的信息，培養利用已有數據進行深入思考的意識，即理解與解釋數據，分析與評價數據，應用數據提出問題與解決問題的習慣和能力。第二個層次是一個概括性的問題。“怎樣根據需要選擇統計圖？”這個問題在初步了解各種統計圖的特點的基礎上提出。學生在上述三個具體問題的討論中，已經知道扇形圖利于表示各個部分數量占總數量的百分之幾，能很直觀地告訴人們，哪部分數量占總數量的百分比最高，哪部分數量占總數量的百分比最少。根據扇形圖里各個扇形的大小，能很方便地按大小順序排列各個部分數量。已經知道折線圖利于表示一組數據的變化狀態，能很直觀地告訴人們，數據在增加還是減少。根據折線圖的折線，能對數據的變化作出描述、分析和判斷（預測）。已經知道條形圖利于表示一組數量各是多少，能很直觀地告訴人們，哪一個數量最多、哪一個數量最少，根據條形圖的直條，能估計數量之間的相差關系或倍數關系。教材希望學生在這些認識的基礎上，體會使用統計圖是“有選擇”的，應根據數據的內容特點，以及需要表達的數據信息，選擇適當的統計圖。三個小卡通的交流，代表學生分別說出了什么情況適合使用扇形圖，什么情況適合使用折線圖，什么情況適合使用條形圖。配合例2的“練一練”采用三種統計圖表示李大伯家的收入情況。條形圖表示“糧食”“養殖”“水果”“其他”四項收入各多少萬元；扇形圖表示“糧食”“養殖”“水果”“其他”等四項收入各占總收入的百分比；折線圖表示20022012年收入的變化情況。提出四個問題，要求在學生回答問題以后，反思“分別觀察了哪幅統計圖？”進一步體驗各種統計圖表達數據的特點。如果有可能，教學還可以作如下的延伸：一是比較條形圖和扇形圖，它們都表示“糧食”“養殖”“水果”“其他”四項收入的情況，但表示的方式不同，數據不同，從圖中獲取的信息既有一致的方面，也有顯著的區別。二是體驗條形圖里的數據，適合用折線圖表示嗎？從條形圖里的四個數據只表示“各多少”，不存在“變化”狀態和趨勢，得出不適合使用折線圖的結論。三是折線圖里的數據可以用條形圖表示嗎？從折線圖里有六個年份的收入數量，體會也能采用條形圖表示。但條形圖不能像折線圖這樣清楚地表示出年收入的增加態勢。三、 精心編排練習題，突出統計活動能力的培養統計教學的主要任務是培養數據意識和開展統計活動的能力，體會數據里面蘊含著信息，逐步養成用數據描述、刻畫客觀事物和現象的思想。統計活動則包括數據的采集、整理、呈現、分析和利用的全部過程。數據意識與活動能力的培養，應落實于統計教材的每一道例題和每一道習題之中。數據意識和活動能力的初步形成，遠遠高于各道例題、練習題的具體內容和方法。練習一配合兩道例題的教學。第1、2、3題配合例1，以認識扇形圖，看懂其中的數據信息為主，比例1及其“練一練”的要求稍高一些。第1題同時呈現兩幅扇形圖，分別表示小華家兩天的食物搭配情況。在消費魚肉蛋類食物、豆和奶類食物、蔬菜與水果類食物、油脂類食物、谷類食物的比例上，兩天有明顯的不同。要求學生評價這兩天的食物搭配“哪一天更合理些”。編排這道題的目的在于通過對兩幅圖里的數據的比較，獲取扇形圖傳遞的信息，并引發深入的思考。“哪一天合理”沒有標準答案，如果從有利于身體健康角度評價，也許第一天的搭配比較合理。因為現在提倡多吃些蔬菜、水果、谷物，少吃些動物蛋白和油脂。但是，從個體的需要考慮，也許第二天的搭配更能滿足。如參加高強度的體育活動或生產勞動的人，一些需要補充營養的人，應該適當多吃一些動物蛋白。第2題把“估計”引進扇形統計圖。呈現的干果拼盤可以看作扇形圖，根據“花生米大約占果盤的20”，就能估計開心果、葡萄干、紅棗各占果盤的百分之幾。不要求估計得十分準確，能說出“（各）大約占百分之幾”并對自己的估計作出解釋就可以了。根據圖示的各種干果的扇形面積，一般會得出開心果大約占30，葡萄大約占10，紅棗大約占40。有一點需要注意，各種干果所占百分比之和應該是1（100），如果明顯小于或大于1，則表明估計不夠合理。第4題配合例2。一張統計表給出了六年級一班學生16年級時視力不良人數占全班人數的百分比。另一張統計表給出了六年級一班學生本學期的視力情況，包括左眼和右眼視力在5.0以上、4.9、4.84.6、4.5及以下的人數。要求使用適當的統計圖，分別表示兩張統計表里的數據。分析前一張統計表里的數據，有“逐年增加”的意思，如果用折線圖表示，效果會更加好些。后一張統計表里的數據，都是相對“獨立”的，相互之間可以比較大小，但不存在“變化”態勢，一般用復式條形圖表示。教材編排這道題，有選擇合適的統計圖呈現數據的意圖。第5、6、7題是綜合練習題。第5題在第3題的基礎上編排，第3題利用已知的總數量，根據各部分占總數量的百分比，求各個部分是多少。