第三章多端口網絡 P98 多端口網絡在工程實際中有廣泛的應用 我們在第一章中已介紹了多口網絡的概念和性質 本章再做系統歸納 主要內容 短路導納參數Ysc 開路阻抗參數Zoc 混合參數H 復合多口網絡 多口網絡的連接 含源多口網絡及等效電路 星網變換 羅森定理 散射矩陣 不定導納陣 網絡解的存在性與唯一性因為本章由參數建立的是端口方程 存在方程是否有解的問題 線性電阻網絡解的存在性和唯一性定理 充分必要條件 X B為列向量 當且僅當det T 0時 該網絡有唯一解 RLCM組成的網絡有唯一解的充分條件 設網絡N僅有RLCM元件構成 當且僅當 網絡中不含僅有獨立電壓源組成的回路和僅有獨立電流源組成的割集時 網絡有唯一解 實際網絡總是有解的 且在任何時刻都有唯一解 但由電路模型構成的網絡 可能有解 也可能無解 可能有唯一解 也可能不是唯一的 網絡無解或解不唯一說明電路模型設置不合理 3 1非含源 獨立源 多口網絡的常見矩陣表示法 1 短路 導納參數 是二端口網絡Y參數的推廣 把各端口電壓看作激勵 各端口電流看作是響應 則 則 我們用H表示 對矩陣的 轉置并取共軛運算 稱為厄爾米特 Hermite 運算 代入短路導納參數得 若網絡是 Jump 如n 2 Jump Hermite矩陣 Hermite矩陣性質 此處必然用Hermite矩陣 因為短路導納參數陣一般是復數 Back 2 開路 阻抗參數 是二端口網絡Z參數的推廣 把各端口電流看作激勵 各端口電壓看作響應 故稱為開路阻抗參數 若網絡是 則 3 混合參數矩陣 是二端口網絡H參數的推廣 把一部分端口電壓和一部分端口電流看作激勵 其余端口電流和端口電壓看作響應 電流看作激勵的端口稱為電流端口 又稱為一類端口 電壓看作激勵的端口稱為電壓端口 又稱為二類端口 N端口網絡的互易性 對稱 斜對稱 6 復合多口網絡 4 傳輸參數矩陣 檢驗聯接后端口條件的電路實驗方法如下 以二端口網絡為例 亦可直接觀察 連接有效性的判定 例如對圖示網絡 例 兩個二端口并聯時 其端口條件可能被破壞此時上述關系式就不成立 并聯后端口條件破壞 例題 若電壓端口串 電流端口并 并 串聯 則為第二類混合參數矩陣之和 串 并聯 復合n口網絡可直接用電路分析和計算化簡 也可用復合雙口網絡分析 在工程實際中 為保證連接有效 可在連接端口之間用1 1變壓器隔離 保證各自的端口條件成立 成立 含源多口網絡的表示方法 把所有端口電壓看成激勵 電流看成響應 短路導納把激勵分成兩組 所有端口電壓源 所有內部獨立源 3 2含 獨 源多口網絡 同理可得 則可以用疊加定理處理 則N1與N2并聯 設N1與N2端口條件成立 則N1與N2串聯 與非含源一樣 也存在有效性問題 前面討論了復合非含源多口網絡 P112 例 求圖 a 所示含源三口網絡的Z參數方程 a 解圖 a 三口網絡可看作由圖 b 和 c 兩個三口網絡串聯而成 b c 將圖 b 獨立電源置零值 可得圖 d 所示網絡 通過 Y變換可得圖 e d e 由圖 e 可得圖 b 所示網絡的Z參數矩陣Zb為將圖 b 中三個端口開路 由疊加定理可得 則圖 b 所示網絡的開路電壓列向量Uboc為 對于圖 c 所示三口網絡 可直接寫出其端口伏安關系為 所以 圖 c 所示三口網絡的Z參數矩陣Zc為 開路電壓列向量Ucoc為 則圖 a 所示三口網絡的Z參數矩陣Zoc和開路電壓列向量Uoc分別為 因此 所求的Z參數方程為 3 3多口網絡的等效電路 U1 Un 一 含源多口網絡的等效電路 廣義諾頓定理 廣義戴維南定理 廣義等效電源定理 華中科大 華工 何仰贊電力系統分析P37 星 網變換公式 變換的目的 星網變換和負荷移植是為了等值地改變電網的連接形態 以便于分析處理 圖中各元件導納為 星形連接的導納集 網形連接的導納集 令 i 1 2 n 式中 將取對數 定理 對應于一個連通dendroid圖的一組如上式所表示的方程組是唯一地確定S中各導納值的充分必要條件 圖中共有n個節點 每個節點對應s中的一個導納 每個支路對應T中的一個導納 節點與支路的關系符合 構造一個dendroid圖G 而圖G中每個連通的部分恰好有一個回路 其支路數為大于或等于3的奇數 例如圖為一個dendroid圖G 它的5個節點對應于S中全部導納Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 