華中科技大學控制系 樊慧津 自動控制原理 AutomaticControlTheory 學時 48 8 3 5考試 閉卷考試參考書目 王敏 秦肖臻編自動控制原理 北京 化學工業出版社 2003孫德寶主編 自動控制原理 北京 化學工業出版社 2002胡壽松主編 自動控制原理 第三版 北京 國防工業出版社 1994王劃一主編 自動控制原理 北京 國防工業出版社 2001 實驗安排4周 332 322 8 11周 620 南一樓0401 0402班周一 11 12 0403 0404班周四 11 12 4周 332 322 7 11周 620 南一樓0405 0406班周二 9 10 0407 0408班周二 11 12 14周計算中心四樓401機房0401 0408班周五 1 2 3 主要內容緒論控制系統的數學模型線性系統的時域分析線性系統的頻域分析線性系統的校正方法線性離散控制系統 采樣系統分析 狀態空間分析設計 4 第一章緒論 1 1自動控制的基本概念 明確什么叫自動控制 正確理解被控對象 控制裝置和自控系統等概念 1 2自動控制理論的發展 了解自動控制理論發展的四個主要階段 1 3控制系統的分類 明確系統常用的分類方式 掌握各類別的含義和信息特征1 4對控制系統的基本要求 明確對自控系統的基本要求 正確理解三大性能指標的含義 5 手動控制 人在控制過程中起三個作用 1 觀測 用眼睛去觀測溫度計和轉速表的指示值 2 比較與決策 人腦把觀測得到的數據與要求的數據相比較 并進行判斷 根據給定的控制規律給出控制量 3 執行 根據控制量用手具體調節 如調節閥門開度 改變觸點位置 控制 操縱 節制使不超出范圍或隨意活動 6 1 1自動控制的基本概念 在現代科學技術的眾多領域中 自動控制技術起著越來越重要的作用 如數控車床按預定程序自動切削 人造衛星準確進入預定軌道并回收等 除了在工業上廣泛應用外 近幾十年來 隨著計算機技術的發展和應用 在宇航 機器人控制 導彈制導及核動力等高新技術領域中 自動控制技術更具特別重要的作用 不僅如此 自動控制技術的應用范圍現在已擴展到生物 醫學 環境 經濟管理和其它許多社會生活領域中 特別在化學工業中的應用有傳熱設備控制 反應器控制 流體輸送設備控制 精餾塔控制等 自動控制已成為現代社會生活中不可缺少的一部分 7 自動控制 自動控制 就是在沒有人直接參與的情況下 利用外加的設備或裝置 控制裝置 使機器 設備或生產過程 控制對象 的某個工作狀態或參數 被控量 自動地按照預定的規律運行 自動控制系統 是指能夠對被控對象的工作狀態進行自動控制的系統 它是控制對象以及參與實現其被控制量自動控制的裝置或元部件的組合 一般由控制裝置和被控對象組成 一般包括三種機構 測量機構 比較機構 執行機構 自動控制系統的功能和組成是多種多樣的 其結構有簡單也有復雜 它可以只控制一個物理量 也可以控制多個物理量甚至一個企業機構的全部生產和管理過程 它可以是一個具體的工程系統 也可以是比較抽象的社會系統 生態系統或經濟系統 8 控制系統分析 已知系統的結構參數 分析系統的穩定性 求取系統的動態 靜態性能指標 并據此評價系統的過程稱為控制系統分析 控制系統設計 或綜合 根據控制對象和給定系統的性能指標 合理的確定控制裝置的結構參數 稱為控制系統設計 被控量 指被控對象中要求保持給定值 要按給定規律變化的物理量 被控量又稱輸出量 輸出信號 給定值 系統輸出量應達到的數值 例如與要求的爐溫對應的電壓 擾動 是一種對自動控制系統輸出量起反作用的信號 如電源電壓的波動 環境溫度的變化 9 開環控制是指系統的被控制量 輸出量 只受控于控制作用 而對控制作用不能反施任何影響的控制方式 采用開環控制的系統稱為開環控制系統 優點 結構簡單 成本低廉 易于實現缺點 對擾動沒有抑制能力 控制精度低 控制方式 開環控制 10 閉環控制 閉環控制是指系統的被控制量 輸出量 與控制作用之間存在著負反饋的控制方式 采用閉環控制的系統稱為閉環控制系統或反饋控制系統 閉環控制是一切生物控制自身運動的基本規律 人本身就是一個具有高度復雜控制能力的閉環系統 優點 具有自動補償由于系統內部和外部干擾所引起的系統誤差 偏差 的能力 因而有效地提高了系統的精度 缺點 系統參數應適當選擇 否則可能不能正常工作 11 反饋的概念 反饋 把輸出量送回到系統的輸入端并與輸入信號比較的過程 若反饋信號是與輸入信號相減而使偏差值越來越小 則稱為負反饋 反之 則稱為正反饋 顯然 負反饋控制是一個利用偏差進行控制并最后消除偏差的過程 又稱偏差控制 同時 由于有反饋的存在 整個控制過程是閉合的 故也稱為閉環控制 12 比較以上兩種控制方式 由于開環控制的特點是控制裝置只按照給定的輸入信號對被控制量進行單向控制 而不對控制量進行測量并反向影響控制作用 這樣 當爐溫偏離希望值時 開關K的接通或斷開時間不會相應改變 因此 開環控制不具有修正由于擾動 使被控制量偏離希望值的因素 而出現的被控制量與希望值之間偏差的能力 即抗干擾能力差 在閉環控制中 被控量一般是由測量裝置檢測并反饋到輸入端 然后由比較裝置將它與輸入信號綜合得到偏差 誤差 有時 測量與綜合作用是由一個裝置完成的 如水銀溫度計 由于采用了接觸式水銀溫度計 可以不斷對爐溫進行測量和比較 根據爐溫的實際偏差進行控制 提高了控制精度和抗干擾能力 13 