第5題根據一個部分的數量以及它占總數量的百分比，先求出總數量，再根據其他部分占總數量的百分比，求出其他各部分是多少。前者是求一個數的百分之幾是多少的問題，后者是已知一個數的百分之幾是多少求這個數的問題，以及求一個數的百分之幾是多少問題的綜合。第6題有兩項任務，一項是利用已知的總數量以及扇形統計圖呈現的數據，算出各個部分的數量，并用條形圖表示這些數量，從中體會扇形圖和條形圖既有不同，也有內在聯系。另一項是把條形圖呈現的數據，改為用折線圖表示，體會條形圖與折線圖在表示數據時的不同特點。要注意的是：條形圖上，表示50米跑所用時間的直條逐漸變短；折線圖上，表示50米跑所用時間的折線逐漸下降。它們都表示50米跑所用的時間越來越少，跑的速度越來越快。第7題是一個簡單的實踐活動。要求以自己班級同學課外閱讀習慣為內容，進行一次統計活動。先確定課題和設計調查方案；接著開展調查，收集信息、整理數據，制作統計圖表；然后分析數據，評價自己班級同學的課外閱讀習慣；最后拓寬研究課題，重新設計調查方案，開展新的統計活動。這道題可以作為一個長作業，在課內或課外完成。本單元最后安排的“動手做”，是以“反應速度”為內容的游戲活動，是用統計思想方法解決問題的數據活動。編排這次動手做的目的，是要讓學生積極、主動地參與一次數據活動，獲得對數據的新體驗。教材有以下三點安排。圖文結合，講述了游戲方法把長20厘米左右的直尺豎直按在墻上，“0”刻度在下，食指按在“0”刻度處；突然松開食指，讓直尺下落，然后迅速用食指按住下落的直尺；食指按住刻度幾，表示直尺下落了幾厘米，隨時記錄這個數據。教材一方面設計了有興趣的游戲，另一方面引導學生把注意力集中到數據上面。組建小組，建議人數和次數4人一組進行活動，每人輪流做6次，根據記錄的數據，在方格紙上制作統計表或統計圖。這樣，小組內就可以比一比，看誰的反應速度最快，而且有較充分的數據來表明各人反應速度的快慢。把這些數據用統計圖表呈現出來，能方便比較，容易看出小組內各人的反應速度。提出課題，設計實驗方案為比較男、女生的反應速度，討論活動方案。如，小組內的人數與性別如何安排？數據記錄在怎樣的表格里？每人做6次，用哪個數據來比較？如果每組的男、女生都不是1人，男生用什么數據與女生比？這一段應該是整個動手做的重點，討論越充分，方案越成熟，游戲越順利，對數據活動的體驗就越豐富。【第二單元圓柱和圓錐】本單元在學生認識了圓，掌握了長方體和正方體的形狀特征以及表面積與體積計算方法的基礎上編排，是小學數學最后教學的形體知識。與長方體、正方體一樣，圓柱和圓錐也是基本的幾何形體，在日常生活和生產勞動中經常能夠看到這些形狀的物體。教學圓柱和圓錐，能夠擴大學生認識幾何形體的范圍，豐富對形體的認識，有利于解決更多的實際問題。教學圓柱和圓錐，也能夠豐富學生認識幾何形體的活動經驗，深入理解體積的意義和常用的體積單位，有利于完善認知結構，發展空間觀念。教學圓柱和圓錐，還能夠給學生提供探索表面積和體積計算公式的機會，有利于轉化能力和推理能力的進一步提高。全單元編排五道例題，具體安排見下表：例1 圓柱、圓錐的形狀特點例2 圓柱的側面積例3 圓柱的表面積例4 圓柱的體積例5 圓錐的體積從表格里可以看到，全單元的教學內容大致由三部分組成:認識圓柱和圓錐，了解它們的形狀特點；理解圓柱的側面積與表面積的含義，計算圓柱側面積和表面積的方法；理解圓柱和圓錐體積的意義，計算圓柱和圓錐體積的公式。由于圓錐的表面展開圖是一個扇形和一個圓的組合，相對比較復雜，所以小學數學不教學扇形的面積，即本單元不涉及圓錐的側面積和表面積。從表格里還能看到，教學圓柱和圓錐的內容編排，與教學長方體和正方體差不多。這就使本單元的教學，可以充分利用以前教學長方體和正方體的方法與經驗，提高效率，讓學生在各個方面都得到較好的鍛煉。（一） 仔細觀察、動手操作、充分交流，了解圓柱和圓錐的形狀特點，建立相應的形體概念教材編排一道例題，先后教學圓柱和圓錐的形狀特點。這樣安排出于兩個原因：一是學習圓柱和圓錐的起點不同，二是認識圓柱和圓錐的難度不同。學生在第一學段已經直觀認識了圓柱，通過滾一滾、堆一堆、摸一摸等活動，對圓柱的形狀有了一些粗淺的感受。這是他們繼續認識圓柱的起點，而學習圓錐就沒有這樣的臺階。相對于認識圓柱來說，了解圓錐會稍難些。首先，圓柱有兩個圓形底面，圓錐是一個底面、一個頂點，感受圓柱側面是曲面比較容易，感受圓錐側面是曲面稍難些。其次，圓柱的高是它兩個底面之間的距離，比較容易表示和測量。圓錐的高是它頂點到底面的距離，表示或測量都要難些。可見，把認識圓柱和圓錐的教學適當分開，先圓柱、后圓錐，是比較好的編排。像這樣先“易”后“難”，先“熟”后“生”，有利于教學突出重點。