而5個支路為T中的一部分導納Y12 Y14 Y15 Y25 Y34 其中支路Y12 Y15和Y25構成一個回路 支路Y14和Y34構成與該回路相連的分樹 連通的dendroid圖有且只有一個回路 由子方程 回路部分 對應于該dendroid圖G的方程組為 可求得 再由方程 除回路外的剩余部分 可求得 可進一步求得Y1 Y2 Yn 例在圖 a 所示網絡中 節點1 2 3 4為可及節點 節點5和6為不可及節點 試消去不可及節點 解 利用Y 變換首先消去不可及節點5 得圖 b 所示網絡 其中 圖 a 為便于分析 把網絡節點分類 P137 可及 達 節點 可加電壓 電流源 可測電壓 電流的節點 外部節點 半可及 達 節點 可加電壓源 可測電壓的節點 可連接不可移動 不可及 達 節點 不能測電壓 電流的節點 內部節點 圖 b 利用星網變換消去不可及節點6 可得圖所示網絡 圖 c 其中 1單口網絡的散射參數 1 Ui Ii 和Ur Ir 表達 把端口電壓和電流看成是入射波和反射波兩部分來組成的 3 4散射 參數 矩陣 P118 前面介紹了多口網絡的Zoc Ysc H T這些參數均為開短路參數 在高頻 理想的開短路是困難的 分布參數 此外有很多場合人們關心的是功率的輸出 在這些場合 不需要開短路測試又與功率傳輸密切相關的散射參數更便利有效 所謂散射參數表示實際上就是一種把各端口電壓和電流分解為入射波和反射波的一種表達方式 類似于傳輸線的分析方法 它可以通過多口網絡端口負載的條件來描述網絡 是一種數字變換 可見入射電壓和入射電流就是匹配情況下的端口電壓和電流 而反射電壓和電流就是失配情況下 偏離匹配情況電壓和電流的度量 失配越嚴重反射量就越大 P120 3 5多口網絡的統一表示法 P129 多口網路的矩陣表示有無窮多種 不同的表示法在數學上相當于不同坐標系間的線性變換 下面引入統一表示法 設 和 為兩個n維列向量 稱為廣義端口坐標 變量 令 其中 和a b c d都是任一n階實常數方陣 任一2n階實常數方陣 稱為坐標變換陣 是 的逆矩陣 設 和分別為網絡兩種不同端口的廣義坐標 和分別為它們對應的坐標變換陣 即 則有 同理 這就是兩種廣義坐標之間的關系 設網絡兩種不同參數矩陣分別為 則有 由于這兩種參數都存在 有 把上式代入 有 利用這一關系可以由一種參數求出另一種參數 網絡性質與表示法無關的性質 定義特征矩陣 CharacteristicMatrix K s 和耗散矩陣D s 由K s 和D s 可以證明以下結論 P131 本科時所列的節點方程 是以選定網絡N內某一節點為參考點而列寫的 1 全節點方程 稱為定導納陣 其方程數等于獨立節點數 n 1 非奇異 存在 3 6全節點方程與不定導納陣 P131 若把電位參點改在電路N的外部 則得到電路的全部節點為變量的n個方程 稱為全節點方程 求法與原來相同 顯然Yi的行是線性相關的 det Yi 0 Yi是奇異的 不存在 稱為不定導納陣 此不定意指參考點任意選定 由于參考點選在電網絡N外 全節點方程和不定導納陣非常靈活 可用于不同的網絡的連接和同一網絡的變換 2 意義 應用 In中去掉Ink 就得到以網絡N中k節點為參考點的節點電壓方程 各端U1 U2 U3 Un作為激勵 數值上等于各節點電壓 各端電流作為零狀態響應I1 I2 In按線性疊加 可以得到n個端電流表達式 設N中不含獨立源且零狀態 稱為n端網絡的不定導納參數 其物理意義 j k 短路驅動點導納 j不 k 短路轉移導納與多口網絡的短路導納相似 但又有不同 一個是口電流 口電壓 這里是端電壓 端電流 若是除第k端外 其余各端都與參考點短接 Yi稱為零和矩陣 3 不定導納陣Yi的基本性質 n個端子可對應原網絡的n個節點 各端子可與網絡外的參考點之間施加電壓源 參考點可能與N相連 也可能不與N相連 每列之和為零 J行的代數余因式 4 不定導納陣的運算 端子接地與浮地短路收縮開路抑制網絡并聯求定導納陣 1 端子接地與浮地端子接地將n端網絡的第k個端子選為參考點 相當于把對應的不定導納矩陣Yi的第k行和第k列刪除 得到一個 n 1 階方陣Y detY不再為 零 故稱為定導納矩陣 以端子3為公共端構成雙口網絡 例 三端網絡的不定導納矩陣為 端子浮地 例某非含源線性三端網絡N 以3端作為公共接地端 當2端短路 1端施以單位沖激電壓源時 1端和2端電流的沖激響應分別為 