是開環和閉環控制相結合的一種控制方式 它是在閉環控制回路的基礎上 附加一個輸入信號或擾動信號的順饋通路 用來提高系統的控制精度 順饋通路通常由對輸入信號的補償器或對擾動信號的補償器組成 優點 具有很高的控制精度 可以抑制幾乎所有的可量測擾動缺點 補償器的參數要有較高的穩定性 復合控制 14 方框圖的概念 方框控制裝置和被控對象分別用方框表示信號線方框的輸入和輸出以及它們之間的聯接用帶箭頭的信號線表示輸入信號進入方框的信號輸出信號離開方框的信號 15 開環控制系統方框圖 被控制量 輸入量 加在電阻絲兩端的電壓被控制對象 爐子被控制量 輸出量 爐溫控制裝置 開關K和電熱絲 對被控制量起控制作用 16 閉環控制的電加熱爐方框圖 17 人取書的控制過程 18 閉環控制系統方框圖 19 反饋控制系統方框圖 反饋控制系統的組成 名詞術語和定義 20 1 2自動控制理論的發展 自動控制理論是研究自動控制共同規律的技術科學 既是一門古老的 已臻成熟的學科 又是一門正在發展的 具有強大生命力的新興學科 從1868年馬克斯威爾 J C Maxwell 提出低階系統穩定性判據至今一百多年里 自動控制理論的發展可分為四個主要階段 第一階段 經典控制理論 或古典控制理論 的產生 發展和成熟 第二階段 現代控制理論的興起和發展 第三階段 大系統控制興起和發展階段 第四階段 智能控制發展階段 21 經典控制理論 控制理論的發展初期 是以反饋理論為基礎的自動調節原理 主要用于工業控制 第二次世界大戰期間 為了設計和制造飛機及船用自動駕駛儀 火炮定位系統 雷達跟蹤系統等基于反饋原理的軍用裝備 進一步促進和完善了自動控制理論的發展 1868年 馬克斯威爾 J C Maxwell 提出了低階系統的穩定性代數判據 1875年和1896年 數學家勞斯 Routh 和赫爾威茨 Hurwitz 分別獨立地提出了高階系統的穩定性判據 即Routh和Hurwitz判據 二戰期間 1938 1945年 奈奎斯特 H Nyquist 提出了頻率響應理論1948年 伊萬斯 W R Evans 提出了根軌跡法 至此 控制理論發展的第一階段基本完成 形成了以頻率法和根軌跡法為主要方法的經典控制理論 22 經典控制理論的基本特征 1 主要用于線性定常系統的研究 即用于常系數線性微分方程描述的系統的分析與綜合 2 只用于單輸入 單輸出的反饋控制系統 3 只討論系統輸入與輸出之間的關系 而忽視系統的內部狀態 是一種對系統的外部描述方法 基本方法 根軌跡法 頻率法 PID調節器 頻域 反饋控制是一種最基本最重要的控制方式 引入反饋信號后 系統對來自內部和外部干擾的響應變得十分遲鈍 從而提高了系統的抗干擾能力和控制精度 與此同時 反饋作用又帶來了系統穩定性問題 正是這個曾一度困擾人們的系統穩定性問題激發了人們對反饋控制系統進行深入研究的熱情 推動了自動控制理論的發展與完善 因此從某種意義上講 古典控制理論是伴隨著反饋控制技術的產生和發展而逐漸完善和成熟起來的 23 現代控制理論 經典控制理論只適用于單輸入 單輸出的線性定常系統 只注重系統的外部描述而忽視系統的內部狀態 在實際應用中有很大局限性 隨著航天事業和計算機的發展 20世紀60年代初 在經典控制理論的基礎上 以線性代數理論和狀態空間分析法為基礎的現代控制理論迅速發展起來 1954年貝爾曼 R Belman 提出動態規劃理論1956年龐特里雅金 L S Pontryagin 提出極大值原理1960年卡爾曼 R K Kalman 提出多變量最優控制和最優濾波理論在數學工具 理論基礎和研究方法上不僅能提供系統的外部信息 輸出量和輸入量 而且還能提供系統內部狀態變量的信息 它無論對線性系統或非線性系統 定常系統或時變系統 單變量系統或多變量系統 都是一種有效的分析方法 基本方法 狀態方程 時域 大系統理論 20世紀70年代開始 現代控制理論繼續向深度和廣度發展 出現了一些新的控制方法和理論 如 1 現代頻域方法以傳遞函數矩陣為數學模型 研究線性定常多變量系統 2 自適應控制理論和方法以系統辨識和參數估計為基礎 在實時辨識基礎上在線確定最優控制規律 3 魯棒控制方法在保證系統穩定性和其它性能基礎上 設計不變的魯棒控制器 以處理數學模型的不確定性 25 隨著控制理論應用范圍的擴大 從個別小系統的控制 發展到若干個相互關聯的子系統組成的大系統進行整體控制 從傳統的工程控制領域推廣到包括經濟管理 生物工程 能源 運輸 環境等大型系統以及社會科學領域 大系統理論是過程控制與信息處理相結合的系統工程理論 具有規模龐大 結構復雜 功能綜合 目標多樣 因素眾多等特點 它是一個多輸入 多輸出 多干擾 多變量的系統 大系統理論目前仍處于發展和開創性階段 智能控制 是近年來新發展起來的一種控制技術 是人工智能在控制上的應用 智能控制的概念和原理主要是針對被控對象 環境 控制目標或任務的復雜性提出來的 它的指導思想是依據人的思維方式和處理問題的技巧 解決那些目前需要人的智能才能解決的復雜的控制問題 被控對象的復雜性體現為 模型的不確定性 高度非線性 分布式的傳感器和執行器 動態突變 多時間標度 復雜的信息模式 龐大的數據量 以及嚴格的特性指標等 智能控制是驅動智能機器自主地實現其目標的過程 27 智能控制是從 仿人 的概念出發的 其方法包括學習控制 模糊控制 神經元網絡控制和專家控制等方法 