解析延拓與孤立奇點備課講稿 第三章解析延拓與孤立奇點解析延拓與孤立奇點單值函數的孤立奇點多值函數二維調和函數與平面場保角變換法函數解析延拓解析函數與全純函數?名稱的羅朗級數例子可去奇點有限值無負冪項極點無限大含有限個負冪項本性奇點無定值含無限多個負冪項lim()z bf z?0z bR?0()()kkkf z a z b?()()kkk mfza zb?()()kkkf zazb?sin()zf zz?31() (2)f zz z i?1()zf ze?根據零點與極點的關系，即如果b點是函數f（x）的一個m階零點則b點就是函數的一個m階極點；反之亦然，來尋找函數的極點，并判斷極點的階數()1xf奇點分類可去奇點m階奇點本性奇點極限性質（當z無窮大）有限值無窮大無定值洛朗展開性質不含正冪項含有限個正冪項含無限個正冪項無窮遠點的性質多值函數多值函數w=f(Z)及支點定義多值函數函數值的確定多值函數的解析性與黎曼面復變函數單值函數多值函數本節研究復變函數中的多值函數。 一、多值函數w=f(Z)定義對于自變量z的每一個值，一般有兩個或者兩個以上的函數值w與之對應。 注意復變函數的多值性源于函數幅角的多值性多值函數有根式函數、對數函數、反三角函數定義支點對于每一個特定的多值函數，都存在一些特殊的點。 當Z環繞該點轉一圈回到原處時，w(z)的值將由一個單值分支變到另一個單值分支。 這些特殊的點就稱為多值函數的支點。 二、多值函數函數值的確定多值函數的研究方法首先將多個單值分支分開，在多值函數的兩個支點之間做割縫，并規定Z在連續變化過程中不能跨越割縫。 下一步是規定割縫上下岸的幅角值，這樣就完全確定了函數的單值分支。 1、根據以上方法確定那個函數的單值分支后，在一個單值分支中研究函數。 先確定函數的模，再通過變量Z的變化路徑可求得相應的函數值的幅角值。 2、在已知函數在某一點Z的值的情況下，也可以不做割縫，而是規定Z由參考點到終點的變化路徑，因為上一種方法做割縫的作用就是限制Z的變化路徑。 三、多值函數的解析性與黎曼面 1、由于多值函數的多值性，不存在，因此多值函數不具有解析性。 但是對于它的每一個單值分支，我們可以像前面一樣討論函數的解析性。 000()()limz zfz fzzz? 2、為了把多值函數的多個分枝作為整體來研究，我們引入一個概念黎曼面。 假定某個多值函數只有兩個單值分枝，使一個單值分枝確定的z平面的割縫下岸得幅角值與第二個單值分枝確定的平面的割縫上岸幅角值相等。 分別使兩者的上下面兩兩粘接起來。 這樣形成一個完整的雙頁面，稱為該多值函數的黎曼面。 在黎曼面的每一頁上，函數單值；而在上下兩葉的同一位置處，函數值不同。 黎曼面:二維調和函數用u（x，y）表示兩個實變量x和y的二元函數，方程22220u uxy?02222?yuxu),(),()()(y xiv yx uiy xfzf w?稱為二維拉普拉斯方程，具有連續的二階導數并滿足二維拉普拉斯方程的函數稱為二維調和函數。 定理一設復變函數w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在復平面的區域D內解析，則它的實部u(x,y)和虛部v(x,y)都是(x,y)平面的區域D內的調和函數。 定理二設由(x,y)到(u,v)的變換為保角變換，即w=w(z)在區域D內解析，則如果U(x,y)滿足拉普拉斯方程，則(u,v)也滿足拉普拉斯方程。 22220u v?且222222222()()U Uwzxy uv?幾種常用的保角變換1.線性變換其中，a和b是復常數。 線性變換只是把圖形變為它的相似形。 2.冪函數和根式冪函數常用于使的角域變為上半平面。 根式常用于使的角域變為上半平面。 3.指數函數和對數函數指數函數將將的帶域變為的角域。 對數函數將將的角域變為的帶域。 4.分式線性變換常用于將圓變成圓，而且對于圓的對稱點保持為對稱點。 總結一下保角變換的解題步驟（ （1）選擇適