考綱定位1 了解指數函數模型的實際背景 2 理解有理指數冪的含義 了解實數指數冪的意義 掌握冪的運算 3 理解指數函數的概念 理解指數函數的單調性 掌握指數函數圖象通過的特殊點 4 知道指數函數是一類重要的函數模型 0的正分數指數冪等于 0 0的負分數指數冪沒有意義 2 有理數指數冪的性質 arax ar s a 0 r s q ar s ars a 0 r s q ab r arbr a 0 b 0 r q 3 指數函數的圖象與性質 思考探究 如圖是指數函數 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的圖象 底數a b c d與1之間的大小關系如何 你能得到什么規律 提示 圖中直線x 1與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數的值 即c1 d1 1 a1 b1 c d 1 a b 即無論在y軸的左側還是右側 底數按逆時針方向變大 三基強化答案 d 答案 b 3 已知函數f x a2 x a 0且a 1 當x 2時 f x 1 則f x 在r上 a 是增函數b 是減函數c 當x 2時是增函數 當x2時是減函數 當x2時 f x 1 當t1 0 a 1 f x 在r上是增函數 答案 a 答案 a 5 函數y 23 2x x2的值域是 解析 3 2x x2 x2 2x 1 1 3 x 1 2 4 4 0 y 23 2x x2 24 16 答案 0 16 考點一指數冪的化簡與求值指數冪的化簡與求值的原則及結果要求1 化簡原則 1 化負指數為正指數 2 化根式為分數指數冪 3 化小數為分數 4 注意運算的先后順序 特別警示 有理數指數冪的運算性質中 其底數都大于0 否則不能用性質來運算 2 結果要求 1 若題目以根式形式給出 則結果用根式表示 2 若題目以分數指數冪的形式給出 則結果用分數指數冪表示 3 結果不能同時含有根號和分數指數冪 也不能既有分母又有負指數冪 例1計算下列各式 分析 將式子中負分數指數化為正分數指數 將根式化為分數指數冪 然后根據冪的運算性質進行運算 變式遷移1 例2設f x 3x 1 cf a f b 則下列關系式中一定成立的是 a 3c 3ab 3c 3bc 3c 3a 2d 3c 3a 2 分析 用函數的圖象比較大小 解析 畫出f x 3x 1 的圖象如下圖 要使cf a f b 成立 則有c0 由y 3x的圖象可得0f a 1 3c 3a 1 即3c 3a 2 答案 d 變式遷移2若曲線 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b的取值范圍是 解析 分別作出兩個函數的圖象 通過圖象的交點個數來判斷參數的取值范圍 曲線 y 2x 1與直線y b的圖象如圖所示 由圖象可得 如果 y 2x 1與直線y b沒有公共點 則b應滿足的條件是b 1 1 答案 1 1 考點三指數函數的性質1 與指數函數有關的復合函數的定義域 值域的求法 1 函數y af x 的定義域與y f x 的定義域相同 2 先確定f x 的值域 再根據指數函數的單調性 值域 可確定y af x 的值域 2 與指數函數有關的復合函數的單調性的求解步驟 1 求復合函數的定義域 2 弄清函數是由哪些基本函數復合而成的 3 分層逐一求解函數的單調性 4 求出復合函數的單調區間 注意 同增異減 分析 由f x f x 恒成立可解得a的值 第 2 問按定義法判斷單調性的步驟進行求解即可