2.3.1雙曲線及其標準方程三維目標 1.知識與技能理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義，會用雙曲線的定義解決問題；了解雙曲線標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用方法2過程與方法通過定義及標準方程的挖掘與探究，使學生進一步體驗類比、數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力3情感、態度與價值觀通過教師指導下學生的交流探索活動，激發學生的學習興趣，培養學生用聯系的觀點認識問題重點難點重點：理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程難點：雙曲線標準方程的推導由于雙曲線的定義和標準方程與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗，所以本節課用“啟發探究”式的教學方式，重點突出以下兩點：以類比思維作為教學的主線；以自主探究作為學生的學習方式，并結合多媒體輔助教學，進而實現重點、難點的突破教學建議 在教法上，宜采用探究性教學法和啟發式教學法讓學生根據教學目標的要求和題目中的已知條件，自覺主動地創造性地去分析問題、討論問題、解決問題以啟發、引導為主，采用設疑的形式，逐步讓學生進行探究性的學習通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷“觀察猜想證明應用”的過程，發現新的知識，把學生的潛意識狀態的好奇心變為自覺求知的創新意識又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質教學流程課標解讀1.了解雙曲線的定義及焦距的概念2了解雙曲線的幾何圖形、標準方程(重點)3.能利用雙曲線的定義和待定系數法去求雙曲線的標準方程(重點)雙曲線的定義【問題導思】1我們知道，與兩個定點距離的和為非零常數(大于兩定點間的距離)的點的軌跡是橢圓，那么與兩定點距離的差為非零常數的點的軌跡是什么？【提示】雙曲線的一支2若定義中的常數大于或等于|F1F2|時，軌跡是什么？【提示】當常數等于|F1F2|時，軌跡為以F1，F2為端點，在直線F1F2上反向的兩條射線F1A，F2B(包括端點)，如圖所示當常數大于|F1F2|時，軌跡不存在把平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距雙曲線的標準方程【問題導思】類比橢圓標準方程的建立過程，你能說說怎樣選擇坐標系，建立雙曲線的標準方程嗎？【提示】以經過兩焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建坐標系焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦點F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c，c2a2b2雙曲線定義的應用已知雙曲線1的左、右焦點分別是F1、F2，若雙曲線上一點P使得F1PF260，求F1PF2的面積【思路探究】(1)在PF1F2中，由余弦定理能得到|F1F2|、|PF1|、|PF2|三者滿足怎樣的關系式？(2)結合雙曲線的定義，能否求出|PF1|PF2|的值進而求出F1PF2的面積？【自主解答】由1，得a3，b4，c5.由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，SF1PF2|PF1|PF2|sin F1PF26416.求雙曲線中焦點三角形面積的方法：法一：(1)根據雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a；(2)利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之間滿足的關系式；(3)通過配方，整體的思想求出|PF1|PF2|的值；(4)利用公式SPF1F2|PF1|PF2|sinF1PF2求得面積法二：利用公式SPF1F2|F1F2|yP|求得面積本例中若F1PF290，其他條件不變，求F1PF2的面積【解】由雙曲線方程知a3，b4，c5由雙曲線的定義，|PF1|PF2|2a6，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36在RtF1PF2中，由勾股定理|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100將代入得：|PF1|PF2|32，SF1PF2|PF1|PF2|16.求雙曲線的標準方程求適合下列條件的雙曲線的標準方程(1)a4，且經過點A(1，)；(2)經過點P1(2，)和P2(，4)兩點【思路探究】(1)所求曲線的焦點位置確定嗎？(2)如何求出a2、b2的值？【自主解答】(1)若所求雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，則將a4代入，得1.又點A(1，)在雙曲線上，1.