專(zhuān)題四 數(shù)列 極限與數(shù)學(xué)歸納法高考預(yù)測(cè)2012年高考命題趨勢(shì) 選擇題 填空題將仍以考查兩個(gè)特殊數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力為主 突出 小 巧 活 的特點(diǎn) 解答題仍以綜合題為主 內(nèi)容涉及到函數(shù) 不等式 解析幾何 組合與二項(xiàng)式定理等 突出對(duì)思想與方法的考查 考查的思想有 函數(shù)與方程的思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想 分類(lèi)討論的思想 特殊與一般的思想 考查的主要方法有 疊加法 累積法 迭代法 待定系數(shù)法 倒序相加法 錯(cuò)位相減法 裂項(xiàng)相消法 放縮法 數(shù)學(xué)歸納法 近年來(lái)不斷地涌現(xiàn)出信息題 著重考查學(xué)生的閱讀能力和知識(shí)遷移的能力 而對(duì)遞推公式的考查十分火熱 適當(dāng)?shù)赝卣挂恍┯蛇f推關(guān)系求通項(xiàng)的方法是大有必要的 它可以使方法更為直接 以三角 解析幾何 導(dǎo)數(shù)和二項(xiàng)定理相交匯的數(shù)列綜合試題將成為高考命題中的新寵 應(yīng)引起高度重視 其中常考不衰的四個(gè)熱點(diǎn)是 關(guān)于an與sn之間關(guān)系的考查 疊加 累積 錯(cuò)位相減 裂項(xiàng)相消 等方法的運(yùn)用 構(gòu)造新數(shù)列 將非等差 等比數(shù)列化成等差 等比數(shù)列 數(shù)列中的不等式證明 考題回放1 2009年 海南寧夏 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 若a1 1 則s4等于 a 7 b 8 c 15 d 16 解析 4a1 2a2 a3成等差數(shù)列 4a1 a3 4a2 即4a1 a1q2 4a1q q2 4q 4 0 q 2 s4 15 答案 c2 2009年 江西 數(shù)列 an 的通項(xiàng)an n2 其前n項(xiàng)和為sn 則s30為 a 470 b 490 c 495 d 510 解析 由于以3為周期 故s30 25 470 答案 a 3 2011年 重慶 設(shè)a1 2 an 1 bn n n 則數(shù)列 bn 的通項(xiàng)bn 解析 bn 1 2bn 又b1 4 故數(shù)列 bn 是以4為首項(xiàng) 以2為公比的等比數(shù)列 bn 2n 1 答案 2n 14 2009年 山東 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 已知對(duì)任意的n n 點(diǎn) n sn 均在函數(shù)y bx r b 0且b 1 b r均為常數(shù) 的圖象上 1 求r的值 2 當(dāng)b 2時(shí) 記bn 2 log2an 1 n n 證明 對(duì)任意的n n 不等式成立 解析 1 解 點(diǎn) n sn 均在函數(shù)y bx r b 0且b 1 b r均為常數(shù) 的圖象上 sn bn r b 0且b 1 b r均為常數(shù) 當(dāng)n 1時(shí) a1 s1 b r 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 bn r bn 1 r b 1 bn 1 又?jǐn)?shù)列 an 為等比數(shù)列 故r 1且公比為b 2 證明 當(dāng)b 2時(shí) 則an 2n 1 bn 2 log2an 1 2 log22n 1 1 2n n n 于是要證明的不等式為對(duì)任意的n n 成立 法一 可用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)n 1時(shí) 顯然成立 假設(shè)當(dāng)n k時(shí)成立 即成立 則當(dāng)n k 1時(shí) 即當(dāng)n k 1時(shí)不等式成立 所以原不等式對(duì)任意n n 成立 所以原不等式成立 5 2009年 江西 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an a1 a a2 b 且對(duì)滿足m n p q的正整數(shù)m n p q都有 1 當(dāng)a b 時(shí) 求通項(xiàng)an 2 證明 對(duì)任意a 存在與a有關(guān)的常數(shù) 使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n 都有 an 解析 1 解 由 得 將a1 a2 代入上式化簡(jiǎn)得an 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列 又 從而 即an 可驗(yàn)證an 滿足題設(shè)條件 2 證明 由題設(shè)的值僅與m n有關(guān) 記為bm n 則bn 1 考察函數(shù)f x x 0 則在定義域上有f x g a 故對(duì)n n bn 1 g a 恒成立 又b2n g a 注意到0 g a 解上式得 an 取 即有 an 專(zhuān)題訓(xùn)練一 選擇題1 在等差數(shù)列 an 中 a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 則數(shù)列 an 的前9項(xiàng)之和s9等于 a 66 b 99 c 144 d 297 解析 數(shù)列 an 是等差數(shù)列 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9也成等差數(shù)列 a2 a5 a8 33 即s9 a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9 99 答案 b2 