28 1 3控制系統的分類恒值系統和隨動系統 按參考輸入形式分類 恒值系統是指參考輸入量保持常值的系統 其任務是消除或減少擾動信號對系統輸出的影響 使被控制量 即系統的輸出量 保持在給定或希望的數值上 隨動系統是指參考輸入量隨時間任意變化的系統 其任務是要求輸出量以一定的精度和速度跟蹤參考輸入量 跟蹤的速度和精度是隨動系統的兩項主要性能指標 29 線性系統和非線性系統 按照組成系統的元件特性分類 線性系統是指構成系統的所有元件都是線性元件的系統 其動態性能可用線性微分方程描述 系統滿足疊加原理 非線性系統是指構成系統的元件中含有非線性元件的系統 其只能用非線性微分方程描述 不滿足疊加原理 同時把可以進行線性化處理的系統或元件特性稱為非本質非線性特性 反之 稱之為本質非線性 它只能用非線性理論分析研究 30 連續系統和離散系統 按照系統內信號的傳遞形式分類 連續系統是指系統內各處的信號都是以連續的模擬量傳遞的系統 如果系統內某處或數處信號是以脈沖序列或數碼形式傳遞的系統則稱為離散系統 其脈沖序列可由脈沖信號發生器或振蕩器產生 也可用采樣開關將連續信號變成脈沖序列 這類控制系統又稱為采樣控制系統或脈沖控制系統 而用數字計算機或數字控制器控制的系統又稱為數字控制系統或計算機控制系統 31 1 4控制系統的性能指標 32 穩定性系統在受到擾動作用后自動返回原來的平衡狀態的能力 如果系統受到擾動作用 系統內或系統外 后 能自動返回到原來的平衡狀態 則該系統是穩定的 穩定系統的數學特征是其輸出量具有非發散性 反之 系統是不穩定系統 33 動態性能當系統受到外部擾動的影響或者參考輸入發生變化時 被控量會隨之發生變化 經過一段時間 被控量恢復到原來的平衡狀態或到達一個新的給定狀態 稱這一過程為過渡過程在時域中 常用單位階躍信號作用下 系統輸出的超調量 p 上升時間Tr 峰值時間Tp 過渡過程時間 或調整時間 Ts和振蕩次數N等特征量表示 34 穩態誤差指穩定系統在完成過渡過程后的穩態輸出偏離希望值的程度 開環控制系統的穩態誤差通常與系統的增益或放大倍數有關 而反饋控制系統 閉環系統 的控制精度主要取決于它的反饋深度 穩態誤差越小 系統的精度越高 它由系統的穩態響應反映出來 35 作業Page6 2 3Duedate 29thSep 周六 36 小結明確什么叫自動控制 正確理解被控對象 控制裝置和自控系統等概念 了解自動控制理論發展的四個主要階段 明確系統常用的分類方式 掌握各類別的含義和信息特征明確對自控系統的基本要求 正確理解三大性能指標的含義 37 預備知識 復變函數 Laplace變換 拉氏變換 Z變換常微分方程解法 Laplace變換和反變換電路理論基本的電子學和力學知識 第二章控制系統的數學模型 2 1基本概念 數學模型及常見的系統 2 2時域模型 微分方程 微分方程的建立及線性化 2 3復域模型 傳遞函數 借助拉氏變換 給出系統傳遞函數 經典控制理論中引用最廣泛的一種模型 2 4控制系統方塊圖 掌握方塊圖的建立及化簡 2 5狀態空間模型 控制系統的內部模型 描述了系統內部狀態 系統輸出與系統輸入之間的關系 深入地揭示了系統的動態特性 是現代控制理論分析 設計系統的基礎 掌握系統的狀態變量表達式的求取及它與傳遞函數之間的關系 2 1基本概念 定義 數學模型是描述系統內部物理量 或變量 之間關系的數學表達式 建立數學模型的目的是分析和設計控制系統的首要工作 或基礎工作 自控系統的組成可以是電氣的 機械的 液壓或氣動的等等 然而描述這些系統發展的模型卻可以是相同的 通過數學模型來研究自控系統 可以擺脫各種不同類型系統的外部特征 研究其內在的共性運動規律 建立方法解析法 機理模型 依據系統及元件各變量之間所遵循的物理 化學定律 列出各變量之間的數學關系式實驗法 實驗建模 對系統施加典型測試信號 脈沖 階躍或正弦信號 記錄系統的時間響應曲線或頻率響應曲線 從而獲得系統的傳遞函數或頻率特性 常見的控制系統 1 集中參數系統變量僅僅是時間的函數 這類系統建立的動態數學模型通常是微分方程 2 分布參數系統變量不僅是時間函數 而且還是空間的函數 這類系統建立的動態數學模型通常是偏微分方程 如很大的蒸餾罐 溫度隨空間位置不同是有梯度變化的 在實際系統中 大多數系統都是分布式參數系統 但由于偏微分方程求解比較困難 因此在一定誤差允許范圍內 對系統作一個近似 近似為集中參數系統 這樣就可以用微分方程進行分析 41 3 線性系統能夠用線性數學模型 線性的代數方程 微分方程 差分方程等 描述的系統 稱為線性系統 這類系統的基本特性 即輸出響應特性 狀態響應特性 狀態轉移特性等均滿足線性關系 對于控制系統而言 由線性元件構成的系統為線性系統 其運動方程一般為線性微分方程 若其各項系數為常數 則稱為線性定常系統 在動態研究中 如果系統在多個輸入作用下的輸出等于各輸入單獨作用下的輸出和 可加性 并且當輸入增大倍數時 輸出相應增大同樣的倍數 均勻性 就滿足疊加原理 因而系統可以看成線性系統非線性系統 描述系統的數學模型是非線性微分方程 其特性是不能應用疊加原理 42 4 非線性系統不滿足疊加原理的系統 就是非線性系統 因此非線性系統對兩個輸入量的響應不能單獨進行計算 因此系統分析將比較困難 很難找到一般通用方法 但在實際系統中 絕對線性的系統是不存在的 