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文檔簡介

橢圓的兩個不變量在解題中的應用圓錐曲線中橢圓算是在考試中出現頻率最高的圓錐曲線，而關于橢圓本身存在很多的不變量，下面我們來討論橢圓的兩個比較有趣的不變量，而且計算該不變量的方法以及不變量本身都在題目相當的實用。不變量：設橢圓方程為 ，在橢圓上有兩個動點，為坐標原點，且滿足,則為定值，并且原點到直線的距離也是定值證明：設，因為，不妨設向量逆時針旋轉90度到向量這樣的話我們有，設，則，的坐標分別是，在橢圓上將坐標代入方程可得，即，變形得，兩式相加得（定值）原點到直線的距離=，根據可知，即，兩邊開方得（定值）其實這兩個不變量可以看做是一個不變量，下面我們就來看看這兩個不變量在解題中的精彩應用題目一：（2010陜西卷）如圖，橢圓的頂點為 ，焦點為 ，（）求橢圓C的方程；（）設n是過原點的直線，是與n垂直相交于F點、與橢圓相交于A,B兩點的直線，|=1，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由解：（I）由知， 由知a=2c， 又 ， 由解得，故橢圓C的方程為 （II）假設這樣的直線存在，根據|=1，可得，這樣由前面的“不變量”可知道因此假設不成立題目二：設橢圓方程為 ，在橢圓上有兩個動點，為坐標原點，且滿足，過點作直線的垂線，交于點，求點的軌跡 解：這個題目我們當然可以設直線方程然后解交點，這樣不免麻煩而且計算量大不劃算，當我們掌握了上述的兩個不變量后，我們很容易知道是一個定長，很自然的點的軌跡就是圓題目三：橢圓 的左，右焦點分別為是橢圓上的一點，,原點到直線的距離為（1） 證明; （2） 求使下面命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點則 解：（1）因為原點到直線的距離為，則,不妨設，因為，故，,即，很容易知，即（2）第二問看起來是相當的復雜，其實質就是題目二中點的軌跡問題，說穿了就是“不變量”，就是我們需要的結果題目四：已知橢圓的中心在原點，焦點在上，直線與橢圓交于， 兩點，（1） 求橢圓的方程；（2） 若，是橢圓上兩點滿足，求的最小值 解：（1）第一問基本方法聯立直線與橢圓根據，建立等式，可求得橢圓的方程為 （2）設,根據“不變量”我們可知=則，立馬可知，這樣可知的最小值為注：掌握這兩個“不變量”就可以解決橢圓中這一類的問題，而且只要出現這類問題用這兩個“不變量”是一定可以解決的，這樣既避免了計算的復雜度，而且我們看問題站在了另外一個高度，這樣足以提高我

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