由此得b20，不合題意，舍去若所求雙曲線方程為1(a0，b0)，則將a4代入得1，代入點A(1，)，得b29，雙曲線的標準方程為1.(2)法一當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線方程為1(a0，b0)P1、P2在雙曲線上，解得(不合題意舍去)當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線的方程為1(a0，b0)P1、P2在雙曲線上，解得，即a29，b216.故所求雙曲線方程為1.法二因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設曲線方程為mx2ny21(mn0)，因為P1、P2在雙曲線上，所以有，解得.所求雙曲線方程為1，即1.1求雙曲線標準方程的兩個關注點：(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式(2)定量：是指確定a2、b2的數值，常由條件列方程求解2若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2ny21的形式，為簡單起見，常標明條件mn0.求適合下列條件的雙曲線的標準方程(1)一個焦點是(0，6)，經過點A(5,6)；(2)a5，c7.【解】(1)由已知c6，且焦點在y軸上，另一焦點為(0,6)由雙曲線定義2a|8.a4，b2c2a220.所求雙曲線的標準方程為1.(2)由已知a5，c7，b2c2a224，焦點不確定所求雙曲線的標準方程為1或1.雙曲線的定義與標準方程 的實際應用“神舟”九號飛船返回倉順利到達地球后，為了及時將航天員安全救出，地面指揮中心在返回倉預計到達區域安排了三個救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30方向，相距4千米，P為航天員著陸點某一時刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠，在此4秒后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號已知該信號的傳播速度為1千米/秒求在A處發現P的方位角【思路探究】由“A接收到P的求救信號的時間比其他兩個救援中心早4 s”能否得到|PB|與|PA|的差為定值？是否說明點P在以A、B為焦點的雙曲線的一支上？【自主解答】因為|PC|PB|，所以P在線段BC的垂直平分線上又因為|PB|PA|4，所以P在以A，B為焦點的雙曲線的右支上以線段AB的中點為坐標原點，AB的垂直平分線所在直線為y軸，正東方向為x軸正方向建立直角坐標系，如圖所示則A(3,0)，B(3,0)，C(5，2)所以雙曲線方程為1(x0)，BC的垂直平分線方程為xy70.聯立兩方程解得 x8，y5，所以P(8,5)，kPAtanPAx，所以PAx60.所以P點在A點的北偏東30方向解答此類題首先應建立平面直角坐標系，取兩定點所在的直線為x軸，以兩定點為端點的線段的中點為坐標原點；然后根據雙曲線的定義求出標準方程，再由標準方程解有關問題本題的解法主要運用了數形結合思想和函數與方程思想某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP，BP運到P處(如圖231所示)，|PA|100 m，|PB|150 m，APB60，試說明怎樣運土才能最省工圖231【解】設M是分界線上的任意一點，則有：|MA|PA|MB|PB|，于是|MA|MB|PB|PA|15010050.在PAB中，由余弦定理得，|AB|2|PA|2|PB|22|PA|PB| cos 6010021502210015017 500.以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系，則分界線是雙曲線，即1(x25)故運土時，將此雙曲線左側的土沿AP運到P處，右側的土沿BP運到P處最省工.混淆a、b、c的關系致誤雙曲線8kx2ky28的一個焦點坐標為(0,3)，求k的值【錯解】將雙曲線的方程化成標準形式為1.因為雙曲線的焦點在y軸上，所以a2，b2.所以c3，即9，所以k.【錯因分析】上述解法有兩處錯誤：一是a2，b2值確定錯誤，應該是a2，b2；二是基本量a、b、c的關系錯誤，在雙曲線中基本量a、b、c的關系應該是c2a2b2.【防范措施】在橢圓中，a、b、c的關系是c2a2b2；而在雙曲線中，a、b、c的關系是c2a2b2，二者極易混淆，要注意區分，以防錯誤【正解】將雙曲線的方程化成kx2y21.因為雙曲線的一個焦點坐標是(0,3)，所以焦點在y軸上，且c3.所以a2，b2.