通常所謂的線性系統也是在一定的工作范圍內才保證線性的 如放大器 在小信號時可能出現 死區 在大信號時 又可能出現飽和現象 如圖所示即為幾種常見的非線性的關系曲線 顯然上面的微分方程不容易求解 系統分析很困難 所以常常需要引入 等效 線性系統來代替非線性系統 這種等效線性系統僅在有限的工作范圍內是正確的 我們下面研究的系統就是線性系統或能等效為線性系統的非線性系統 非線性微分方程 43 5 線性定常系統如果描述一個線性系統的微分方程的系數為常數 那么稱系統為線性定常系統 如 6 線性時變系統如果描述一個線性系統的微分方程的系數為時間的函數 那么稱系統為線性時變系統 如 44 建立合理的數學模型 建立的數學模型既有準確性 又有簡化性一般應根據系統的實際結構參數及要求的計算精度 略去一些次要因素 使模型既能準確反映系統的動態本質 又能簡化分析計算的工作 除非系統含有強非線性或參數隨時間變化較大 一般盡可能采用線性定常數學模型描述自動控制系統 2 2時域模型 微分方程 2 2 1 建立系統或元件微分方程的步驟 確定元件輸入量和輸出量根據物理或化學定律 列出元件的原始方程在可能條件下 對各元件的原始方程進行適當簡化 略去一些次要因素或進行線性化處理消去中間變量 得到描述元件輸入和輸出關系的微分方程對微分方程進行標準化處理 與輸出量相關的各項置于等號左側 而與輸入量相關的置于等號右邊 等號左右各項均按降冪排列 將各項系數歸化為具有一定物理意義的形式 46 例2 1機械位移系統 如圖表示一個彈簧 質量 阻尼器系統 f t 為一作用在運動部件上的外加作用力 系統產生的位移為y t 運動部件質量用M表示 B為阻尼器的阻尼系數 K為彈簧的彈性系數 要求寫出系統在外力f t 作用下的運動方程式 選擇f t 為系統的輸入 y t 為系統的輸出 列出原始方程式 根據牛頓第二定律 有 式中f1 t 阻尼器阻力 f2 t 彈簧力 在忽略彈簧質量的情況下 2 2 2 微分方程 47 f1 t 和f2 t 為中間變量 消去中間變量 整理得 方程兩邊同時除以K 令 則有 例2 2RLC電路 設回路電流為 由克希霍夫定律寫出回路方程為 確定元件的輸入 輸出Input ur t Output uc t 消去中間變量 得到描述網絡輸入輸出關系的微分方程為 例2 3 設流體是不可壓縮的 應滿足物質守恒定律 可得 由流量公式得 圖2 4液位流體系統 50 具有相同結構微分方程的系統稱為相似系統例如 R L C電路與彈簧 質量 阻尼器系統 雖然這兩個系統就系統本質而言完全不同 但其具有相同結構的微分方程 拉氏變換法求解步驟 1 考慮初始條件 對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換 得到變量s的代數方程 2 求出輸出量拉氏變換函數的表達式 3 對輸出量拉氏變換函數求反變換 得到輸出量的時域表達式 即為所求微分方程的解 2 2 3 線性定常微分方程的求解 求解方法 經典法 拉氏變換法 拉氏 laplace 變換定義 設函數f t 當t 0時有定義 而且積分存在 其中s是復數 則稱F s 是f t 的象函數 即f t 的拉氏變換 記為f t 稱為F s 的原函數 拉氏反變換為 53 單位階躍函數1 t 單位階躍函數的拉氏變換為單位脈沖函數單位脈沖函數的拉氏變換為 54 幾個重要的拉氏變換 55 拉氏變換的基本性質 1 線性性質原函數之和的拉氏變換等于各原函數的拉氏變換之和 2 微分性質若 則有f 0 為原函數f t 在t 0時的初始值 3 積分性質若則式中為積分當t 0時的值 56 4 終值定理即原函數的終值等于其象函數乘以s的初值 5 初值定理 6 位移定理 a 實域中的位移定理 若原函數在時間上延遲 則其象函數應乘以b 復域中的位移定理 象函數的自變量延遲a 原函數應乘以 即 57 例2 4 用拉氏變換解微分方程 58 59 練習 方程兩邊進行拉氏變換得整理得 方程兩邊進行拉氏反變換得若則 系統響應如圖所示 重點建立微分方程要掌握所涉及系統的關鍵公式例如 牛頓第二定律 克希霍夫定律 質量守恒定律 剛體旋轉定律等建立的微分方程的標準形式特點 方法直觀 但是微分方程的求解麻煩 尤其是高階系統 2 3復域模型 傳遞函數 2 3 1 傳遞函數的定義與性質 定義 線性定常系統的傳遞函數為零初始條件下 系統輸出量的拉氏變換與系統輸入量的拉氏變換之比 問題的提出傳遞函數不僅可以表征系統的動態特性 而且還可以用來研究系統的結構或參數變化對系統性能的影響 所謂零初始條件是指1 輸入量在t 0時才作用在系統上 即在時系統輸入及各項導數均為零 2 輸入量在加于系統之前 系統為穩態 即在時系統輸出及其所有導數項為零 62 設r t 和c t 及其各階導數在t 0時的值為0 即零初始條件 則對上式中各項分別求拉氏變換 可得s的代數方程為 由定義得系統得傳遞函數為 設線性定常系統由下述n階線性常微分方程描述 式中c t 為系統輸出量 r t 為系統輸入量 ai i 1 2 3 n 和bj j 1 2 3 m 是與系統結構和參數有關的常系數 分母中s的最高階次n即為系統的階次 該系統稱為n階系統 試列寫網絡傳遞函數Uc s Ur s 例2 5如圖RLC電路 解 零初始條件下取拉氏變換 傳遞函數 64 性質傳遞函數是復變量s的有理真分式函數 