活頁作業(六)放縮法、幾何法、反證法一、選擇題1實數a，b，c不全為0的等價條件是()A實數a，b，c均不為0B實數a，b，c中至多有一個為0C實數a，b，c中至少有一個為0D實數a，b，c中至少有一個不為0解析：實數a，b，c不全為0的含義是實數a，b，c中至少有一個不為0.答案：D2設x0，y0，M，N，則M，N的大小關系是()AM NBMNCMN D不能確定解析：NM.答案：B3已知xa(a2)，yb22(b0)，則x，y之間的大小關系是()Axy BxyCxy D不能確定解析：易得xa22224(a2)，而b222(b0)，即yb2224，所以xy.答案：A4設M，則()AM1 BM1CM 1 DM與1大小關系不定解析：M 2101.答案：B二、填空題5若ab0，m0，n0，則，按由小到大的順序排列為_解析：由ab0，m0，n0，知1且1.則1，即1.答案：6已知a(0，)，則，從大到小的順序為_解析：2，2，22.答案：三、解答題7已知數列an的前n項和Sn(n2n)3n.求證：3n.證明：當n1時，a1S163；當n1時，S1S2Sn13n3n.所以當n1時，3n.8設函數f(x)定義在區間(0，)上，且f(1)0，導函數f(x)，函數g(x)f(x)f(x)(1)求函數g(x)的最小值；(2)是否存在x00，使得不等式|g(x)g(x0)|對任意x0恒成立？若存在，請求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由解：(1)由題設，易知f(x)ln x，g(x)ln x.g(x).令g(x)0，得x1.當x(0,1)時，g(x)0，故區間(0,1)是函數g(x)的單調遞減區間；當x(1，)時，g(x)0，故區間(1，)是函數g(x)的單調遞增區間函數g(x)的最小值為g(1)1.(2)滿足條件的x0不存在理由如下：假設存在x00，使得不等式|g(x)g(x0)|對任意x0恒成立由(1)，知函數g(x)的最小值為g(1)1.當x1時，函數g(x)的值域為1，)，從而可取一個x11，使g(x1)g(x0)1，即g(x1)g(x0)1.故|g(x1)g(x0)|1，與假設矛盾不存在x00，使得不等式|g(x)g(x0)|對任意x0恒成立一、選擇題1lg 9lg 11與1的大小關系是()Alg 9lg 111 Blg 9lg 111Clg 9lg 111 D不能確定解析：因為lg 90，lg 110，且lg 9lg 11，所以lg 9lg 112221.答案：C2若|a|1，|b|1，則()A1 B1C1 D1解析：假設1，則|ab|1ab|a2b22ab12aba2b2a2b21a2b20a2(1b2) (1b2)0(a21)(1b2)0.由上式，知a210,1b20或a210,1b20.與已知矛盾，故1.答案：B二、填空題3若直線yxm與曲線x恰有一個公共點，則實數m的取值范圍是_.解析：如圖所示，曲線x 是半圓(x0)，A(1,0)，B(0，1)，C(0,1)，kAB1，這時直線AB在y軸上的截距為1(m1)，往上平移至C點時適合題意(m1)，往下平移至相切時在y軸上的截距為，所以直線yxm與曲線x 恰有一個公共點時，實數m的取值范圍是m|1m1或m答案：m|1m1或m4完成下列反證法證題的全過程題目：設a1，a2，a7是1,2,3，7的一個排列，求證：p(a11)(a22)(a77)為偶數證明：假設p為奇數，則_均為奇數因為奇數個奇數的和還是奇數，所以奇數_0.但奇數偶數，這一矛盾說明p為偶數解析：假設p為奇數，則(a11)，(a22)，(a77)均為奇數因為奇數個奇數的和還是奇數，所以奇數(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(1237)0.但奇數偶數，這一矛盾說明p為偶數答案：(a11)，(a22)，(a77)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(1237)三、解答題5已知x1，x2.求證：tan x1tan x22tan.證明：不妨設x2x1.在單位圓中，過點A作單位圓的切線AT，在AT上取B，C兩點，使BOAx1，COAx2，取DOA，E為BC的中點x 1，x2，|OC|OB|，|AB|tan x1，|AC|tan x2，|AD|tan.易得OD是BOC的平分線，由三角形內角平分線的性質，得.1，即|BD|DC|.|BE|BD|，|AE|AD|.|AE|(|AB|AC|)，(tan x1tan x2)tan，即tan x1tan x22tan.6已知數列an是等差數列，數列bn是等比數列，Sn是數列an的前n項和，a1b11，S2.(1)若b2是a1，a3的等差中項，求數列an與bn的通項公式；(2)若anN，數列ban是公比為9的等比數列，求證：.(1)解：設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q.因為S2，所以a1a1d.而a1b11，則q(2d)12.因為b2是a1，a3的等差中項，所以a1a32b2，即112d2q，即1dq.聯立，解得或所以an1(n1)22n1，bn3n1或an1(n1)(5)65n，bn(4)n1.(2)證明：因為anN，banb1qan1q1(n1)d1q(n1)d，所以qd9，即qd32.由(1)，知