而當1端短路 2端施以單位階躍電壓源時 兩個端子電流的階躍響應分別為 現以2端作為公共端 并在3端和公共端之間跨接2 電阻 1端施以單位階躍電壓源 試求此時端子1和3電流的單位階躍響應 例題圖釋 求 解 時 時 1 2 則三端網絡的不定導納矩陣為 則3端為公共端時的Y參數矩陣為 因此 以2端為公共端時的Y參數矩陣為 當3端與公共端之間跨接2 電阻時 以2端為公共端時的Y參數方程為 并且 聯立解得 取拉斯反變換可得零狀態響應分別為 由不定導納陣短路導納陣 劃去相應于公共端的行 列 成為共點 n 1 口網絡 若由短路導納陣不定導納陣 根據零和特性 加上與公共端對應的行 列后 即得將公共端 浮地 后所形成得n端網絡的不定導納陣這種方法能從一種共點組態過渡到另外一種共點組態例 共集電極 共基極三極管 2 短路收縮 同一網絡 又稱端子縮并 將兩個或多個端子連接起來形成一個新的端子 相應的行和列相加 1 降階了 假定把端子1和2短接 KVL 規則 將原網絡的不定導納矩陣第2列加到第1列 再將第2列劃去 或者將第1列加到第2列 再將第1列劃去 規則 將原網絡不定導納矩陣的第2行加到第1行 再將第2行劃去 或者將第1行加到第2行 再將第1行劃去 KCL 對應列相加 對應行相加 應用 電力系統雙母線母聯開關合上 兩節點合并為一個節點 這種情況相當于令兩節點電壓相等 新節點注入電流等于原兩個節點地注入電流之和 得到1 2短接后所形成的n 1個端子的不定導納矩陣 例四端網絡的不定導納矩陣為 如果將端子2和4短路收縮為新端子2 則 I3 0 3 開路抑制 開路扼制 端子的刪減 端子的封禁 將一個或多個端子開路 其對應的端電流限定為零 端子變成不可及節點 抑制的端鈕壓進網絡內 切斷端鈕與外部電路的聯系 要開路抑制的端子電流 電壓列向量分別記為I2和U2 其它端子電流 電壓列向量分別記為I1和U1 在開路抑制端子k的情況下 劃去原網絡不定導納矩陣Yi的第k行和第k列 其他行和列的元素作如下變化 如果開路抑制網絡的一個端子 開路抑制 抑制了k個端子 后網絡的不定導納矩陣為 若某節點無注入電流 浮游節點 可將其消去 或網絡化簡也需要消去某些節點 節點消去 導納矩陣將降階 但奇異性不變 P137例3 6 3對于圖示四端網絡 將端子4接地 端子1和2分別與端子4構成一個端口 這樣就改造成了一個共地雙口網絡 求該雙口網絡的Y參數矩陣 解圖中四端網絡的不定導納矩陣為 劃去Yi的第4行和第4列 得端子4接地的定導納矩陣 為了得到雙口網絡 必須開路抑制端子3 將分塊 則雙口網絡的Y參數矩陣為 定義 指網絡N1和N2具有公共的參考點 且N1和N2的對應端子相連接 4 網絡并聯 KCL 簡記為 KVL 簡記為 N1和N2的不定導納矩陣方程分別為 則 由KVL 得 總網絡的不定導納矩陣等于各個并聯網絡的不定導納矩之和 兩n端網絡并聯 n端網絡與m端網絡并聯 n m 當相并聯的兩個網絡的端子數目不等時 需先對端子數目少的網絡補充孤立節點 在原不定導納矩陣中插入零行和零列 形成增廣不定導納矩陣 然后再相加 增廣網絡 補零法 將m階增廣到n階后相加 可以把一個復雜的n端網絡寫成由n個二端網絡n次并聯生成的 5 幾種常用元件的不定導納陣P139 P141作為作業驗證幾個 6 由不定導納陣求多端口網絡的短路導納矩陣P141 P144 短路導納矩陣 多口網絡的賦定關系或約束 端口電流與電壓的 直接按定義求 并不好求 下面介紹借助于不定導納陣求短路導納陣的方法 設多端口網絡N的不定導納陣為Yi 則相應的全節點方程為 這里用J表示In 設網絡N可以構成m個端口 對應原來的2m個端子 相當于2m個節點 如圖所示 3 6 10 該m端口網絡 短路 導納參數為Ysc 相應的方程為 所謂由不定導納陣求短路導納陣就是把 3 6 8 3 6 9 端口電壓與端鈕電壓的關系為 3 6 11 由 3 6 11 還可得 3 6 12 端口電流與端鈕電流的關系為 把 3 6 11 3 6 12 寫成矩陣形式 該矩陣記為K1 上式簡寫為 記為I 記為J 記為0 3 6 14 人為引入下列變量 3 6 13 把 3 6 10 3 6 13 寫成矩陣形式 記為Un 記為U 記為H 該矩陣記為K2 2K1 上式簡寫為 3 6 15 3 6 14 3 6 15 把 3 6 8 式代入 3 6 14 得 由 3 6 15 式得 3 6 18 把