分子多項式的次數m低于或等于分母多項的次數n 所有系數均為實數 傳遞函數與微分方程有相通性 可經簡單置換而轉換 傳遞函數表征了系統本身的動態特性 傳遞函數只取決于系統本身的結構參數 而與輸入和初始條件等外部因素無關 可見傳遞函數有效地描述了系統的固有特性 只能描述線性定常系統與單輸入單輸出系統 不能表征內部所有狀態的特征 只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出 不能反映非零初始條件引起的輸出 服從不同動力學規律的系統可有同樣的傳遞函數 傳遞函數有一定的零 極點分布圖與之對應 因此傳遞函數的零 極點分布圖也表征了系統的動態性能 65 傳遞函數的物理意義顯然 在零初始條件下 若線性定常系統的輸入的拉氏變換為 則系統的輸出的拉氏變換為系統的輸出為由于單位脈沖輸入信號的拉氏變換為所以 單位脈沖輸入信號作用下系統的輸出的拉氏變換為 66 單位脈沖輸入信號下系統的輸出為g t 則可見 系統傳遞函數的拉氏反變換即為單位脈沖輸入信號下系統的輸出 因此 系統的單位脈沖輸入信號下系統的輸出完全描述了系統動態特性 所以也是系統的數學模型 通常稱為脈沖響應函數 67 作業Page41 2 5 Duedate 29thSep 周六 68 2 3 2 典型環節的傳遞函數 比例環節 輸出量無滯后 按比例復現輸入量 電位器 69 慣性環節該環節存在儲能元件 典型慣性環節的微分方程為一階常微分方程 其特點是當系統輸入有階躍變化時 系統輸出是由零逐漸跟上 如圖所示 a 為系統的輸入變化 b 為系統的輸出響應 輸出按單調指數規律上升 70 積分環節輸出量與輸入量對時間的積分成正比 微分環節輸出量與輸入量的導數成正比 積分放大器原理 71 例2 6 如圖所示衛星姿態控制系統 對偏航角的控制 其中A B為斜對稱配置的噴氣發動機 推力均為F 2 成對工作 每個發動機到質心的距離為l 那么產生的力矩為T Fl 假設衛星的轉動慣量為J 角位移 t 為輸出量 產生的力矩T為輸入量 那么根據牛頓第二定律 注意到在衛星周圍的環境中不存在摩擦 所以有 其中T J l 這是由兩個積分環節組成的 72 振蕩環節 二階環節 該環節存在兩個儲能元件 且所儲兩種能量可以互相轉換 故動態過程表現出振蕩特性 73 無阻尼自然振蕩頻率 阻尼比 延滯環節延滯時間 死區時間 輸出量相對于輸入量滯后一個恒定時間 75 關于典型環節的幾點說明 一個不可分割的裝置或元件可能含有若干典型環節例如 無源網絡同一元部件 若選擇不同的輸入量和輸出量 將由不同的典型環節組成 C R ur t uc t 76 有理分式形式傳遞函數最常用的形式是下列有理分式形式傳遞函數的分母多項式D s 稱為系統的特征多項式 D s 0稱為系統的特征方程 D s 0的根稱為系統的特征根或極點 分母多項式的階次定義為系統的階次 對于實際的物理系統 多項式D s N s 的所有系數為實數 且分母多項式的階次n高于或等于分子多項式的階次m 即n m 2 3 3 傳遞函數的表示方式 77 零極點形式將傳遞函數的分子 分母多項式變為首一多項式 然后在復數范圍內因式分解 得n m 2 66 式中 稱為系統的零點 為系統的極點 為系統的根軌跡增益 系統零點 極點的分布決定了系統的特性 因此 可以畫出傳遞函數的零極點圖 直接分析系統特性 在零極點圖上 用 表示極點位置 用 表示零點 78 例如 傳遞函數的零極點圖如圖2 9所示 79 時間常數形式將傳遞函數的分子 分母多項式變為尾一多項式 然后在復數范圍內因式分解 得 式中 為傳遞系數 通常也為系統的放大系數 為系統的時間常數 2 4控制系統結構圖 2 4 1結構圖的基本組成微分方程 傳遞函數等數學模型 都是用純數學表達式來描述系統特性 不能反映系統中各元部件對整個系統性能的影響 定義 由具有一定函數關系的環節組成的 并標明信號流向的系統的方框圖 稱為系統的結構圖 結構圖又稱為方框圖 方塊圖等 既能描述系統中各變量間的定量關系 又能明顯地表示系統各部件對系統性能的影響 方框 環節 方框表示對信號進行數學變換 方框中寫入元部件或系統的傳遞函數 系統輸出的象函數等于輸入的象函數乘以方框中的傳遞函數或者頻率特性信號線信號線是帶有箭頭的直線 箭頭表示信號的流向 在直線旁邊標記信號的時間函數或象函數 這里的信號引出與測量信號一樣 不影響原信號 所以也稱為測量點 綜合點 比較點 比較點表示對兩個以上的信號進行加減運算 表示相加 表示相減 進行相加或相減的量應具有相同的量綱單位分支點 引出點 引出點表示信號引出或測量的位置 從同一位置引出的信號在數值和性質方面完全相同 82 結構圖特點 結構圖是方塊圖與微分方程 傳函 的結合 一方面它直觀反映了整個系統的原理結構 方塊圖優點 另一方面對系統進行了精確的定量描述 每個信號線上的信號函數均可確定地計算出來 能描述整個系統各元部件之間的內在聯系和零初始條件下的動態性能 但不能反映非零條件下的動態性能結構圖最重要的作用 計算整個系統的傳函對同一系統 其結構圖具有非唯一性 簡化也具有非唯一性 但得到的系統傳函是確定唯一的 結構圖中方塊 實際元部件 因為方框可代表多個元件的組合 甚至整個系統 83 結構圖的繪制 建立控制系統各元部件的微分方程對各元件的微分方程進行拉氏變換 并作出各元件的方框圖和比較點 置系統輸入量于左端 