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南昌大學第四屆高等數學競賽(理工類)試題答案 序號： 姓名： 學院: 專業(yè)： 學號： 考試日期： 2007年9月16日 題號一二三四五六七八九十十一十二總分累分人 簽名題分15156677877787 100得分注: 本卷共七頁, 十二道大題, 考試時間為8:3011:30.一、 填空題(每空3分，共15分) 1、 . 2、0 . 3、. 4、 . 5、12.二、選擇題(每題3分，共15分)1、 C. 2、A. 3、C. 4、C. 5、D.第 6 頁 共 6頁得分評閱人 三、（本題滿分6分） 設為連續(xù)函數,討論當時的極限是否存在.當時，則積分中令則 2當時，則. 4（1） 當時，的極限存在，（2） 當時，的極限不存在 6得分評閱人 四、（本題滿分6分） 設為連續(xù)函數,滿足方程,求. 1 2 3求得 4通解 5特解 6得分評閱人 五、（本題滿分7分） 設，其中均為常數，為從點沿曲線到點的一段弧.利用格林公式.添加從點沿直線到點的有向直線段,則. 1對于,因為為封閉曲線,由格林公式知 3對于,直接計算 5所以,. 7得分評閱人 六、（本題滿分7分） 設在上連續(xù)，且，求.解：令，則，.于是,原式=解法二：= 1= 4= 6= 7 得分評閱人 七、（本題滿分8分） 已知正項級數收斂，試判斷數列的斂散性.證 設級數的前項的部分和由正項級數收斂知存在使得， 1 3由于當時，因此 6 又由于是單調遞增數列， 7因此數列收斂. 8得分評閱人 八、（本題滿分7分） 計算曲面積分，其中是錐面被平面和所截出部分的外側.利用高斯公式.補充有向曲面:下側；有向曲面:上側.利用高斯公式,有 2 4其中為:.又由于, 5, 6故 7得分評閱人 九、（本題滿分7分） 設，其中函數具有二階連續(xù)導數，求.令，則 2 4 6=0 7得分評閱人 十、（本題滿分7分） 設函數滿足方程,且由曲線、直線與軸圍成的平面圖形繞軸一周所得旋轉體體積最小，求.方程通解 2旋轉體體積 4 = 5令 7十一、（本題滿分8分） 求級數的和函數.令， 1當時， 3 5=， 7當， =0 8十二、（本題滿分7分） 設對任意，有，試證.證 在上的一階臺勞公式

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