把圓柱的認識與圓錐的認識編排在一道例題里教學，也體現了它們既是不同的幾何體，也有內在聯系。它們的聯系，一是“都有圓形底面”，二是“圓錐體積是等底等高圓柱的三分之一”。教學圓柱，從識別圓柱形物體開始。因為日常生活中有許多圓柱形狀的物體，學生已有識別的能力。通過識別，不僅引出了學習內容，而且能體會學習圓柱的現實意義。例題的圖片里，有些物體是圓柱形的，有些物體是圓錐形的。圓柱形的物體中，有的橫放、有的豎擺；有的很高、有的很矮。這就為教學圓柱提供了豐富的感性材料。教學圓柱的形狀特點，要引導學生觀察、操作、交流，教師適時給出必要的講解。因為圓柱的形狀需要學生充分感知，有關圓柱特點的數學術語和規范表述不是他們發現創造，而是意義接受的。三個小卡通的交流，代表學生通過觀察、操作，獲得的有關圓柱的感性認識，也是圓柱的最主要特點。學生通常對圓柱“上下兩個面是完全相同的兩個圓”“有一個曲面”這兩點比較關注，對圓柱“上下一樣粗”容易疏忽，教學要注意這一點。在學生交流圓柱特征的過程中，教師可以相機指出圓柱上、下兩個面叫作圓柱的“底面”，圍成圓柱的曲面叫作“側面”；及時呈現圓柱的幾何圖形，在圖形上標出底面和側面。這是幫助學生建立圓柱概念的重要步驟。教師還應該告訴學生，圓柱兩個底面之間的距離叫作高，并在圓柱的幾何圖形上標出高，直觀表達高的數學含義。同時，也讓學生想想測量圓柱高的方法。以往，有些課堂上強調圓柱有“無數”條高。這出于可以在圓柱的側面上或圓柱的內部，可以任意選擇位置表示出圓柱的高。其實圓柱的“高”是一個數學概念，指的是圓柱兩個底面之間的距離。人們可以在適當的位置上表示圓柱的高，在方便的位置上測量圓柱的高。教學應該突出的是關于圓柱高的概念，關于圓柱圖形上表示高的方法，以及測量圓柱形物體的高的方法。沒有必要在“幾條”上糾纏不清，特別不能造成概念的含糊。教學圓錐，從圓錐形狀的物體引入。由于學生首次接觸圓錐，教材指著沙堆、屋頂等圖片，告訴他們“這些物體的形狀都是圓錐體，簡稱圓錐”。認識圓錐的學習方式與認識圓柱相似，也是一邊觀察、操作、交流，一邊接受教師的講解。要引導學生把認識圓柱的學習活動經驗遷移到認識圓錐上來，在觀察圓錐形物體的基礎上抽象出圓錐的幾何圖形；在交流圓錐特征的過程中認識圓錐的頂點、底面和側面。圓錐的高是教學難點。因為圓錐的高是圓錐內部一條線段的長。教材圖文結合，指出從圓錐的頂點到底面的距離是圓錐的高，并在圓錐的幾何圖形上用虛線畫出從頂點到底面圓心的線段，幫助學生理解圓錐高的含義。教學圓錐的高，除了準確而精練的講解，還要給學生體會和內化的機會。可以讓他們指著圓錐形實物或圓錐的幾何圖形，說說什么是圓錐的高，并且想辦法量出圓錐形物體的高。例1的“練一練”提供了九個物體的圖片，要求找出其中圓柱形狀的物體和圓錐形狀的物體。教學這道題，不僅要讓學生辨別哪些物體是、哪些物體不是，還要引導他們說出理由。尤其對上口小、下底大的杯子，兩個底面雖然相同但兩底之間粗細不同的鼓等等，指出它們不是圓柱或者不是圓錐的原因，以加強對圓柱和圓錐形狀特點的體驗。練習二第1、2、3題配合例1的教學。練習設計十分重視空間觀念的培養，有很強的操作性。尤其是第2題，要求從前面、右面、上面觀察圓柱和圓錐，通過立體圖形與平面圖形、曲面與平面的相應轉化，加強對圓柱和圓錐特征的體驗。特別是從正面和側面觀察圓柱或觀察圓錐，看到的圖形相同；從上面觀察圓錐，看到一個圓以及它中心的一個點。能使頭腦里的圓柱、圓錐表象更加清晰。第3題要求利用教科書附頁里的圖形做一個圓柱和一個圓錐，體會圓柱的側面是長方形卷成的，圓錐的側面是扇形卷成的，經歷平面變成曲面的過程。同時，做出一個圓錐只要一個圓，做出一個圓柱需要兩個同樣大小的圓，再次體會了圓柱和圓錐的特征。測量做出的圓柱和圓錐的底面半徑與高，可以再次鞏固高的概念，也能為接下來教學表面積和體積作些準備。（二） 展開圓柱的側面與表面，探索側面積與表面積的計算方法圓柱是兩個同樣大小的圓和一個曲面圍成的立體，它的表面積是側面積與兩個底面積的總和。圓柱的側面展開是什么形狀？側面積怎樣計算？這些都是新知識。為此，教材先安排例2教學圓柱的側面積，再在例3里教學圓柱的表面積。例2要求計算圓柱形罐頭側面的商標紙的面積。學生在這個問題情境里會產生把商標紙剪開后看看、算算的想法，這正是教材期望的學習活動。例題的教學分三步安排：第一步由“白菜”卡通指導學生“沿著接縫把商標紙剪開，展開后看看是什么形狀”，讓他們通過這些操作，發現商標紙展開后是長方形，從而理解圓柱的側面展開圖是一個長方形。教學這一步，要組織學生討論“為什么沿著接縫剪？”弄明白沿著其他地方剪也能把商標紙展開，但得到的不一定是長方形，計算長方形的面積比計算其他圖形的面積方便。