輸出量于右端 便得到系統結構圖 從與系統輸入量有關的比較點開始 依據信號流向 把各元部件的結構圖連接起來 例2 8繪制如圖所示RC網絡的結構圖 中間變量 i i1 i2 信號量 ur uc根據電路定律 得到以下方程 84 按照上述方程 可以分別繪制相應元件的結構圖 如圖 a d 所示 然后 根據相互關系將這些結構圖在相同信號處連接起來 就得到整個系統的結構圖 練習繪出RC電路的結構圖 為了便于系統分析和設計 常常需要對系統的復雜的結構圖作等價變換 或者通過變換使系統結構圖簡化 求取系統的總傳遞函數 因此 結構圖變換是控制理論的基本內容 2 4 2結構圖的化簡 等效變換的原則結構圖的變換應按等效原則進行 所謂等效 即對結構圖的任一部分進行變換時 變換前后輸入輸出的數學關系保持不變結構圖的基本組成形式串聯連接并聯連接反饋連接 87 等效變換的法則 串聯連接的等效變換傳遞函數的串聯連接 其等效傳遞函數為這些傳遞函數的積 上述結論可以推廣到多個傳遞函數的串聯 即n個傳遞函數依次串聯的等效傳遞函數 等于n個傳遞函數的乘積 88 并聯連接的等效變換傳遞函數的并聯連接 其等效傳遞函數為這些傳遞函數的和 上述結論可以推廣到多個傳遞函數的并聯 即n個傳遞函數并聯的等效傳遞函數 等于n個傳遞函數的和 89 反饋連接的等效變換 90 比較點 綜合點 和引出點的移動在系統結構圖簡化的過程中 有時為了便于進行方框的串聯 并聯或者反饋連接的計算 需要移動比較點或引出點的位置 比較點前后移動 91 引出點前后移動 92 注意 對綜合點和分支點進行移動位置 消除交叉回路 但在移動中一定要注意以下幾點 必須保持移動前后信號的等效性 相鄰綜合點可以互相換位和合并 相鄰分支點可以互相換位 綜合點和分支點之間一般不宜交換位置 93 94 95 例2 9 97 例2 10 試化簡下述系統結構圖 并求傳遞函數C s R s 顯然若不移動比較點或引出點的位置就無法化簡 98 首先將間的引出點后移到方框的輸出端接著將組成的內反饋網絡簡化 其等效傳遞函數為 99 得到圖為然后將組成的內反饋網絡簡化 其等效傳遞函數為 100 得到圖為最后將求得其傳遞函數為 101 作業Page42 2 6 繪制 a b 的方框圖 2 12Duedate 11thOct 周四 102 練習 試化簡下述系統結構圖 并求傳遞函數C s R s 顯然化簡該結構圖也需要移動比較點和引出點 需要注意得是 引出點和比較點之間是不宜隨便移動的 因此我們將比較點前移 將引出點后移 得到圖為 103 將兩個比較點合并 并將求出的等效傳遞函數 得到圖為得到系統等效傳遞函數 2 4 3閉環系統的結構圖和傳遞函數 控制系統常采用反饋結構 又稱閉環控制系統 通常 控制系統會受到兩類外作用信號的影響 一類是有用信號 或稱為輸入信號 給定值 參考輸入等 常用r t 表示 另一類則是擾動 或稱為干擾 噪聲等 常用n t 表示 通過對反饋控制系統建立微分方程模型 直接在零初始條件下進行拉氏變換 可求取反饋控制系統的傳函 通過對反饋控制系統結構圖簡化也能求傳函 反饋通道傳遞函數從輸出端反送到參考輸入端的信號通道 稱為反饋通道 前向通道傳遞函數前向通道是指從輸入端到輸出端的通道 系統的開環傳遞函數上圖中將反饋的輸出通路斷開 反饋信號對于參考輸入信號的傳遞函數稱為開環傳遞函數 這時前向通路傳遞函數與反饋通路傳遞函數的乘積為該系統的開環傳遞函數 作用下系統的閉環傳遞函數令 這時系統結構圖如上圖 系統傳遞函數為 系統輸出為 作用下系統的閉環傳遞函數令 這時系統結構圖如上圖 系統傳遞函數為 系統輸出為 108 系統總輸出根據線性系統的疊加原理 系統的總輸出應為各外作用引起輸出的綜合因而得到系統總輸出為 109 閉環系統的誤差傳遞函數誤差定義為被控量的測量輸出和給定輸入之差或作用下的誤差 輸入結構圖誤差傳遞函數 n t 作用下系統的誤差傳遞函數 輸入結構圖誤差傳遞函數總誤差 110 閉環系統的特征方程 上面導出閉環傳遞函數及誤差傳遞函數雖然各不相同 但是他們的分母卻是一樣的 均為 令并稱其為閉環特征方程 將其改寫為如下形式 對給定的系統而言 特征多項式是唯一的 即閉環極點的分布是唯一的 閉環系統的極點與控制系統的瞬態響應和系統的穩定性密切相關特征多項式與開環傳函相關 因此其動態特性可用開環傳函分析 這是閉環控制系統各種傳遞函數都具有的的規律性 稱其為特征多項式 可以是實數或共軛復數 稱為特征方程的根 或稱為閉環系統的極點 111 例2 11如圖所示位置隨動系統的方塊圖 求系統在給定值 r t 作用下的閉環傳遞函數及在負載力矩ML作用下的閉環傳遞函數 并求兩信號同時作用下 系統總輸出c t 的拉氏變換式 解 1 求作用下系統的閉環傳遞函數 令ML 0 運用串聯及反饋法則 可求得 r t 112 2 求ML作用下系統的閉環傳遞函數 令 r t 0 系統以ML為輸入的方塊圖如圖 a 所示 經方塊圖變換后如圖 b 所示可求得 a b 113 3 系統在給定值 r t 作用及在負載力矩ML作用下的總輸出為兩部分迭加 即 114 2 5狀態空間模型 現代控制理論 定義在狀態空間中以狀態向量或狀態變量描述系統的方法稱為系統的狀態空間模型 內部表達 優點能完全表達出系統的全部狀態和性能 內部和外部 能了解系統內部狀態的變化特性容易考慮初始條件適用范圍廣 時變系統 非線性系統 