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比q 2 前n項(xiàng)和為sn 則等于 a 2 b 4 c d 解析 答案 c3 在等差數(shù)列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 則a9 a11的值為 a 14 b 15 c 16 d 17 解析 由已知得5a8 a4 a6 a8 a10 a12 120 a8 24 a9 a11 3a9 a11 3a1 24d a1 10d a1 7d a8 16 答案 c 4 在等比數(shù)列 an 中 已知a1 a2 a3 4 a2 a3 a4 2 則a3 a4 a5 a6 a7 a8等于 a b c d 解析 q a3 a4 a5 1 a6 a7 a8 a1 a2 a3 5 a3 a4 a5 a6 a7 a8 1 答案 d 5 在等差數(shù)列 an 中 a100且a11 a10 sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則使sn 0的n的最小值為 a 21 b 20 c 10 d 11 解析 a11 a10 且a10 0 a10 a11 0 即s19 19a10 0 s20 10 a10 a11 0 答案 b6 公差不為0的等差數(shù)列 an 中 2a3 a72 2a11 0 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 且b7 a7 則b6b8等于 a 2 b 4 c 8 d 16 解析 2a3 a72 2a11 0 4a7 a72 0 a7 4或a7 0 舍去 b6b8 b72 a72 16 答案 d 7 若數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 an n 3 則a17等于 a 1 b 2 c d 2 987 解析 an an 3 an 2 兩式相乘得 an 3 an 故a17 a2 2 答案 b8 在等差數(shù)列 an 中 若7a5 5a9 0 且a9 a5 則使數(shù)列前n項(xiàng)和sn取最小值的n等于 a 5 b 6 c 7 d 8 解析 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 則a9 a5 4d 0 7a5 5a9 12a1 68d 12a6 8d 12a7 4d 0 a6 d0 因此數(shù)列 an 的前6項(xiàng)和最小 答案 b 9 數(shù)列1 1 2 1 2 22 1 2 22 23 1 2 22 2n 1 此數(shù)列的前n項(xiàng)和sn 1020 那么n的最小值是 a 7 b 8 c 9 d 10 解析 an 1 2 22 2n 1 2n 1 sn 2n 1 n 2 s9 1013 s10 2036 故所求n的最小值為10 答案 d10 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 令tn 稱(chēng)tn為數(shù)列a1 a2 an的 理想數(shù) 已知數(shù)列a1 a2 a500的 理想數(shù) 為2004 那么數(shù)列2 a1 a2 a500的 理想數(shù) 為 a 2002 b 2004 c 2006 d 2008 解析 數(shù)列a1 a2 a500的 理想數(shù) 為 2004 500a1 499a2 a500 2004 500 數(shù)列2 a1 a2 a500的 理想數(shù) 為 2 2002 答案 a11 在數(shù)列 an 中 如果存在非零常數(shù)t 使得am t am對(duì)于任意正整數(shù)m均成立 那么就稱(chēng)數(shù)列 an 為周期數(shù)列 其中t叫做數(shù)列 an 的周期 已知數(shù)列 xn 滿足xn 1 xn xn 1 n 2 n n 如果x1 1 x2 a a 1 a 0 當(dāng)數(shù)列 xn 的周期為3時(shí) 則該數(shù)列的前2009項(xiàng)的和為 a 668 b 669 c 1338 d 1340 解析 本題考查對(duì)信息的閱讀理解能力及知識(shí)的遷移轉(zhuǎn)化能力 據(jù)題意知x3 a 1 1 a x4 2a 1 由于數(shù)列的周期為3 故必有x4 x1 2a 1 1 解得a 1或0 據(jù)條件a 0舍去 故此數(shù)列為1 1 0 1 1 0 故每一周期內(nèi)數(shù)列和為2 由于2009 3 669 2 則此數(shù)列的前2009項(xiàng)即為 2 669 1 1 1340 答案 d12 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 a2 2 n n 則a13等于 a 26 b 24 c 212 12 d 213 13 解析 由 2 令bn 則數(shù)列 bn 是以2為首項(xiàng) 以2為公差的等差數(shù)列 所以bn 2 n 1 2 2n 故有an a1 2 n 1 2 n 2 2 2 2 1 1 2n 1 n 1 答案 c 二 填空題13 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和sn 2n a 等差數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn n2 2n b 則a b 解析 易得a 1 b 0 答案 114 常數(shù)a b滿足 b 則a b 解析 當(dāng)x 1時(shí) ax2 5x 3 0 故a 2 代入可得b 2x 3 1 故a b 3 答案 315 數(shù)列滿足a1 1 且對(duì)任意的m n n 都有am n am an mn 則 解析 當(dāng)m 1時(shí) an 1 an n 1 即an 1 an n 1 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 故 答案 16 若a1 1 an 1 則數(shù)列 an 的第34項(xiàng)是 解析 an 1 3 