中國教育培訓領軍品牌授課主題二次函數動點問題例題講解教學目標1、 通過本節課學習能夠了解動點與二次函數之間的關系2、 熟練掌握因動點而產生三角形的問題解題思路3、 熟練掌握因動點而產生四邊形的問題解題思路4、 熟練掌握因動點而產生線段比例的問題解題思路授課日期及時段教學內容二次函數動點問題例題講解函數及其圖象是初中數學中的主要內容之一，也是初中數學與高中數學相聯系的紐帶它與代數、幾何、三角函數等知識有著密切聯系，考試命題中既重點考查函數及其圖象的有關基礎知識，同時以函數為背景的綜合性問題也是命題熱點之一，多數省市作壓軸題因此，在中考復習中，關注這一熱點顯得十分重要以函數為背景的綜合性問題往往都可歸結為動點性問題，我們把它歸納為以下幾種題型。一、 因動點而產生的等腰三角形問題1、如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A,它的對稱軸x=2 與x軸交于點C，直線y=-2x-1經過拋物線上一點B(-2,m)，且與y軸、直線x=2分別交于點D、E.（1）求m的值及該拋物線對應的函數關系式；（2）求證： CB=CE ； D是BE的中點；（3）若P(x，y)是該拋物線上的一個動點，是否存在這樣的點P,使得PB=PE,若存在，試求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由分析 (1)由點B(-2,m)在直線上,可求得的值及點B的坐標,進而求得拋物線的解析式;(2)通過分別求得CB和CE的長來說明CB=CE,過點B作BGx軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，過點E作EHx軸，交y軸于H，由DFBDHE,證得D是BE的中點；(3)若存在點P使得PB=PE,則點P必在線段BE的中垂線CD上,動點P又在拋物線上,通過解直線CD和拋物線對應的函數關系式所聯列的方程組,其解即為所求點的坐標.解（1） 點B(-2,m) 在直線上， m=-2(-2)-1=3. B(-2,3) 拋物線經過原點O和點A，對稱軸為x=2， 點A的坐標為(4,0) . 設所求的拋物線對應函數關系式為y=a(x-0)(x-4). 將點B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的拋物線對應的函數關系式為，即. （2）直線y=-2x-1與y軸、直線x=2的交點坐標分別為D(0,-1) E(2,-5).過點B作BGx軸，與y軸交于F、直線x=2交于G，則點G坐標為(2,3)BG直線x=2，BG=4.在RtBGC中，BC=. CE=5， CB=CE=5. 過點E作EHx軸，交y軸于H，則點H的坐標為H(0,-5).又點F、D的坐標為F(0,3)、D(0,-1)， FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90. DFBDHE （SAS）， BD=DE. 即D是BE的中點. (3)由于PB=PE， 點P必在線段BE的中垂線CD上，又點P在拋物線上, 符合條件的點P應是直線CD與該拋物線的交點.設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b. 將點D(0,-1) C(2,0) 代入，得. 解得 . 直線CD對應的函數關系式為y=x-1.解方程組 得 符合條件的點P的坐標為(，)或(，). 習題鞏固：2、如圖13，已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸與x軸交于點D 點M從O點出發，以每秒1個單位長度的速度向B運動，過M作x軸的垂線，交拋物線于點P，交BC于Q（1）求點B和點C的坐標；圖13（2）設當點M運動了x（秒）時，四邊形OBPC的面積為S，求S與x的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍（3）在線段BC上是否存在點Q，使得DBQ成為以BQ為一腰的等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由解： （1）把x =0代入得點C的坐標為C（0，2） 把y =0代入得點B的坐標為B（3，0） （2）連結OP，設點P的坐標為P（x，y） =+= = = 點M運動到B點上停止，（） （3）存在 BC= 若BQ = DQ BQ = DQ，BD = 2 BM = 1 OM = 31 = 2 QM =所以Q的坐標為Q （2，） 若BQ=BD=2 BQMBCO， = = QM = = = BM = OM = 所以Q的坐標為Q （，） 二、 因動點而產生的梯形問題3 如圖12， 四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4） 點從出發以每秒2個單位長度的速度向運動；點從同時出發，以每秒1個單位長度的速度向運動其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動過點作垂直軸于點，連結AC交NP于Q，連結MQ （1）點 （填M或N）能到達終點；（2）求AQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍，當t為何值時，S的值最大；（3）是否存在點M，使得AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由圖12解：（1）點 M （2）經過t秒時， 則，= 當時，S的值最大 （3）存在 設經過t秒時，NB=t，OM=2t 則，= 若，則是等腰Rt底邊上的高是底邊的中線 點的坐標為（1，0） 若，此時與重合點的坐標為（2，0） 三、 因動點而產生的線段和（差）問題4、如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點. （1） 求拋物線的解析式. （2）已知AD = AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。（注：拋物線的對稱軸為）（1）解法一：設拋物線的解析式為y = a (x +3 )(x - 4) 因為B（0，4）在拋物線上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以拋物線解析式為解法二：設拋物線的解析式為，依題意得：c=4且 解得 所以 所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在RtAOB中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 5 = 2因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因為AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小理由：因為拋物線的對稱軸為所以A（- 3，0），C（4，0）兩點關于直線對稱連接AQ交直線于點M，則MQ+MC的值最小過點Q作QEx軸，于E，所以QED=BOA=900 DQAB， BAO=QDE， DQE ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）設直線AQ的解析式為則 由此得 所以直線AQ的解析式為 聯立由此得 所以M則：在對稱軸上存在點M，使MQ+MC的值最小。四、 因動點而產生的四邊形問題5、.關于的二次函數以軸為對稱軸，且與軸的交點在軸上方（1）求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標系中畫出函數的草圖；（2）設是軸右側拋物線上的一個動點，過點作垂直于軸于點，再過點作軸的平行線交拋物線于點，過點作垂直于軸于點，得到矩形設矩形的周長為，點的橫坐標為，試求關于的函數關系式；（3）當點在軸右側的拋物線上運動時，矩形能否成為正方形若能，請求出此時正方形的周長；若不能，請說明理由參考資料：拋物線的頂點坐標是，對稱軸是直線解：（1）據題意得：，當時，當時，又拋物線與軸的交點在軸上方，拋物線的解析式為：函數的草圖如圖所示（只要與坐標軸的三個交點的位置及圖象大致形狀正確即可）（2）解：令，得不時，43211234（第26題）當時，關于的函數關系是：當時，；當時，（3）解法一：當時，令，得解得（舍），或將代入，得當時，令，得解得（舍），或將代入，得綜上，矩形能成為正方形，且當