多輸入多輸出便于設計 115 預備知識 有關矩陣的微分 1 向量函數對數量函數的導數2 矩陣函數對數量函數的導數3 數量函數對向量的導數4 向量函數對向量的導數5 矩陣函數對向量的導數 116 1 向量函數對數量函數的導數 2 矩陣函數對數量函數的導數 117 3 數量函數對向量的導數 4 向量函數對向量的導數 118 5 矩陣函數對向量的導數 119 2 5 1 狀態變量表達式相關概念 如圖所示的RLC電路 其輸入電壓為ur t 該電路中的四個物理量i t uR t uL t uC t 反映著系統各方面的特征 根據線性電路知識 這個電路有兩個儲能元件 即電感L和電容C 因此只能有兩個物理量是獨立的 而其余的物理量必能用這兩個獨立的物理量來表示 當選i t Uc t 為獨立變量時 則其它變量可表示為 由解微分方程可知 如果已知初始條件i 0 uc 0 以及t 0的ur t 那么在t 0后的任一時刻的解就完全被確定了 120 如方程組采用狀態向量表示時 令為系統輸入 狀態方程 如果以uC t 為系統輸出 用y表示 則有 輸出方程 系統輸出也可能并不一定是狀態變量 但前面提到 其它的量如uR t 或uL t 等一定能用狀態變量來表示 即輸出可以寫成狀態變量的線性組合 因此輸出方程一定是代數方程 121 寫為矩陣形式如 狀態空間模型 122 基本概念狀態 系統過去 現在和將來的狀況 狀態變量 狀態變量指能確定系統運動狀態的最少數目的一組變量 狀態向量 若以n個狀態變量做為向量的分量 則稱為狀態向量 狀態空間 以狀態變量為基構成的n維空間 狀態方程 描述系統狀態變量與輸入變量之間關系的一階微分方程組稱為狀態方程 123 狀態方程的一般形式單輸入線性定常連續系統式中常系數與系統特性有關 上式可以寫成向量矩陣形式 其中 124 多輸入線性定常連續系統向量矩陣形式為 其中 125 輸出方程 系統輸出量與狀態變量 輸入量的關系稱為輸出方程 輸出量由系統任務確定或給定單輸出線性定常連續系統輸出方程的一般形式為式中常系數與系統特性有關 其向量矩陣形式為 多輸入 多輸出系統的輸出方程的一般形式為其向量矩陣形式為 126 狀態空間表達式 狀態方程與輸出方程的組合稱為狀態空間表達式 又稱動態方程 A t 系統矩陣 狀態矩陣 B t 控制矩陣 輸入矩陣 C t 觀測矩陣 輸出矩陣 D t 直接傳遞矩陣 多輸入 多輸出系統狀態空間表達式的一般形式為 單輸入 單輸出系統狀態空間表達式的一般形式為 127 對于一般的非線性系統 其狀態方程和輸出方程可能還是狀態和輸入的非線性函數 因此狀態方程和輸出方程可用如下向量方程表示 128 對于本節主要討論的線性定常系統來說 狀態空間模型的標準形式是 線性系統的狀態空間表達式動態結構圖 129 對于本節主要討論的線性定常系統來說 狀態空間模型的標準形式是 130 2 5 2由微分方程建立狀態變量表達式步驟 直接根據系統的物理機理建立相應的微分 連續系統 或差分 離散系統 方程組 針對微分方程 定義一組狀態變量 建立狀態方程 并根據系統輸出和狀態之間的關系 建立系統的輸出方程 狀態變量的選取 1 狀態變量的選取是非唯一的 2 選取方法 1 可選取初始條件對應的變量或與其相關的變量作為系統的狀態變量 2 可選取獨立儲能 或儲信息 元件的特征變量或與其相關的變量作為控制系統的狀態變量 如電感電流i 電容電壓uc 質量m和速度v等 131 例2 14 試確定下圖中兩個電網絡的獨立狀態變量 圖中分別為輸入電壓 電流 為輸出電壓 為電容端或電感電流 圖 a 由于因此三個變量中只有兩個是獨立的 系統的狀態變量可以是三者中的任意兩個 132 圖 b 由于 b 中有 因此 它只有一個獨立的狀態變量 任意取中的一個即可 133 例2 15 由質量塊 彈簧 阻尼器組成的機械位移系統如圖示 有力F及阻尼器汽缸速度V兩種外作用 另輸出量為 質量塊位移 速度和加速度 試寫出該雙輸入 三輸出機械位移系統的狀態空間表達式 圖中m k f分別為質量 彈簧的彈性模量 阻尼系數 x為位移 解 根據牛頓力學得到該系統的微分方程為 它是二階系統 選擇質量塊的位移和速度為狀態變量 令系統的三個輸出量為 134 由系統的微分方程可導出下列狀態方程 其向量 矩陣形式為 狀態變量一般選可反映儲能元件能量變化的量 eg 電感電流 電容電壓 位置 速度 135 線性微分方程中不含有輸入函數導數項的系統的狀態空間表達式選取狀態變量 則有 136 系統狀態空間表達式為 137 根據上式繪制的狀態變量之間關系的方塊圖如圖所示 每個積分器的輸出都是對應的一個狀態變量 狀態方程由積分器的輸入輸出關系確定 輸出方程在輸出端給出 138 例2 16 設一控制系統的動態過程用微分方程表示為式中u y分別為系統的輸入和輸出信號 試求系統的狀態空間描述 解 選取狀態變量為則有 139 將上式寫成矩陣微分方程形式 140 系統輸入量中含有導數項 其一般形式為 若選取狀態變量則得到 在狀態方程中將會出現輸入導數項 141 應選擇以下n個變量作為一組狀態變量則狀態變量如下 式中是n個待定常數 142 輸出方程 狀態方程 對最后一個方程處理 143 并將y n 用下式代入 得到 144 將上式中所有的輸出項以及輸出的導數項都用狀態和輸入的各階導數項表示有 145 令上式中u的各階導數項的系數為零 則有 