還要組織學生討論“商標紙的接縫相當于圓柱的什么？”弄明白沿著接縫剪相當于沿著圓柱的一條高剪，而這樣做才能使側面展開成一個長方形。第二步研究長方形的長與寬在圓柱上各是什么。因為計算長方形面積需要知道它的長與寬，而在圓柱上只知道底面直徑和高，必須溝通長方形的長、寬和圓柱的直徑、高之間的聯系，為計算側面積創造條件。教學這一步應該讓學生明白研究什么、為什么研究，帶著積極的心向去尋找聯系。還要讓學生面對長方形圍成圓柱的側面、圓柱側面展開成長方形的現象，理解長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高。由此得出圓柱的側面積等于底面周長乘高。第三步列式計算商標紙的面積，即計算圓柱的側面積。這一步要求學生獨立完成。教師要指導他們分步計算，先算出圓柱的底面周長（側面展開的長方形的長），再計算圓柱的側面積。分步列式計算能減少錯誤，比列綜合算式方便。還要支持學生使用計算器，沒有必要把大量的時間和精力放在繁瑣的乘法筆算上。教材還指出“（商標紙的面積）也可以這樣計算：1115=165”，省略1653.14的筆算，用165作為最后的得數。這與中學數學是接軌的，會受到教師和學生的歡迎。例4教學圓柱的表面積，關鍵在于建立表面積的概念。只要理解“求表面積”就是求什么，算法自然就產生了。而且長方體與正方體表面積的概念和算法，對教學圓柱表面積有支持作用。例題按如下的思路編寫，大致分兩步教學。第一步要求在方格紙上畫出一個圓柱的表面展開圖。這個圓柱的幾何圖形上標出了底面直徑2厘米、高2厘米，要求學生看著圓柱圖形和標注的底面直徑與高，思考圓柱的側面沿著高展開，得到的長方形長和寬各是多少厘米，兩個底面分別是多大的圓，并在方格紙上畫出一個長方形和兩個圓，即這個圓柱的表面展開圖。畫出的圖形能直觀展示表面積的含義：圓柱側面積與兩個底面積的和，是圓柱的表面積。這既是表面積的概念，也是計算表面積的方法。和長方體、正方體的表面積計算一樣，圓柱的表面積計算也不給出公式，讓學生在理解表面積意義的基礎上推理算法，以避免記憶公式的負擔。第二步計算例題呈現的圓柱的表面積。由于計算圓柱側面積的方法已在例2教學，計算兩個底面圓的面積是舊知識，學生應該能獨立計算圓柱的表面積。教師仍然要提醒他們列分步算式解答，通常先算出側面積，再算出一個底面的面積，然后算側面積與兩個底面積的和。學生如果用4表示側面積，用2表示兩個底面圓的面積，用6表示表面積，應該加以肯定。計算圓柱的側面積或表面積，一般都已知圓柱的高，還要已知底面的直徑（或者半徑、周長）。接著例3編排的“練一練”給出的底面條件有直徑、有半徑、也有周長等各種情況，要幫助學生激活有關圓的知識和經驗，并正確應用到計算圓柱的側面積和表面積上面。練習二第412題，應用圓柱側面積和表面積知識解決實際問題。習題編排分三個層次：第4、5兩題的練習重點是把實際問題抽象成數學問題，求制作隊鼓的鋁皮面積是計算圓柱的側面積，求制作隊鼓的羊皮面積是計算兩個底面積的和，求做一個油桶需要的鐵皮是計算圓柱的表面積。第6題有整理知識和思路的作用。通過填表幫助學生進一步區分圓柱的側面積、底面積、表面積三個不同的概念和不同的算法；整理側面積、底面積與表面積之間的聯系，使計算圓柱表面積的思路更加清楚。第612題要求靈活應用圓柱側面積與表面積的知識解決問題，有時只需要計算側面積，有時要計算側面積與一個底面積的和，有時是計算表面積。正確解答這些問題，需要仔細讀題，準確理解題意，還要有相應的生活常識和經驗。如通風管是沒有底面的圓柱形筒，計算通風管所用的材料，是求圓柱側面積的問題。無蓋的水桶可以看成只有一個底面的圓柱形，計算制作這樣的水桶要用多少材料，是求圓柱側面積和一個底面積的和。（三） 通過猜想驗證，探索圓柱和圓錐的體積計算公式學生已經掌握了長方體和正方體的體積公式，而且知道它們的體積都可以用“底面積高”來計算。事實上，不僅是長方體與正方體，求各種直柱體的體積都可以用“底面積高”來計算，圓柱的體積也是這樣。例4教學圓柱的體積。教材先呈現了長方體、正方體和圓柱這三個立體圖形，涂色突出它們的底面，指出這三個幾何體的底面積相等，高也相等。要求先猜想圓柱體積與等底（面積）等高的長方體、正方體體積是不是相等，再通過把圓柱“等積變形”證實猜想，推導出圓柱的體積計算公式。猜想與驗證是人們解決問題經常采用的策略。教材鼓勵學生猜想并驗證，調動他們的積極性，使圓柱體積的教學不是被動接受，而是有意義的探索。例題通過兩個問題幫助學生形成猜想：第（1）個問題是圖示的長方體和正方體體積相等嗎？為什么？引導學生回憶長方體和正方體的體積都可以用“底面積高”的方法計算，從長方體與正方體的底面積相等、高也相等，判斷它們的體積相等。