1. 三角波脈沖信號如圖1-1所示，其函數及頻譜表達式為 求：當時，求的表達式。解：函數圖形見圖1-5所示。圖1-52. 一時間函數f（t）及其頻譜函數F（）如圖1-2所示已知函數，示意畫出x（t）和X（）的函數圖形。當時，X（）的圖形會出現什么情況？（為f（t）中的最高頻率分量的角頻率）解：見圖1-6所示。圖（a）為調幅信號波形圖，圖（b）為調幅信號頻譜圖。當 時，兩邊圖形將在中間位置處發生混疊，導致失真。3. 圖1-3所示信號a（t）及其頻譜A（f）。試求函數的傅氏變換F（f）并畫出其圖形。解：由于并且所以F（f）的頻譜圖見圖1-7所示： 4.求圖1-4所示三角波調幅信號的頻譜。解：圖1-8所示調幅波是三角波與載波 的乘積。兩個函數在時域中的乘積，對應其在頻域中的卷積，由于三角波頻譜為： 余弦信號頻譜為卷積為例1.判斷下列每個信號是否是周期的，如果是周期的，確定其最小周期。（1） （2）（3） （4）解：（1）是周期信號，；（2）是周期信號，；（3）是非周期信號，因為周期函數是定義在區間上的，而是單邊余弦信號，即t0時為余弦函數，t0無定義。屬非周期信號；（4）是非周期信號，因為兩分量的頻率比為，非有理數，兩分量找不到共同的重復周期。但是該類信號仍具有離散頻譜的特點（在頻域中，該信號在和處分別有兩條仆線）故稱為準周期信號。例2.粗略繪出下列各函數的波形（注意階躍信號特性）（1） （2） （3）解：（1）是由階躍信號經反折得，然后延時得，其圖形如下(a)所示。（2）因為。其波形如下圖(b)所示。（這里應注意）（3）是兩個階躍函數的疊加，在時相互抵消，結果只剩下了一個窗函數。見下圖(c)所示。例3. 粗略繪出下列各函數的波形（注意它們的區別）（1） ；（2）（3）解：（1）具有延時的正弦函數與單位階躍函數的乘積。其波形如下圖(a)所示。（2）正弦函數與具有延時的單位階躍函數的乘積。其波形如下圖(b)所示。（3）具有延時的正弦信號與延時相同時間的階躍信號的乘積。其波形如下圖(c)所示。例4.從示波器光屏中測得正弦波圖形的“起點”坐標為（0，-1），振幅為2，周期為4，求該正弦波的表達式。解：已知幅值X=2，頻率，而在t=0時，x=-1，則將上述參數代入一般表達式 得；所以例5.設有一組合復雜信號，由頻率分別為724Hz，44 Hz，500 Hz，600 Hz的同相正弦波疊加而成，求該信號的周期。解：合成信號的頻率是各組成信號頻率的最大公約數則： 而 所以該信號的周期為0.25s。例6利用函數的抽樣性質，求下列表示式的函數值：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：函數是一類應用廣泛的重要函數。在卷積運算、傅立葉變換及測試系統分析中，利用它可以簡化許多重要結論的導出。本例題的目的在于熟悉并正確應用函數的性質。（1）由于則（2）這里應注意：（3）（4）（5）這里應注意信號的含義，由于表示t=0時有一脈沖，而在時為零。所以就表示當t=2時各有一脈沖，即。（6）例7.已知一連續時間信號x（t）如下圖(a)所示，試概括的畫出信號的波形圖。解：是x（t）經反折，尺度變換并延時后的結果。不過三種信號運算的次序可以任意編排，因此該類題目有多種解法。以下介紹其中的兩種求解過程。方法一 信號x（t）經反折尺度變換延時（1） 反折：將x（t）反折后得x（-t），其波形如圖(b)所示。（2） 尺度變換：將x（-t）的波形進行時域擴展的。其 波形如圖(c)所示。（3） 延時：將中的時間t延時6，得其波形如圖(d)所示。方法二 信號x（t）經尺度變換反折延時。（1） 尺度變換：將x（t）在時域中擴展，得。其波形如圖(e)所示。（2） 反折：將反折，得，其波形如圖(f)所示。（3） 延時：將中的時間t延時6，即將原波形向右平移6，得。同樣可得變換后的信號。其波形如圖(g)所示。例8.已知和的波形圖如下圖(a),(b)所示，試計算與的卷積積分。解：（1）反折：將與的自變量t用替換。然后將函數 以縱坐標為軸線進行反折，得到與對稱的函數 。見圖(c)所示。（2）平移：將函數 沿軸正方向平移時間t，得函數 。（注意，這里的t是參變量），見圖(d)所示。（3）相乘并取積分：將 連續地沿軸平移。