令則有 146 將上式改為矩陣向量形式為 其中 d h0 bn 147 繪制出狀態變量之間關系的方塊圖如圖所示 148 例2 17 設一控制系統的動態過程用微分方程表示為式中u y分別為系統的輸入和輸出信號 試求系統的狀態空間表達式 解 選擇狀態變量為 149 150 根據上式寫出控制系統空間表達式為 d 0 151 例2 18 設一控制系統的動態過程用微分方程表示為式中u y分別為系統的輸入和輸出信號 試求系統的狀態空間表達式 畫出系統的結構圖解 由題得 152 寫出狀態空間表達式為系統結構圖如下 153 一般形式 當式中bn 0時 還可以按如下規則選擇另一組狀態變量 設 154 則得到 155 因此可以得到 n 1 個狀態方程 輸出方程為 156 對下式求導 并將y n 用代入后整理得 狀態方程為 157 d 0 158 狀態變量之間關系的方塊圖 159 例2 19 試求的狀態空間表達式 因為此系統為三階系統 而b3 0 所以可以選擇狀態變量 160 所以狀態空間表達式為 對于一個給定的系統而言 狀態變量的選取并不是唯一的 161 2 5 3由傳遞函數建立狀態變量表達式 1 設線性定常系統的傳遞函數為有理真分式 bn為零 162 163 為非有理真分式時 bn不為零 由 可知 bn就等于狀態方程中的直接矩陣d 而為有理真分式 因此我們只要能由一個有理真分式的傳遞函數求相應的狀態空間表達式的話 那么對非有理真分式求狀態空間表達式 只需增加一個直接矩陣d即可 164 bn 165 這種形式的狀態空間表達式被稱為可控標準型 166 由于為有理真分式 即對應的微分方程中輸入導數項的最高階等于零 因此也可以采用式的方式選擇狀態變量 那么狀態空間表達式為 167 這種形式的狀態空間表達式被稱為可觀測標準型 168 2 傳遞函數以極點形式給出 系統傳遞函數只有單實極點 沒有重極點 系統特征方程可表示為 通過部分分式展開成下列形式 169 為G s 在極點 i處的留數 因此有 選擇狀態變量為 輸出為 以上兩式整理后 取反拉氏變換得 170 寫成矩陣形式有對角陣標準型 171 如果狀態變量選擇為 那么系統輸出則為 同樣 經過反拉氏變換并展成矩陣形式有對角陣標準型 172 系統傳遞函數含有重實極點情況 假設極點 1為三重極點 其它均為單實極點 即 4 5 n 那么系統特征方程可表示為 傳遞函數可以通過部分分式展開成下列形式 那么系統輸出為 173 如果選擇狀態變量為 輸出為 174 整理得 175 對上式反拉氏變換并整理得約當標準型 稱重極點對應的 為約當塊 176 2 5 4 由狀態空間表達式求傳遞函數陣 若對上式求拉氏變換 并令初始條件為零 則有 整理式得 根據傳遞函數陣的定義有 第三章線性系統的時域分析 分析和設計控制系統的首要任務是建立系統的數學模型 一旦獲得合理的數學模型 就可以采用不同的分析方法來分析系統的性能 經典控制理論中常用的工程方法有時域分析法頻率特性法根軌跡法 分析內容瞬態響應穩定性穩態性能 時域分析法在時間域內研究系統在典型輸入信號的作用下 其輸出響應隨時間變化規律的方法 對于任何一個穩定的控制系統 輸出響應含有瞬態分量和穩態分量 178 3 1時間響應性能指標3 2一階系統的時域響應3 3二階系統的時域響應3 4系統的穩定性分析3 5系統穩態性能分析 179 3 1時間響應性能指標 工程實際中 有些系統的輸入信號是已知的 如恒值系統 但對有些控制系統來說 常常不能準確地知道其輸入量是如何變化的 如隨動系統 因此 為了方便系統的分析和設計 使各種控制系統有一個進行比較的統一的基礎 需要選擇一些典型試驗信號作為系統的輸入 然后比較各種系統對這些輸入信號的響應 常用的試驗信號有階躍信號 斜坡信號 拋物線信號 脈沖信號及正弦信號 這些信號都是簡單的時間函數 并且易于通過實驗產生 便于數學分析和試驗研究 3 1 1典型輸入信號 階躍函數階躍函數的定義是 對系統輸入階躍函數就是在t 0時 給系統加上一個恒值輸入量 如圖所示 若A 1 稱為單位階躍函數 記作1 t 階躍函數的拉氏變換為 單位階躍函數的拉氏變換為R s 1 s 斜坡函數 斜坡函數也稱等速度函數 其定義為輸入斜坡函數相當于對系統輸入一個隨時間作等速變化的信號 其圖形如圖所示 若A 1 則稱之為單位斜坡函數 斜坡函數等于階躍函數對時間的積分 斜坡函數的拉氏變換為單位斜坡函數的拉氏變換為R s 1 s2 拋物線函數 拋物線函數也稱加速度函數 其定義為輸入拋物線函數相當于對于系統輸入一個隨時間做等加速變化的信號 其圖形如圖所示 若A 1 稱之為單位拋物線函數 拋物線函數等于斜坡函數對時間的積分 拋物線函數的拉氏變換為單位拋物線函數的拉氏變換為R s 1 s3 t 1 0 脈沖函數 脈沖函數的定義為脈沖函數在理論上 數學上的假設 是一個脈寬無窮小 幅值無窮大的脈沖 在實際中 只要脈沖寬度 極短即可近似認為是脈沖函數 如圖所示 脈沖函數的積分 即脈沖的面積為 理想的單位脈沖信號實際上是不存在的 只具有數學意義 任意形式的外作用可以看作是在不同時刻存在的 強度不同的無限多個脈沖函數的疊加 184 t 函數的圖形如右圖所示 脈沖函數的積分就是階躍函數 脈沖函數的拉氏變換為單位脈沖函數的拉氏變換為R s 1 t 0 t 1 當A 1時 即面積為1的脈沖函數稱為單位脈沖函數 記為 t 正弦函數