充分體會長方體或正方體的體積與它們的底面積和高有關，把計算直柱體體積的心向調整到“底面積高”上面。第（2）個問題是猜想圖示的圓柱體積會不會和長方體、正方體的體積相等。從等底（面積）等高的長方體與正方體體積相等，類比推理等底（面積）等高的圓柱與長方體體積也會相等，猜想圓柱的體積也可以用“底面積高”來計算。這就為探索圓柱的體積公式找到了方向。猜想必須驗證，這是科學精神、嚴謹態度的表現。類比推理的結論可能正確，也可能錯誤，要經過驗證才能確認或者否認。為了證實圓柱體積可以用“底面積高”計算，教材設計了三步活動：首先是形成驗證思路，把圓柱轉化成等底（面積）等高，體積不變的長方體，并展示轉化過程。轉化思路的形成，借鑒了把圓轉化成長方形計算面積的經驗。轉化的要領是保持圓柱與長方體等底（面積）、等高、等（體）積。學生可以看教材里的插圖，明白怎樣把圓柱切割與改拼。如果能親自操作學具，實踐圓柱的等（體）積變形，就更好了。然后是滲透極限思想。把圓柱的底面平均分成16份，切開后拼成的只是一個近似于長方體的物體。如果圓柱的底面平均分的份數越多，切開后拼成的物體越接近長方體。圓柱底面被平均分的份數足夠多，就能轉化成等底（面積）、等高、等（體）積的長方體。最后是推導圓柱的體積計算公式。由于圓柱與轉化成的長方體體積相等，所以求圓柱的體積只要計算長方體的體積；由于長方體體積可以用底面積乘高計算，而長方體的底面積與圓柱底面積相等，長方體的高與圓柱的高相等，“底面積高”計算的既是長方體的體積，也是圓柱的體積。由此得出圓柱的體積計算公式：圓柱的體積底面積高。必須注意的是，在得出圓柱體積計算公式以后，教材安排“回顧圓柱體積公式的探索過程”，要求學生交流體會。“轉化”是探索圓柱體積公式的策略，在尋求圓柱體積計算方法的過程中，“轉化成長方體”是關鍵。教學應通過回顧，突出轉化策略在這里的應用，聯系實際加強策略意識。另外，用“底面積高”涵蓋長方體、正方體和圓柱的體積計算，有利于優化認知結構，這也應是回顧與反思的一個重要內容。得出圓柱的體積公式以后，利用公式計算圓柱的體積就讓學生獨立進行了。“試一試”和“練一練”分別已知圓柱的底面半徑和高、底面直徑和高、底面周長和高，求圓柱的體積。與前面計算圓柱的表面積相似，計算體積也可以分步列式，先算出圓柱的底面積，再計算體積。尤其是已知圓柱底面直徑或周長時，分步計算體積能夠減少錯誤。練習三配合例4的教學，設計了三個層次的習題。第1、2兩題是一個層次，主要幫助學生消化基礎知識。計算圓柱體積的基本方法是底面積乘高，如果已知圓柱的底面積，可以直接與高相乘；如果沒有已知底面積，應該先算出底面積。第49題是一個層次，主要幫助學生應用體積知識解決實際問題。要注意的是，如果計算圓柱形物體的體積，應該在物體外面測量有關的長度；如果計算圓柱形物體的容積，應該從物體的里面測量需要的數據。其中第7題，把一張長5厘米、寬4厘米的長方形紙分別繞其長或寬旋轉，能形成兩個不同的圓柱。先估計這兩個圓柱的體積，指出哪一個大，再計算它們的體積，驗證前面的估計。教學這道題，要讓學生體驗“長方形繞其長（寬）旋轉，能形成長方體”的現象。如有必要，可以動手操作，實踐一下。要識別形成的圓柱的底面半徑和高，把已知的長方形的長、寬轉化成圓柱的有關數據。形成的兩個圓柱，一個的底面小一些、高一些，另一個的底面大一些、矮一些。估計哪一個的體積比較大，其實是猜一猜哪個的體積大。猜對和猜錯，都要通過計算體積來驗證。第1016題是一個層次，主要幫助學生綜合應用圓柱表面積和體積的知識。要整理表面積和體積的概念與算法，在求異的時候也要關注求同。求同往往能形成比較上位的認識，求異有助于區分下位的知識。以往的教學比較重視比“異”，疏忽比“同”，這里說說求同。如長方體和圓柱的表面積都是它所有面的面積總和，計算表面積要把各個面的面積相加；長方體和圓柱的體積都是它所占空間的大小，計算體積都可用底面積乘高。再如計算長方體、圓柱的表面積或體積，都需要知道高和有關底面的條件。底面周長乘高得到側面積，底面積乘高得到體積要辨別所解決的實際問題與物體的表面積有關還是與體積有關，應用相應的知識去解答。要靈活應用體積公式，在求物體的體積時，可以按公式列出算式；在已知物體的體積，求它的高（或底面積）時，可以按公式列出方程。練習三的后面是“動手做”，要求測量土豆的體積。土豆的形狀不規則，求它的體積沒有現成的計算公式。教材設計了利用圓柱形容器測量土豆體積的方法：先準備材料圓柱形容器1個，土豆1個；講解測量方法在容器里放適量的水，把土豆浸沒在水中，測量并記錄相關的數據，算出土豆的體積。并且提供一張表格，提示應該記錄容器的底面積、放入土豆前的水面高度、放入土豆后的水面高度以及算出的土豆體積。