3函數的單調性 一 第二章函數 學習目標1 理解函數單調區間 單調性等概念 2 會劃分函數的單調區間 判斷單調性 3 會用定義證明函數的單調性 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考 知識點一函數的單調性 畫出函數f x x f x x2的圖像 并指出f x x f x x2的圖像的升降情況如何 答案 答案兩函數的圖像如右 函數f x x的圖像由左到右是上升的 函數f x x2的圖像在y軸左側是下降的 在y軸右側是上升的 單調性是相對于區間來說的 函數圖像在某區間上上升 則函數在該區間上為增函數 反之則為減函數 很多時候我們不知道函數圖像是什么樣的 而且用上升下降來刻畫單調性很粗糙 所以有以下定義 一般地 在函數y f x 的定義域內的一個區間A上 如果對于任意兩數x1 x2 A 當x1 x2時 都有f x1 f x2 那么 就稱函數y f x 在區間A上是 有時也稱函數y f x 在區間A上是 梳理 增加的 遞增的 在函數y f x 的定義域內的一個區間A上 如果對于任意兩數x1 x2 A 當x1f x2 那么 就稱函數y f x 在區間A上是 有時也稱函數y f x 在區間A上是 如果函數y f x 在定義域的某個子集上是增加的或是減少的 就稱函數y f x 在該子集上具有單調性 如果函數y f x 在整個定義域內是增加的或是減少的 我們分別稱這個函數是增函數或減函數 統稱為單調函數 減少的 遞減的 思考 知識點二函數的單調區間 我們已經知道f x x2在 0 上是減少的 f x 在區間 0 上是減少的 這兩個區間能不能交換 答案 答案f x x2的減區間可以寫成 0 而f x 的減區間 0 不能寫成 0 因為0不屬于f x 的定義域 梳理 一般地 有下列常識 1 函數單調性關注的是整個區間上的性質 單獨一點不存在單調性問題 所以單調區間的端點若屬于定義域 則該點處區間可開可閉 若區間端點不屬于定義域則只能開 2 單調區間D 定義域I 3 遵循最簡原則 單調區間應盡可能大 題型探究 例1如圖是定義在區間 5 5 上的函數y f x 根據圖像說出函數的單調區間 以及在每一單調區間上 它是增加的還是減少的 解答 類型一求單調區間并判斷單調性 解y f x 的單調區間有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在區間 5 2 1 3 上是減少的 在區間 2 1 3 5 上是增加的 函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質 單調區間是定義域的子集 當函數出現兩個以上單調區間時 單調區間之間可用 分開 不能用 可以用 和 來表示 在單調區間D上函數要么是增加的 要么是減少的 不能二者兼有 反思與感悟 跟蹤訓練1寫出函數y x2 2x 3 的單調區間 并指出單調性 解答 所以y x2 2x 3 的單調區間有 1 1 1 1 3 3 其中遞減區間是 1 1 3 遞增區間是 1 1 3 命題角度1證明具體函數的單調性例2證明f x 在其定義域上是增函數 類型二證明單調性 證明 設x1 x2是定義域 0 上的任意兩個實數 且x1 x2 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 運用定義判斷或證明函數的單調性時 應在函數的定義域內給定的區間上任意取x1 x2且x1 x2的條件下 轉化為確定f x1 與f x2 的大小 要牢記五大步驟 取值 作差 變形 定號 小結 反思與感悟 跟蹤訓練2求證 函數f x x 在 1 上是增函數 證明 證明設x1 x2是實數集R上的任意實數 且1 x1 x2 1 x1 x2 x1 x2 0 1 x1x2 即f x1 f x2 0 即f x1 f x2 命題角度2證明抽象函數的單調性例3已知函數f x 對任意的實數x y都有f x y f x f y 1 且當x 0時 f x 1 求證 函數f x 在R上是增函數 證明 證明方法一設x1 x2是實數集上的任意兩個實數 且x1 x2 令x y x1 y x2 則x x1 x2 0 f x1 f x2 f x y f y f x f y 1 f y f x 1 x 0 f x 1 f x 1 0 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 函數f x 在R上是增函數 方法二設x1 x2 則x1 x2 0 從而f x1 x2 1 即f x1 x2 1 0 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 1 f x2 故f x 在R上是增函數 因為抽象函數不知道解析式 所以不能代入求f x1 f x2 但可以借助題目提供的函數性質來確定f x1 f x2 的大小 這時就需要根據解題需要對抽象函數進行賦值 反思與感悟 跟蹤訓練3已知函數f x 的定義域是R 對于任意實數m n 恒有f m n f m f n 且當x 0時 0 f x 1 求證 f x 在R上是減函數 證明 證明 對于任意實數m n 恒有f m n f m f n 令m 1 n 0 可得f 1 f 1 f 0 當x 0時 0 f x 1 f 1 0 f 0 1 令m x 0 n x 0 則f m n f 0 f x f x 1 f x f x 1 又 x 0時 0 f x 1 f x 1 對任意實數x f x 恒大于0 設任意x10 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x1 f x2 x1 1 0 f x 在R上是減少的 命題角度1利用單調性求參數范圍 類型三單調性的應用 答案 解析 解析要使f x 在R上是減函數 需滿足 分段函數在定義域上單調 除了要保證各段上單調外 還要接口處不能反超 另外 函數在單調區間上的圖像不一定是連續不斷的 反思與感悟 跟蹤訓練4已知函數f x x2 2ax 3在區間 1 2 上具有單調性 則實數a的取值范圍為 解析由于二次函數開口向上 故其增區間為 a 減區間為 a 而f x 在區間 1 2 上單調 所以 1 2 a 或 1 2 a 即a 1或a 2 答案 解析 命題角度2用單調性解不等式例5已知y f x 在定義域 1 1 上是減函數 且f 1 a f 2a 1 求a的取值范圍 解答 若已知函數f x 的單調性 則由x1 x2的大小 可得f x1 f x2 的大小 由f x1 f x2 的大小 可得x1 x2的大小 反思與感悟 跟蹤訓練5在例5中若函數y f x 的定義域為R 且為增函數 f 1 a f 2a 1 則a的取值范圍又是什么 解答 解 y f x 的定義域為R 且為增函數 當堂訓練 A 2 0 B 0 1 C 2 1 D 1 1 1 函數y f x 在區間 2 2 上的圖像如圖所示 則此函數的增區間是 答案 2 3 4 5 1 2 函數y 的減區間是A 0 B 0 C 0 0 D 0 0 答案 2 3 4 5 1 3 在下列函數f x 中 滿足對任意x1 x2 0 當x1f x2 的是A f x x2B f x C f x x D f x 2x 1 答案 2 3 4 5 1 4 已知函數y f x 滿足 f 2 f 1 f 1 f 0 則下列結論正確的是A 函數y f x 在區間 2 1 上遞減 在區間 1 0 上遞增B 函數y f x 在區間 2 1 上遞增 在區間 1 0 上遞減C 函數y f x 在區間 2 0 上的最小值是f 1 D 以上的三個結論都不正確 答案 2 3 4 5 1 5 若函數f x 在R上是減函數 且f x f 1 則x的取值范圍是A x 1C 11 答案 2 3 4 5 1 規律與方法 1 若f x 的定義域為D A D B D f x 在A和B上都遞減 未必有f x 在A B上遞減 2 對增函數的判斷 對任意x1 x2 都有f x1 f x2