第二節等差數列及其前n項和 三年12考高考指數 1 理解等差數列的概念 2 掌握等差數列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數列的等差關系 并能用等差數列有關知識解決相應的問題 4 了解等差數列與一次函數的關系 1 等差數列的通項公式與前n項和公式是考查重點 2 運用歸納法 累加法 倒序相加法 方程思想 函數的性質解決等差數列問題是重點 也是難點 3 題型以選擇題和填空題為主 與其他知識點結合則以解答題為主 1 等差數列的定義 1 條件 一個數列從 每一項與它的前一項的差等于同一個常數 2 公差 是指常數 一般用字母d表示 3 定義表達式 n n 第2項起 an 1 an d 即時應用 判斷下列數列是否為等差數列 請在括號中填寫 是 或 否 1 數列 2 數列a 2a 3a 4a 3 數列 an 滿足an an 1 1 n 2 n n 4 數列 an 滿足an 1 an 1 n 2 n n 解析 根據等差數列的定義知 2 3 是等差數列 1 不是等差數列 4 中數列 an 從第2項起滿足等差數列的定義第1項不一定滿足 故不是等差數列 答案 1 否 2 是 3 是 4 否 2 等差數列的通項公式若等差數列 an 的首項是a1 公差是d 則其通項公式為an a1 n 1 d 即時應用 1 在等差數列 an 中 a5 10 a12 31 則數列的通項公式為 2 等差數列10 7 4 的第20項為 解析 1 a5 a1 4d a12 a1 11d an a1 n 1 d 2 n 1 3 3n 5 2 由a1 10 d 7 10 3 n 20 得a20 10 20 1 3 47 答案 1 an 3n 5 2 47 3 等差中項若a a b成等差數列 則a叫做a b的等差中項 且a 即時應用 1 是a a b成等差數列的 條件 2 若等差數列 an 的前三項依次為a 2a 1 4a 2 則它的第五項為 解析 1 若可知2a a b 可推出a a b a 所以a a b成等差數列 反之 若a a b成等差數列 則故是a a b成等差數列的充要條件 2 由題意知2a 1是a與4a 2的等差中項 即解得a 0 故數列 an 的前三項依次為0 1 2 則a5 0 4 1 4 答案 1 充要 2 4 4 等差數列的前n項和公式 1 已知等差數列 an 的首項a1和第n項an 則其前n項和公式sn 2 已知等差數列 an 的首項a1與公差d 則其前n項和公式sn 即時應用 1 在等差數列 an 中 a1 5 an 95 n 10 則sn 2 在等差數列 an 中 a1 100 d 2 n 50 則sn 3 在等差數列 an 中 d 2 n 15 an 10 則sn 解析 1 2 50 100 49 2550 3 由an a1 n 1 d得 10 a1 15 1 2 解得a1 38 答案 1 500 2 2550 3 360 等差數列的基本運算 方法點睛 1 等差數列運算問題的通法等差數列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d 然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程 組 求解 2 等差數列前n項和公式的應用方法等差數列前n項和公式有兩個 如果已知項數n 首項a1和第n項an 則利用該公式經常和等差數列的性質結合應用 如果已知項數n 首項a1和公差d 則利用在求解等差數列的基本運算問題時 有時會和通項公式結合使用 例1 1 2011 廣東高考 等差數列 an 前9項的和等于前4項的和 若a1 1 ak a4 0 則k 2 2011 湖北高考 九章算術 竹九節 問題 現有一根9節的竹子 自上而下各節的容積成等差數列 上面4節的容積共為3升 下面3節的容積共4升 則第5節的容積為 升 3 2011 福建高考 已知等差數列 an 中 a1 1 a3 3 求數列 an 的通項公式 若數列 an 的前k項和sk 35 求k的值 解題指南 1 根據s9 s4求公差d 利用ak a4 0求k 2 轉化為關于a1 d的方程組 先求a1 d 再求a5 或直接轉化為關于a5 d的方程組求解 3 求出公差d后直接寫出an 求出sn 根據sk 35求k的值 規范解答 1 s4 s9 由ak a4 0 得 k 10 答案 10 2 方法一 設自上第一節竹子容量為a1 依次類推 數列 an 為等差數列 又a1 a2 a3 a4 4a1 6d 3 a7 a8 a9 3a1 21d 4 解得 方法二 設自上第一節竹子容量為a1 則第九節容量為a9 且數列 an 為等差數列 a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 聯立 解得答案 3 設等差數列 an 的公差為d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 從而an 1 n 1 2 3 2n 由 知an 3 2n 由sk 35得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7 互動探究 本例第 3 題中 若將 a1 1 a3 3 改為 a1 31 s10 s22 試求 sn 這個數列的前多少項的和最大 并求出這個最大值 解析 s10 a1 a2 a10 s22 a1 a2 a22 又s10 s22 a11 a12 a22 0 即a11 a22 2a1 31d 0 又a1 31 d 2 方法一 由 知sn 32n n2 當n 16時 sn有最大值 sn的最大值是256 方法二 an a1 n 1 d 31 n 1 2 2n 33 由an 0得 當n 16時sn有最大值 s16 32 16 162 256 反思 感悟 1 等差數列的通項公式及前n項和公式 共涉及五個量a1 an d