然后是測量與計算，一邊操作一邊思考應注意什么。如，容器底面積不能直接量得，只能測量底面的半徑、直徑或周長。測量半徑需要確定圓心，測量周長還要計算直徑，一般測量直徑，既容易量，也便于算。又如，測量底面直徑、水面高度都要在容器里面進行，利用容器里面的數據，算出的才是水的體積、土豆的體積。教學應在適當時候組織學生反思這次測量活動，體會其中的“轉化”策略：把形狀不規則的土豆體積，轉化成形狀規則的圓柱體積，通過計算圓柱體積，得到土豆的體積。例5教學圓錐的體積，教學思路也是先猜想再驗證。教材首先出示底面積相等，高也相等的圓柱和圓錐各一個，涂色表示它們的底面相等，用兩條平行的虛線表示高相等。要求學生估計這個圓錐的體積會是圓柱的幾分之幾，引導他們利用圓柱的體積求圓錐的體積。這里的估計是形成一個猜想，如果等底（面積）等高的圓柱和圓錐的體積之間存在確定的倍數關系，就可以利用圓柱的體積計算圓錐的體積。學生不一定估計圓錐的體積是圓柱的三分之一。不過，這并不要緊，后面的實驗會得出這個關系。只要形成圓錐體積與等底（面積）等高圓柱體積有關的心向，就能支持后面的操作驗證。例題把驗證活動分成三步進行。第一步選擇實驗器具：等底等高的圓柱形和圓錐形容器各一個。圖示的方法里，把圓錐形容器放到圓柱形容器的上面，容易比出底面積是否相等。把圓柱形容器和圓錐形容器靠近著放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步倒沙實驗：在圓錐形容器里裝滿沙子，倒入圓柱形容器。從“3次正好倒滿”這個事實，證實圓柱形容器的容積是等底等高圓錐形容器的3倍，也就是圓錐形容器的容積是等底等高圓柱形容器的1/3。第三步推導圓錐的體積計算公式：如果不考慮容器壁的厚度，圓錐容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓錐的體積，圓柱容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓柱的體積。從實驗的結果先得出等底等高圓錐和圓柱的體積關系：圓錐的體積圓柱的體積1/3；再把圓柱的體積計算方法代入關系式，得出圓錐體積計算公式：底面積高1/3。教材很重視引導學生體驗數學思想和積累數學活動經驗，在得出圓錐體積公式以后，要求他們回顧圓錐體積公式的探索過程。要讓學生說說自己的體會。整理學生的交流，應該突出兩點：一是“轉化”策略，圓錐體積可以轉化成圓柱體積來計算，新知識可以轉化成舊知識來認識。二是實現轉化可以通過猜想、驗證來落實，猜想圓錐體積與圓柱體積有關，并驗證這種關系確實存在，就實現了圓錐體積到圓柱體積的轉化。“練一練”加強對等底等高圓錐與圓柱的體積關系的把握。第1題先是已知圓柱體積求等底等高的圓錐體積，再是已知圓錐體積求等底等高的圓柱體積，讓學生充分利用圓錐體積是等底等高圓柱體積的1/3，圓柱體積是圓錐的3倍這兩個結論，加強對這種關系的理解和把握。在此基礎上完成第2題，學生求圓錐體積就不會忘記“1/3”了。練習四第5題要求把等底等高的圓柱體積和圓錐體積相互轉化，從已知的圓柱體積得出相應的圓錐體積，從已知的圓錐體積得出相應的圓柱體積，繼續加強對等底等高圓柱和圓錐體積關系的理解。第6題根據圖示的各個立體圖形的底面直徑與高，尋找與圓錐體積相等的圓柱，其中的推理稍有難度。可以從圓錐體積是等底等高圓柱體積的1/3，推理出體積相等的圓柱與圓錐，如果底面積相等，圓錐的高是圓柱的3倍圓柱的高是圓錐的1/3；如果高相等，圓錐的底面積是圓柱的3倍圓柱的底面積是圓錐的1/3。還要注意到，大圓的直徑是小圓的3倍小圓直徑是大圓的1/3，大圓的面積則是小圓的9倍小圓的面積是大圓的1/9。過去的教學告訴我們，這一單元的計算比較繁瑣，學生經常會算錯。對此提出三點建議：一是營造良好的計算環境。每次作業的題量不宜過多，給學生的時間要充分，心理壓力小些能減少計算錯誤。二是較復雜的計算可以使用計算器。通常情況是，三位數乘一位數、三位數乘兩位數可以采用筆算，位數更多的乘法應該用計算器算。沒有必要讓學生進行繁瑣的四則運算，消耗時間和精力。三是指導簡便運算。在半徑的長度數是5、15、25，高的長度數是2、4、8時，往往可以利用乘法運算律使計算簡便些。要善于發現、及時利用可以簡便計算的機會。四是鼓勵用含有的式子作為計算的最后結果。（四） 單元整理與練習里，加強“探索與實踐”欄目的設計編排本單元的整理與練習仍然按“回顧與整理”“練習與應用”“探索與實踐”“評價與反思”四個欄目編寫。這里著重說說“探索與實踐”欄目的習題。第12題探索一個規律。有兩個圓柱形容器，它們的高相等，底面半徑的比是12，問它們的體積比是幾比幾。