專項突破二三角函數與解三角形解答題考點一三角函數的性質與圖象的綜合應用[對點訓練1](2024北京房山模擬)已知函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π.(1)求ω的值;(2)再從條件①、條件②、條件③三個條件中選擇一個作為已知,確定f(x)的解析式.設函數g(x)=f(x)-2sin2x,求g(x)的單調遞增區間.考點二正弦定理、余弦定理及綜合應用(多考向探究預測)考向1求三角形中的邊與角例2(2023新高考Ⅱ,17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為,D為BC的中點,且AD=1.(1)若∠ADC=,求tanB;(2)若b2+c2=8,求b,c.[對點訓練2](2024四川成都模擬)已知△ABC中,內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,(a+b)·(sinB-sinA)=c[sin(A+B)-sinA].(1)求角B;解

(1)因為(a+b)(sin

B-sin

A)=c[sin(A+B)-sin

A],所以(a+b)(sin

B-sin

A)=c[sin(π-C)-sin

A],即(a+b)(sin

B-sin

A)=c(sin

C-sin

A),由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(c-a),所以b2-a2=c2-ac,即a2+c2-b2=ac,考向2與面積有關的解三角形問題例3(2023全國甲,文17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知[對點訓練3](2024廣東梅州二模)在△ABC中,內角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,acosB-bsinA=c,c=2,(1)求A的大小;(2)點D在BC上,①當AD⊥AB,且AD=1時,求AC的長;②當BD=2DC,且AD=1時,求△ABC的面積S△ABC.考向3解三角形中的證明問題例4(2022全國乙,理17)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)證明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cosA=,求△ABC的周長.(1)證明

∵sin

Csin(A-B)=sin

Bsin(C-A),∴sin

Csin

Acos

B-sin

Csin

Bcos

A=sin

Bsin

Ccos

A-sin

Bsin

Acos

C,[對點訓練4](2024陜西安康模擬)已知銳角三角形ABC中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,其中(1)求證:B=2C;(2)已知點M在線段AC上,且∠ABM=∠CBM,求BM的取值范圍.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos

B,整理得c=a-2ccos

B.由正弦定理得sin

C=sin

A-2sin

Ccos

B,故sin

C=sin(B+C)-2sin

Ccos

B,即sin

C=sin

Bcos

C+sin

Ccos

B-2sin

Ccos

B,整理得sin

C=sin(B-C),(2)解

因為點M在線段AC上,且∠ABM=∠CBM,即BM平分∠ABC,又∠ABC=2C,所以C=∠CBM,則∠BMC=π-C-∠CBM=π-2C.考向4解三角形中的最值與范圍問題例5已知四邊形ABCD內接于圓O,AB=2,∠ADB=30°,∠BAD是鈍角.(1)求AC的最大值;(2)若BD=2,求四邊形ABCD周長的最大值.延伸探究(變結論)在例5(2)的條件下,求△BCD面積的最大值.解

設BC=x,CD=y,因為∠BCD=60°,在△BCD中,由余弦定理得12=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy,即xy≤12,當且僅當x=y=6時,等號成立,考點三解三角形的實際應用例6(2024安徽合肥三模)如圖,某人開車在山腳下水平公路上自A向B行駛,山腳與公路處于同一水平面上.在A處測得山頂P處的仰角∠PAO=30°,該車以45km/h的速度勻速行駛4分鐘后,到達B處,此時測得山頂