1 4生活中的優化問題舉例 類型一面積 體 容 積有關的最值問題 典例1 如圖 四邊形abcd是一塊邊長為4km的正方形地域 地域內有一條河流md 其經過的路線是以ab的中點m為頂點且開口向右的拋物線 河流寬度忽略不計 新長城公司準備投資建一個大型矩形游樂園 pqcn p為河流md上任意一點 問如何施工才能使游樂園的面積最大 并求出最大面積 解題指南 首先依據圖形建立合適的坐標系 設出點的坐標 引入變量構建與面積有關的函數關系式 再利用導數求最值 解析 以m為原點 ab所在直線為y軸建立直角坐標系 則d 4 2 設拋物線方程為y2 2px 因為點d在拋物線上 所以22 8p 解得 所以拋物線方程為y2 x 0 x 4 設p y2 y 0 y 2 是曲線md上任一點 則 pq 2 y pn 4 y2 所以矩形游樂園的面積為s pq pn 2 y 4 y2 8 y3 2y2 4y 求導得s 3y2 4y 4 令s 0 得3y2 4y 4 0 解得或y 2 舍 當y 時 s 0 函數s為增函數 當y 時 s 0 函數s為減函數 所以當時 s有最大值 得 所以游樂園最大面積為 即游樂園的兩鄰邊分別為km km時 面積最大 最大面積為km2 方法總結 利用導數解決實際問題的基本流程 鞏固訓練 已知矩形的兩個頂點位于x軸上 另兩個頂點位于拋物線y 4 x2在x軸上方的曲線上 求矩形的面積最大時的邊長 解析 設矩形邊長ad 2x 則 ab y 4 x2 則矩形面積為s 2x 4 x2 00 當時 s 0 所以當時 s取得最大值 此時 即矩形的邊長分別為時 矩形的面積最大 補償訓練 用長為90cm 寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器 先在四個角分別截去一個小正方形 然后把四邊翻轉90 角 再焊接而成 如圖所示 問該容器的高為多少時 容器的容積最大 最大容積是多少 解析 設容器的高為xcm 容器的容積為v x cm3 則v x x 90 2x 48 2x 4x3 276x2 4320 x 0 x 24 v x 12x2 552x 4320 12 x2 46x 360 12 x 10 x 36 令v x 0 得x1 10 x2 36 舍去 當00 v x 是增函數 當10 x 24時 v x 0 v x 是減函數 因此 在定義域 0 24 內 函數v x 只有當x 10時取得最大值 其最大值為v 10 10 90 20 48 20 19600 cm3 故當容器的高為10cm時 容器的容積最大 最大容積是19600cm3 類型二費用 用料 最省問題 典例2 2017 重慶高二檢測 某企業擬建造如圖所示的容器 不計厚度 長度單位 米 其中容器的中間為圓柱形 左右兩端均為半球形 按照設計要求容器的體積為立方米 假設該容器的建造費用僅與其表面積有 關 已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元 半球形部分每平方米建造費用為4千元 設該容器的總建造費用為y千元 1 將y表示成r的函數f r 并求該函數的定義域 2 討論函數f r 的單調性 并確定r和l為何值時 該容器的建造費用最小 并求出最小建造費用 解題指南 1 總造價等于兩個半球合成一個球的表面的造價加上圓柱的側面的造價 2 對y f r 求導然后研究單調性與最值 解析 1 因為容器的體積為立方米 所以 解得所以圓柱的側面積為兩端兩個半球的表面積之和為4 r2 所以又所以定義域為 2 因為所以令f r 0 得 令f r 0 得0 r 2 所以f r 的單調增區間為 單調減區間為 0 2 所以當r 2時 該容器的建造費用最小 為96 千元 此時 延伸探究 1 試討論該容器表面積有無最小值 若有 求出最小值 若沒有 說明理由 解析 因為容器的體積為立方米 所以 解得 所以圓柱的側面積為兩端兩個半球的表面積之和為4 r2 故該容器的表面積則令s 0 解得 所以應在時 取得最小值 而由 1 可知r 取不到 所以無最小值 2 若由于場地的限制 該容器的半徑要限制在范圍內 求容器建造費用的最小值 解析 因為所以令y 0 得 令y 0 得0 r 2 故當r 時 函數單調遞減 故當時 方法總結 