這道題有培養推理能力的作用。學生中可能有兩個水平的推理：一種水平的推理比較具體，可以假設兩個容器的高都是10厘米，一個容器的底面半徑1厘米，另一個容器的底面半徑2厘米，就能算出這兩個容器的體積分別是10立方厘米和40立方厘米，由此得到它們的體積比是14。另一種水平的推理較抽象，由于兩個容器的高相等，所以它們的體積比決定于它們底面積的比。兩個容器的底面半徑的比為12，底面積的比應該是14，由此得到體積比是14。這道題在教學正比例和反比例以后，還可以如下推理：圓柱體積/底面積=高（一定），圓柱體積和底面積成正比例。底面半徑乘2（除以2），底面面積乘4（除以4），體積也乘4（除以4）。所以兩個容器的體積比是14。要根據學生的年齡特征來選擇如何推理。對大多數學生而言，采用前一水平的推理比較適當，后一水平的推理，只會有少數學生適應。第1/3題是實踐操作題。要求任選一個圓柱形飲料罐，計算它的容積。計算圓柱容器的容積，需要哪些長度？如何測量這些長度？都由學生拿主張。算出的容積應該比飲料罐商標紙上標出的“凈含量”稍大一些，否則飲料罐里裝的飲料不會達到凈含量。第14題是制作實驗題。要求選一張長方形紙，用它卷成兩個大小不同的圓柱。其中一個圓柱的底面周長是長方形紙的長，高是長方形紙的寬；另一個圓柱的底面周長是長方形紙的寬，高是長方形紙的長。要回答的問題是“怎樣卷，圓柱的體積比較大？”解決這個問題可以假設長方形紙長10厘米、寬6厘米，一種卷法形成的圓柱體積大約15.36（底面周長10厘米，半徑1.6厘米，底面積2.56平方厘米）；另一種卷法形成的圓柱體積大約10（底面周長6厘米，半徑1厘米，底面積平方厘米），怎樣卷體積大就很清楚了。這道題能發展空間觀念。學生識別長方形的長、寬和圓柱的底面周長、高之間的對應關系，需要動手操作，用一張長方形紙卷一卷、看一看。【第三單元解決問題的策略】從三年級上冊起，每一冊教科書里都教學一種策略，依次是分析量關系的“從條件向問題推理”和“從問題向條件推理”，幫助理解題意的“列表整理”和“畫圖整理”，還有“枚舉”“轉化”“假設與替換”等策略。本單元沒有安排新的策略，只是應用前面教學的策略，解決稍復雜的問題。目的是讓學生進一步體會策略在解決新穎問題、復雜問題時的作用，體會解決同一個問題的方法多樣、策略靈活，體會各種策略之間的相互配合、相互補充。全單元編排兩道例題，具體安排見下表：例1 把陌生的問題轉化成熟悉的問題，體會轉化可以多樣例2 通過假設和調整解決問題，體會假設與調整可以多樣心理學研究人們是怎樣解決數學問題的，發現經常是“模式識別問題轉化模型還原”的過程。解題者在感知數學問題、理解題意時，經常會想“這是什么問題？”通過辨別問題的類型，力求與自己頭腦里儲存的范例、模型發生某種聯系，從而利用已有的知識經驗，很快找到解決問題的途徑與方法。這就是所謂的“模式識別”。有很多時候，解題者遇到的問題與頭腦里儲存的范例、模型很不一致，難以檢索到可以直接用來解題的思路與方法。面對陌生的、新穎的問題，需要把它適當轉化，使轉化后的問題便于檢索、能夠解答。這就是所謂的“問題轉化”，是十分重要的解決問題策略。數學問題最終要利用檢索到的數學模型來解決，轉化后的問題的答案是不是適合原來的問題，需要將解題的結果放到原問題的情境中進行檢驗，作出確認或否定。像這樣把轉化獲得的數學模型還原到原來的問題情境中，就是所謂的“模型還原”。回顧前面的解決問題教學，學生在學習基本思路“條件向問題推理”“問題向條件推理”時，解答過許多兩步計算的實際問題；在學習列表整理、畫圖整理時，也解答過一些兩、三步計算的實際問題；在學習分數和百分數時，解答過大量的分數或百分數實際問題。應該說，在他們的認知結構里儲存了較多的問題范例，以及這些問題的解法模型。他們在學習轉化策略、假設策略時，初步體會了轉化、假設的思想與方法，還進行過一些轉化或假設的活動。現在，可以通過“模式識別”順利解決認識的問題，可以通過“問題轉化”解決不熟悉的問題，可以通過“模型還原”解題并檢驗結果，他們解決問題的資源已經相當豐富。本單元讓學生利用已有資源繼續解決實際問題，進一步提升思維水平，提高解決問題的能力。教學解決問題的策略，一般有兩大類內容：一類是傳遞新知識、新思想、新方法，通過新的內容提高解決問題的能力。另一類是應用已有的解決問題的知識經驗、思想方法，加強對策略的體驗和方法的領悟，從深刻性、靈活性、綜合性上提高解決問題的能力。本單元的編排，體現了后一類的策略教學。（一） 分析某個分數的意義，聯系不同的知識，作出不同的推理，給出不同的解法，體會策略和方法的多樣性例1已知美術組一共有35人，男生人數是女生的2/3，求美術組的男、女生各有多少人。