我們把S(n)拆成數(shù)字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4n n n這個(gè)三角形第一行數(shù)字的和為12，第二行數(shù)字和為22，第n行數(shù)字和為n2，因此S(n)可以看作這個(gè)三角形里所有數(shù)字的和接下來我們注意到三角形列上的數(shù)字，左起第一列是1,2,3,n，第二列是2,3,4,n這些列的數(shù)字和可以用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和來算出，但是它們共性不明顯，無法加以利用如果求的數(shù)字和是1,2,3,n，1,2,3,n-1這樣的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n)一樣算出結(jié)果，那么該怎樣構(gòu)造出這樣的列數(shù)字呢注意上面那個(gè)直角三角三角形空缺的部分，將它補(bǔ)全成一個(gè)正方形的話，是這樣的：1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4n n n n這個(gè)正方形所有的數(shù)字和為n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我們補(bǔ)上的數(shù)字是哪些呢？1 1 1 1 (n-1)個(gè)的12 2 2 (n-2)個(gè)的23 3 (n-3)個(gè)的3n-1又一個(gè)直角三角形，我們只需算出這個(gè)三角形的數(shù)字和T(n)，再用剛才算的正方形數(shù)字和減去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而這個(gè)三角形的每一列數(shù)字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，最后一列（第n-1列）是1+2+3+n-1，根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，這個(gè)三角形第n列的數(shù)字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相當(dāng)于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)+(n-1)2/2+(n-1)/2將各個(gè)擴(kuò)號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別相加，得T(n)=12+22+32+(n-1)2/2+(1+2+3+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是說，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 因?yàn)镾(n)=12+22+32+n2，S(n-1)=12+22+32+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面這個(gè)式子就是我們熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一種經(jīng)典的方法設(shè)：S=12+22+32+n2另設(shè)：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步設(shè)題是解題的關(guān)鍵，一般人不會(huì)這么去設(shè)想。有了此步設(shè)題，第一：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的12+22+32+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展開為(n2+2n+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+n).(1)第二：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以寫為：S1=12+32+52+ (2n-1)2+22+42+62+(2n)2，其中：22+42+62+(2n)2=22(12+22+32+n2)=4S.(2)12+32+52+(2n-1)2=(21-1)2+(22-1)2+(23-1) 2+ (2n-1) 2= (2212-221+1) +(2222-222+1)2+(2232-223+1)2+ (22n2-22n+1)2=2212+2222+2232+22n2-221-222-223-22n+n=22(12+22+32+n2)-22 (1+2+3+n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n.(3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+n)+n.(4)由(1)與(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+n) =8S-4(1+2+3+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+n)-n= nn2+n(1+n)+2(1+n)-1= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6(5)以上可得各自然數(shù)平方和公式為n(n+1)(2n+1)/6，其中n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(2)得自然數(shù)偶數(shù)平方和公式為2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n為最后一位自然數(shù)。由(5)代入(3)得自然數(shù)奇數(shù)平方和公式為n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1為最后一位自然數(shù)。由自然數(shù)平方和公式推導(dǎo)自然數(shù)立方和公式設(shè)S=13+23+33+n3.(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+13.(2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+n3+13=(n+1)(n2-n+1)+(n+1)(n-1)2-2(n-1)+22)+(n+1)(n-2)2-3(n-2)+32)+.+(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)2(12+22+32+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-n (n-n+1) .(3)由12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-nn+21+32+n(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+n)+(1+1)1+(2+1)2+(n-1+1)(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+(n-1)2+ (n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+(n-1)2+1 +2+ (n-1) .(4)由12+22+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2=n2(n+1)2/2即S=13+23+33+n3= n2(n+1)2/4結(jié)論：自然數(shù)的立方和公式為n2(n+1)2/4，其中n為自然數(shù)。自然數(shù)偶數(shù)立方和公式推導(dǎo)設(shè)S=23+43+63+(2n)3有S=23(13+23+33+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2結(jié)論：自然數(shù)偶數(shù)的立方和公式為2n2(n+1)2，其中2n為最后一位自然偶數(shù)。自然數(shù)奇數(shù)立方和公式推導(dǎo)設(shè)S=13+23+33+(2n) 3由自然數(shù)的立方和公式為n2(n+1)2/4，其中n為自然數(shù)代入左邊有n2(2n+1)2=23+43+6