對于不同的t的取值范圍，確定積分上、下限，并分段計算積分結果。以下進行分段計算：（a）當時， 的位置如圖(e)所示。這時與沒有重合部分。所以 （b）時，的位置如圖(f)所示。這時與 的圖形重疊區間為至t。把它作為卷積積分的上、下限，得：（c）時（即，并且時），則的位置如圖(g)所示，這時的圖形重疊區間為（，1），把它作為卷積積分的上、下限，得（d）時，（即，同時），由圖(h)可知積分區間為（t-2，1）。得 （e）時，與無重疊部分，見圖(i)所示，這時歸納以上結果得 卷積結果見圖（j）所示。例9.求下圖所示鋸齒波信號的傅立葉級數展開式。解：鋸齒波信號表達式為（一周期內） 由公式得所以 式中 例10.周期性三角波信號如下圖所示，求信號的直流分量、基波有效值、信號有效值及信號的平均功率。解：先把信號展開為傅立葉級數三角形式為 顯然，信號的直流分量為 基波分量有效值為信號的有效值為信號的平均功率為例11. 周期矩形脈沖信號f（t）的波形如下圖所示，并且已知=0.5s，T=1s，A=1V，則問；該信號頻譜中的譜線間隔f為多少？信號帶寬為多少？解：（1）譜線間隔：或 （2）信號帶寬或 例12.求指數衰減振蕩信號的頻譜。解：由于 并且于是可得利用傅立葉變換的線形性質可得例13.已知，試求f（t）。解：利用傅立葉變換的對稱性可求得f（t）。將題中給定的F（）改寫為f（t），即根據定義于是將上式中的（-）換成t可得，所以有例14. 已知，試求其頻譜F（）解：因為利用頻移性質可得于是例15.求下圖（a）所示三角脈沖信號的頻譜。三角脈沖的分段函數表示為解：方法一、 按傅氏變換的定義求解。因為x（t）是偶函數，傅氏變換為：x（t）的幅值頻譜如圖(b)所示。方法二、 利用卷積定理求解。三角脈沖x（t）可以看成兩個等寬矩形脈沖和的卷積。如下圖所示。因為根據時域兩函數的卷積對應頻域函數的乘積：所以例1.求余弦信號的絕對值和均方根值。解：絕對均值為 均方根值為 所以 例2.已知某信號的自相關函數，試求：（1）該信號的均值；（2）均方值 ；（3）功率譜 。解：（1）由于為周期不衰減的函數，則原信號應為同頻率的正弦信號，即。根據信號均值的定義得（2）根據自相關函數的性質可知所以 （1） 自相關函數與自譜是一對傅立葉變換對關系，并且 式中 例3. 已知某信號的自相關函數為，試求該信號的均方值及均方根值。解：因為并且例4. 已知某信號的自相關函數為，求它的自功率譜密度函數 。解：根據自譜定義：例5.某信號的自相關函數為求信號的自譜，并畫出它們的圖形。解：由上例知 并且，的傅立葉變換為兩信號在時域中的乘積的傅立葉變換，等于該信號的傅立葉變換在頻域中的卷積，即： 所以，該信號的自譜為： 其自譜如下圖所示例6.已知均值為零的信號的自相關函數為，則當時，求的表達式（式中，為 的直流分量）。解：按定義例7.測得某信號的自相關函數圖形如下所示，試分析該圖形是 圖形還是圖形？為什么？從中可獲得該信號的那些信息？解：由相關分析可知，自相關函數是一個偶函數，它在有最大值；互相關函數是非偶函數它在也不一定為最大。因為圖中圖形為非偶函數圖形，且最大，所以，該圖形是互相關函數的圖形。由圖中還可獲知，信號 與是兩個同頻的周期信號，圓頻率為；均值為零。對應的信號幅值為，兩信號相位差。用公式表示為 例8.下圖所示兩信號和，求當=0時，和的互相關函數值。并說明理由。解：由于方波信號的傅立葉級數展開式為 僅有基頻分量的頻率與的頻率一致。根據同頻相關，不同頻不相關的原則，在互相關函數中將僅存基頻成分。并且由圖示可知， 基頻分量與間存在有90的相位差。所以互相關函數的表達式如下： 當=0時，它們的互相關函數值為零，即 例9.信號由兩個頻率和相位角均不相等的余弦函數疊加而成，其數學表達式為，求該信號的自相關函數。解：設則的自相關函數可表示為因為則所以例10.下圖所示的延時環節，輸入為，輸出為。試求的自相關函數與其互相關函數之間的關系。 解：因為 所以根據定義：所以 例11.應用巴塞伐爾定理求的積分值。解：由于抽樣函數的頻譜是窗函數，如下式所示 當時則有 窗函數的圖形如下圖所示。根據巴塞伐爾定理： 則有：例12.某一系統的輸入信號為，若輸出信號與輸入信號波形相同，并且輸入的自相關函數和輸入-輸出的互相關函數的關系式為如下圖所示，試說明該系統起什么作用？解：