所以9，解得k1.1理解雙曲線定義應注意以下三點：定義中的動點與定點在同一平面內；距離的差要加絕對值，否則只表示雙曲線的一支；距離差的絕對值必須小于焦距，否則不是雙曲線，而是兩條射線或無軌跡2利用待定系數法可以求雙曲線的標準方程，求解步驟包括“定位”與“定量 ”兩步.1動點P到點M(1,0)，N(1,0)的距離之差的絕對值為2，則點P的軌跡是()A雙曲線B雙曲線的一支C兩條射線 D一條射線【解析】|PM|PN|2|MN|，點P的軌跡是兩條射線【答案】C2(2013徐州高二檢測)雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標為()A(，0) B(，0)C(，0) D(，0)【解析】將雙曲線方程化為標準形式x21，所以a21，b2，c，右焦點坐標為(，0)【答案】C3滿足條件a2，一個焦點為(4,0)的雙曲線的標準方程為()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由a2，c4，得b2c2a212，又一焦點(4,0)在x軸上，雙曲線的標準方程為1.【答案】A4已知雙曲線1的左支上一點M到其左焦點F1的距離為10，求點M到該曲線左焦點F2的距離【解】由1得a4，點M在雙曲線的左支上|MF2|MF1|，|MF2|MF1|2a8，又|MF1|10，|MF2|18.一、選擇題1(2013東營高二檢測)方程1表示雙曲線，則m的取值范圍()A2m2Bm0Cm0 D|m|2【解析】已知方程表示雙曲線，(2m)(2m)0.2m2.【答案】A2設動點P到A(5,0)的距離與它到B(5,0)距離的差等于6，則P點的軌跡方程是()A.1 B.1C.1(x3) D.1(x3)【解析】由題意，應為以A(5,0)，B(5,0)為焦點的雙曲線的右支由c5，a3，知b216，P點的軌跡方程為1(x3)【答案】D3(2013泉州高二檢測)已知定點A、B且|AB|4，動點P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值是()A.B.C.D5【解析】由題意知，動點P的軌跡是以定點A、B為焦點的雙曲線的一支(如圖)從圖上不難發現，|PA|的最小值是圖中AP的長度，即ac.【答案】C4若橢圓1(mn0)和雙曲線1(a0，b0)有相同的焦點F1、F2，P是兩曲線的一個交點，則|PF1|PF2|的值是()Ama B.(ma)Cm2a2 D.【解析】由橢圓定義知|PF1|PF2|2.由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2.22得4|PF1|PF2|4(ma)，|PF1|PF2|ma.【答案】A5已知雙曲線的兩個焦點分別為F1(，0)，F2(，0)，P是雙曲線上的一點，且PF1PF2，|PF1|PF2|2，則雙曲線的標準方程是()A.1 B.1Cx21 D.y21【解析】設|PF1|m，|PF2|n，在RtPF1F2中，m2n2(2c)220，mn2，由雙曲線定義，知|mn|2m2n22mn16.4a216.a24，b2c2a21.雙曲線的標準方程為y21.【答案】D二、填空題6雙曲線1的焦距為_【解析】c2m2124m216，c4,2c8.【答案】87(2013鄭州高二檢測)設點P是雙曲線1上任意一點，F1，F2分別是其左、右焦點，若|PF1|10，則|PF2|_.【解析】由雙曲線的標準方程得，a3，b4.于是c5.(1)若點P在雙曲線的左支上，則|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；(2)若點P在雙曲線的右支上，則|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|61064.綜上，|PF2|16或4.【答案】16或48(2013泰安高二檢測)方程1表示的曲線為C，給出下列四個命題：曲線C不可能是圓；若1k4，則曲線C為橢圓；若曲線C為雙曲線，則k1或k4；若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則1k.其中正確命題的序號是_(寫出所有正確的命題的序號)【解析】當4kk10時，即k時，曲線C是圓，命題是假命題對于，當1k4且k時，曲線C是橢圓，則是假命題根據雙曲線定義與標準方程，是真命題【答案】三、解答題9求與雙曲線1有相同焦點且過點P(2,1)的雙曲線的方程【解】雙曲線1的焦點在x軸上依題意，設所求雙曲線為1(a0，b0)又兩曲線有相同的焦點，a2b2c2426.又點P(2,1)在雙曲線1上，1.由、聯立，得a2b23，故所求雙曲線方程為1.10已知方程kx2y24，其中k為實數，對于不同范圍的k值分別指出方程所表示的曲線類型【解】(1)當k0時，y2，表示兩條與x軸平行的直線；(2)當k1時，方程為x2y24，表示圓心在原點，半徑為2的圓；(3)當k0時，方程為1，表示焦點在y軸上的雙曲線；(4)當0k1時，方程為1，表示焦點在x軸上的橢圓；(5)當k1時，方程為1，表示焦點在y軸上的橢圓11某部隊進行軍事演習，一方指揮中心接到其正西、正東、正北方向三個觀測點A，B，C的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了炮彈的爆炸聲，正東觀測點聽到爆炸聲的時間比其他兩觀測點晚4 s，已知各觀測點到該中心的距離都是1 020 m，試確定該枚炮彈的襲擊位置(聲音的傳播速度為340 m/s，相關各點均在同一平面內)【解】如圖，以指揮中心為原點，正東、正北方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(1 020,0