這是一個稍復雜的分數問題，大多數學生應該具有解決問題的經驗和能力。教材引導學生“根據題意分析數量關系，想一想可以怎樣解答”。題目里只有兩個已知數量，分析數量關系的切入口應該是“男生人數是女生的2/3”。根據2/3這個分數的意義，可以畫線段圖，看出男生人數是美術組總人數的2/5。原來的問題就轉化成美術組一共有35人，男生人數是總人數的2/5，女生人數是總人數的3/5，男生有多少人？女生有多少人？這是簡單的求一個數的幾分之幾是多少的問題。根據分數2/3的意義，可以推理出“男生人數和女生人數的比是23”。原來問題就轉化成美術組一共有3/5人，男生與女生人數的比是23，男生、女生各有多少人？這是按比例分配問題。學生很可能還有別的想法，如，根據分數2/3的意義，想到“女生人數看作3份，男生人數是2份”，于是產生解題思路：先算出1份是幾人，再算2份、3份各是多少人。再如，把作為單位“1”的女生人數設為x，那么男生人數就是2/3x，利用美術組一共35人，能夠列方程解題“選擇一種方法列式解答”是經過“問題轉化”以后的“模式識別”。利用已有的模型解決轉化后的問題，也就是解答原來的問題。學生采用任何一種解法都可以，但不是要求他們“一題多解”。“檢驗”十分重要，應把得數放到原來的問題情境里檢驗是否正確。即看一看得到的男、女生人數是不是一共35人，男生人數是不是相當于女生的2/3。如果得數能夠同時滿足這兩個條件，就是原來問題的答案。否則，就不是原來問題的答案。教學解決問題的策略，目光不能局限在列式解答以及求出得數上面，要重視策略的選擇和使用。從大處講，多數學生使用轉化策略，把一個陌生的、較難的問題轉化成熟悉的、會解答的問題，他們選擇了相同的解決問題策略。從細處講，根據“男生人數是女生的2/3”展開的推理不盡相同：喜歡形象思維的學生可以畫線段圖，善于抽象思維的學生可以多一些理性思考。學生之間，由于聯系了不同的知識，對分數2/3就有不同的理解與解釋，解題的思路和方法也隨之不同。他們在應用轉化策略時各有自己的主張。這就體現了轉化策略在應用中既是廣泛的，又是靈活的。教材要求學生說說“你選擇了什么策略，是怎樣想的”，希望他們在交流中獲得這些體驗。所以，組織學生交流，不能停留在怎樣解答、算式怎樣、結果對不對的上面，而要挖掘深層次的思考，說出為什么轉化、怎樣轉化、聯系了什么知識、應用了什么方法通過相互理解和相互評價，體會方法的多樣性。還應該看到，解答例1時的轉化，決定于對分數意義的理解與解釋。如果概念準確，概念系統完善，從分數意義出發的推理就嚴密、流暢，轉化也就順利、有效。反之，如果分數概念模糊，分數和其他數學概念沒有建立實質性聯系，要想通過推理實現問題的轉化將是很難的。為此，練習五第1題安排了分數與比的轉化練習，要求學生根據示意圖里的數量關系，寫出分數，并轉化成比。或者寫出比，再轉化成分數。這道題可以看作溝通數學概念之間聯系，組建概念系統的練習，有助于問題的轉化。教材提倡學生利用圖形直觀幫助聯想，第2題根據已知的比或百分數，把線段圖補充完整，要求借助線段圖，把稍復雜的問題轉化成簡單的問題，探索原來問題的解法。在線段圖上可以聯想到的數學信息越多，思維就越開放，問題轉化的思路會越開闊，解決問題的資源也就越充分。（二） 解決同一個問題，提出幾個不同的假設，采用幾種不同的形式，體會策略和方法的多樣性例2的問題情境是42人正好坐滿10只船，求大船和小船各有幾只。這個問題的題意并不復雜，學生能夠理解。但是，解法不容易想到，一般的分析數量關系的方法派不上用場。教材問學生“解決這個問題，你準備用什么策略”，不要求說出解題思路和算法，而是鼓勵他們從已經學過的列表、畫圖、枚舉、假設和轉化策略里自主選擇解題方法。正像“辣椒”卡通的畫圖、“蘿卜”卡通的列舉、“番茄”卡通的假設那樣，每個學生都要有自己的選擇，班集體里就會呈現策略多樣化。無論用哪種策略解決問題，大船和小船一共10只是不能改變的。“辣椒”卡通畫了10只大船，每只船上的5個圓表示坐5人，這些船上一共可以坐50人，比實際多了8人。于是，從一只船上去掉2人，把這只大船換成小船；又從另一只船上去掉2人，也用小船替換大船像這樣替換4次，6只大船和4只小船一共乘42人，得到了問題的答案。“蘿卜”卡通的想法是，租船方案可能是1只小船和9只大船、2只小船和8只大船哪一種方案剛好坐42人，就是問題的答案。于是把各種租船可能，有次序地列舉在一張表格里，分別計算每一種方案坐的人數，與42人比對，逐漸找到問題的答案。“番茄”卡通假設大船和小船都是5只，算出這些船一共可以坐40人，而40人比全班人數少2人，于是想辦法調整大、小船的只數。只要學生有主動解決問題的積極