即數(shù)列是以3為公差的等差數(shù)列 1 3 33 100 故a34 答案 三 解答題17 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且a1 1 nan 1 n 2 sn n 1 2 3 1 求證 數(shù)列為等比數(shù)列 并由此求出sn 2 若數(shù)列 bn 滿足 b1 n n 試求數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式 解析 1 由條件n sn 1 sn n 2 sn 2 是首項(xiàng)為1 公比為2的等比數(shù)列 所以 2n 1 sn n2n 1 2 由條件 2n 1 設(shè)cn 則c1 cn c1 c2 c1 c3 c2 cn cn 1 2 1 20 21 2n 2 2n 1 從而bn ncn 2n 1 18 設(shè)方程tan2 x 4tan x 0在 n 1 n n n 內(nèi)的所有解之和為an 1 求a1 a2的值 并求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)數(shù)列 bn 滿足條件 b1 2 bn 1 abn 求證 2 解析 方程tan2 x 4tan x tan x 1 tan x 0 得tan x 或tan x 1 當(dāng)n 1時(shí) x 0 1 即 x 0 由tan x 或tan x 得 x 或 x 故a1 當(dāng)n 2時(shí) x 1 2 則 x 2 由tan x 或tan x 得 x 或 x 故a2 當(dāng)x n 1 n 時(shí) x n 1 n 由tan x 或tan x 得 x n 1 或 x n 1 得x n 1 或x n 1 故an n 1 n 1 2n 2 由 1 得bn 1 abn 2bn 即bn 1 2 22 bn 1 2n 2n 1 0 則 即 1 2 2 19 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 且2sn n 1 an n n a1 1 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng) 2 已知bn 求b1 b2 bn 3 求證 an 解析 1 2sn n 1 an 2sn 1 n 2 an 1 兩式相減得2an 1 n 2 an 1 n 1 an 即 n 2 當(dāng)n 2時(shí) an a1 1 n 又a1 1 an n n n 2 bn b1 b2 bn 1 3 證明 1 an 1 n cn0 cn1 cn2 cnr cnn 又cnr 1 而 cn0 cn1 an 20 已知數(shù)列 an 中a1 3 a2 5 其前n項(xiàng)和為sn 且滿足sn sn 2 2sn 1 2n 1 n 3 1 試求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 令bn tn是數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和 證明 tnm成立 解析 1 由sn sn 2 2sn 1 2n 1 n 3 得sn sn 1 sn 1 sn 2 2n 1 n 3 an sn sn 1 an an 1 2n 1 n 3 即an an 1 2n 1 n 3 又a2 a1 5 3 2 an an 1 2n 1 n 2 an a1 2n 1 2n 2 2n 3 21 3 3 2n 1 故數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2n 1 2 bn tn b1 b2 b3 bn m 則得 m 化簡(jiǎn)得 m 0 1 6m 0 2n 1 1 n log2 1 當(dāng)log2 1m成立 21 已知等差數(shù)列滿足a12 a32 10 等比數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn 2n a 1 求a的值以及數(shù)列的通項(xiàng)公式 2 試求s a3 a4 a5的最大值以及s最大時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式 3 若cn anbn 求數(shù)列的前n項(xiàng)和 解析 1 當(dāng)n 2時(shí) tn 1 2n 1 a bn tn tn 1 2n 1 n 2 數(shù)列為等比數(shù)列 b1 t1 2 a 1 故a 1 bn 2n 1 2 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 根據(jù)題意有 a12 a32 2a12 4a1d 4d2 10 即a12 2a1d 2d2 5 s a3 a4 a5 3 a1 3d a1 3d 代入上式有 3d 2 2 3d d 2d2 sd 5d2 5 即關(guān)于d的不等式45d2 12sd s2 45 0有解 144s2 180 s2 45 0 s2 225 s 15 smax 15 當(dāng)s 15時(shí) 45d2 12 15d 152 45 0 d 2 2 0 d 2 a1 3d 1 an 2n 3 3 cn anbn 2n 3 2n 1 記數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和為sn sn c1 c2 c3 cn 1 cn 1 20 1 21 3 22 2n 5 2n 2 2n 3 2n 1 2sn 1 21 1 22 3 23 2n 5 2n 1 2n 3 2n sn 1 2 21 22 23 2n 1 2n 3 2n 1 2 2n 3 2n 5 n 1 2n 1 3 2n sn 5 n 1 2n 1 3 2n 22 已知 f x 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 點(diǎn)pn an 在曲線y f x 上 n n 且a1 1 an 0 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和