利用導數解決生活中的優化問題的一般步驟 1 分析實際問題中各量之間的關系 列出實際問題的數學模型 寫出實際問題中變量之間的函數關系y f x 2 求函數的導數f x 解方程f x 0 3 比較函數在區間端點和使f x 0成立的點的數值的大小 最大 小 者為最大 小 值 4 寫出答案 補償訓練 甲 乙兩地相距400千米 汽車從甲地勻速行駛到乙地 速度不得超過100千米 時 已知該汽車每小時的運輸成本p 元 關于速度v 千米 時 的函數關系是 1 求全程運輸成本q 元 關于速度v的函數關系式 2 為使全程運輸成本最少 汽車應以多大速度行駛 并求此時運輸成本的最小值 解析 1 2 令q 0 則v 0 舍去 或v 80 當00 所以當v 80千米 時時 全程運輸成本取得極小值 即最小值 且qmin q 80 元 類型三利潤最大問題 典例3 某公司為了獲得更大的利益 每年要投入一定的資金用于廣告促銷 經調查 每年投入廣告費t 單位 百萬元 可增加銷售額約為 t2 5t 單位 百萬元 且0 t 5 1 若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內 則應投入多少廣告費 才能使該公司由此獲得的收益最大 2 現該公司準備共投入3百萬元 分別用于廣告促銷和技術改造 經預測 每投入技術改造費x 單位 百萬元 可增加的銷售額約為 單位 百萬元 請設計一個資金分配方案 使該公司由此獲得的收益最大 注 收益 銷售額 投入 解析 1 設投入t百萬元的廣告費后增加的收益為f t 百萬元 則有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 所以當t 2時 f t 取得最大值4 即投入2百萬元的廣告費時 該公司由此獲得的收益最大 2 投入技術改造的資金為x百萬元 則用于廣告促銷的資金為 3 x 百萬元 設由此獲得的收益是g x 則所以g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 當0 x0 當2 x 3時 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函數 在 2 3 上是減函數 所以當x 2時 g x 取最大值 即將2百萬元用于技術改造 1百萬元用于廣告促銷時 該公司由此獲得的收益最大 方法總結 利潤問題中的等量關系解決此類有關利潤的實際應用題 應靈活運用題設條件 建立利潤的函數關系 常見的基本等量關系有 1 利潤 收入 成本 2 利潤 每件產品的利潤 銷售件數 鞏固訓練 某工廠生產某種產品 已知該產品的月生產量x 噸 與每噸產品的價格p 元 噸 之間的關系式為 且生產x噸產品的成本為r 50000 200 x 元 問該工廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大 最大利潤是多少 利潤 收入 成本 解析 每月生產x噸時的利潤為 則 令f x 0 解得x1 200 x2 200 舍去 因為f x 在 0 內只有一個極大值點x 200 故它就是最大值點 且最大值為 3150000 元 所以每月生產200噸產品時利潤達到最大 最大利潤為315萬元 補償訓練 2017 沈陽高二檢測 某商品每件成本9元 售價為30元 每星期賣出432件 如果降低價格 銷售量將會增加 且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值x 單位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品單價降低2元時 一星期將多賣出24件 1 將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數 2 如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大 解題指南 1 先求出比例系數 再依據題設求出多賣的商品數 再根據銷售利潤 銷售收入 成本 列出函數關系式 即可得到答案 2 根據f x 的解析式 用導數求最值 解析 1 設商品降價x元 則多賣出的商品件數為kx2 若記商品一個星期的獲利為f x 則依題意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知條件 24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 2 根據 1 有f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 當x變化時 f x f x 的變化情況如表 故當x 12時 f x 取到極大值 因為f 0 9072 f 12 11664 所以定價為30 12 18 元 時能使一個星期的商品銷售利潤最大 類型四效率最高問題 典例4 我們知道 汽油的消耗量w 單位 l 與汽車的速度v 單位 km h 之間有一定的關系 汽油的消耗量w是汽車速度v的函數 通過大量的統計數據 并對數據進行分析 研究 人們發現 汽車在行駛過程中 汽油平均消耗率g 即每小時的汽油消耗量 單位 l h 與汽車行駛的平均速度v 單位 km h 之間有如圖所示的函數關系g f v 且點 90 5 為直線y kx與函數g f v 相切時的切點 那么汽車平均速度為多少時 汽油使用率最高 此時的每千米耗油量大約是多少l 解題指南 研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量與汽車行駛路程的比值 如果用g表示每千米平均的汽油消耗量 那么 其中 w表示汽油消耗量 單位 l s表示汽車行駛的路程 單位 km 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問題 因此 我們首先需要將問題轉化為汽油平均消耗率g 即每小時的汽油耗量 單位 l h 與汽車行駛的平均速度v 單位 km h 之間的關系的問題 然后利用圖象中的數據信息 解決汽油使用效率最高的問題 解析 設g表示每千米平均的汽油消耗量 s表示汽車行駛的路程 單位 km 因為 這樣 問題就轉化為求的最小值 從圖象上看 表示經過原點與曲線上點的直線的斜率 進一步發 現 當直線與曲線相切時 其斜率最小 在此切點處速度約為90km h 因此 當汽車行駛距離一定時 要使汽油的使用效率最高 即每千米的汽油消耗量最小 此時的車速約為90km h 從數值上看 每千米的耗油量就是圖中的切線的斜率 即f 90 約為 l km 方法總結 效率最高問題的解題途徑 鞏固訓練 統計表明 某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y 升 關于行駛速度x 千米 時 的函數解析式可以表示為 已知甲 乙兩地相距100千米 當汽車以多大的速度勻速行駛時 從甲地到乙地耗油最少 最少為多少升 解析 當速度為x千米 時時 汽車從甲地到乙地行駛了小時 設耗油量為h x 升 依題意得 令h x 0 得x 80 因為x 0 80 時 h x 0 h x 是增函數 所以當x 80時 h x 取得極小值h 80 11 25 升 因為h x 在 0 120 上只有一個極小值 所以它是最小值 答 汽車以80千米 時勻速行駛時 從甲地到乙地耗油最少 最少為11 25升 補償訓練 如圖 在直線y 0和y a a 0 之間表示的是一條河流 河流的一側河岸 x軸 是一條公路 且公路隨時隨處都有公交車來往 家住a 0 a 的某學生在位于公路上b d 0 d 0 處的學校就讀 每天早晨該學生都要從家出發 可以先乘船渡河到達公路上某一點 再乘公交車去學校 或者直接乘船渡 河到達公路上b d 0 處的學校 已知船速為v0 v0 0 車速為2v0 水流速度忽略不計 1 若d 2a 求該學生早晨上學時 從家出發到達學校所用的最短時間 2 若 求該學生早晨上學時 從家出發到達學校所用的最短時間 解析 1 設該學生從家出發先乘船渡河到達公路上某一點p x 0 0 x d 再乘公交車去學校 所用的時間為t 則 令f x 0得 當時 f x 0 所以當時 所用的時間最短 最短時間 所以當d 2a時 該學生從家里出發到學校所用的最短時間是 2 由 1 的討論知 當時 t f x 為上的減函數 所以當時 即該學生直接乘船渡河到達公路上學校所用時間最短 最短時間為 課堂小結 1 知識總結 2 方法總結 1 解決實際應用問題