n sn 知其中三個就能求另外兩個 體現了用方程解決問題的思想 2 數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用 而a1和d是等差數列的兩個基本量 用它們表示已知和未知是常用方法 變式備選 在等差數列 an 中 1 已知a15 33 a45 153 求a66 2 已知s8 48 s12 168 求a1和d 3 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 解析 1 方法一 設首項為a1 公差為d 依題意得解方程組得 a66 23 66 1 4 237 方法二 由由an am n m d 得a66 a45 66 45 4 237 2 解方程組得 3 a6 10 s5 5 解方程組得 a8 a1 7d 5 7 3 16 s8 8a1 28d 8 5 28 3 44 等差數列的判定 方法點睛 等差數列的判定方法 1 定義法 對于n 2的任意自然數 驗證an an 1為同一常數 2 等差中項法 驗證2an 1 an an 2 n 3 n n 成立 3 通項公式法 驗證an pn q 4 前n項和公式法 驗證sn an2 bn 提醒 在解答題中常應用定義法和等差中項法 而通項公式和前n項和的公式的方法主要適用于選擇題 填空題中的簡單判斷 例2 已知數列 an 中 n 2 n n 數列 bn 滿足 1 求證 數列 bn 是等差數列 2 求數列 an 中的最大項和最小項 并說明理由 解題指南 利用定義法證明數列 bn 是等差數列 先求bn 再求an 最后利用函數的單調性求最大項和最小項 規范解答 1 數列 bn 是以為首項 以1為公差的等差數列 2 由 1 知設則f x 在區間上為減函數 當n 3時 an取得最小值 1 當n 4時 an取得最大值3 反思 感悟 本例中在用定義法證明 bn 是等差數列時 不論用bn 1 bn還是用bn bn 1需要考慮運算中是否包含了b2 b1這一運算 這是容易被忽視的問題 變式訓練 1 已知數列 an 中 a1 1 an 1 an an 1 an 則數列 an 的通項公式為 解析 an 1 an an 1 an 數列是公差為 1的等差數列 且答案 2 已知數列 an 的前n項和為sn 且滿足an 2sn sn 1 0 n 2 求證 是等差數列 證明 an sn sn 1 且an 2sn sn 1 0 n 2 sn sn 1 2sn sn 1 0 n 2 又sn 0 數列是以2為首項 2為公差的等差數列 等差數列的性質及應用 方法點睛 等差數列的常見性質 1 若m n p q 2k m n p q k n 則am an ap aq 2ak 2 若 an bn 都是等差數列 k m r 數列 kan mbn 仍為等差數列 3 sm s2m sm s3m s2m仍為等差數列 m n 4 am an m n d m n m n n 5 項數為偶數2n的等差數列 an s2n n a1 a2n n an an 1 s偶 s奇 nd 6 項數為奇數 2n 1 的等差數列 an s2n 1 2n 1 an 1 例3 1 2011 遼寧高考 sn為等差數列 an 的前n項和 s2 s6 a4 1 則a5 2 已知等差數列 an 中 a1 a2 a3 40 a4 a5 a6 20 則前9項之和等于 3 設等差數列 an 的前n項和為sn 已知前6項和為36 最后6項的和為180 sn 324 n 6 求數列 an 的項數及a9 a10 解題指南 1 根據s2 s6 先求a4 a5的值 再求a5 2 根據s3 s6 s3 s9 s6成等差數列求解 3 根據前6項與最后6項的和求出a1 an 再求n及a9 a10 規范解答 1 s2 s6 s6 s2 a3 a4 a5 a6 0 2 a4 a5 0 即a4 a5 0 a5 a4 1 答案 1 2 設等差數列 an 的前n項和為sn 則s3 s6 s3 s9 s6成等差數列 且s3 40 s6 s3 20 s9 s6 20 20 0 s9 s6 60 答案 60 3 由題意知a1 a2 a6 36 an an 1 an 2 an 5 180 得 a1 an a2 an 1 a6 an 5 6 a1 an 216 a1 an 36 又 18n 324 n 18 a1 a18 36 a9 a10 a1 a18 36 互動探究 若本例中第 1 題條件不變 改為求此等差數列的前多少項的和最大 并求出最大值 解析 在本例中第 1 題已求解出a5 1 又a4 1 得公差d 2 s4最大 且s4 1 3 5 7 16 反思 感悟 1 在等差數列 an 中 若m n p q 2k 則am an ap aq 2ak是常用的性質 本例第 1 3 題都用到了這個性質 在應用此性質時 一定要觀察好每一項的下標規律 不要犯a2 a5 a7的錯誤 2 本例第 2 題也可先求a1 d 再求a7 a8 a9 但不如用性質簡單 變式備選 等差數列 an 的前n項和為sn 已知s2m 1 38 求m的值 解析 am 1 am 1 2am 解得am 0或am 2 又 a1 a2m 1 2am am 0 am 2 2m 1 19 解得m 10 滿分指導 等差數列主觀題的規范解答 典例 12分 2012 廣州模擬 已知等差數列 an 滿足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n項和為sn 1 求an及sn 2 令求數列 bn 的前n項和tn 解題指南 1 分析題意 列方程組求解 2 將an代入bn后 表示出bn是解題關鍵 規范解答 1 設等差數列 an 的公差為d 因為a3 7 a5 a7 26 所以有解得a1 3 d 2 3分所以an 3 2 n 1 2n 1 6分 2 由 1 知an 2n 1 所以 9分所以 11分即數列 bn 的前n項和 12分 閱卷人點撥 通過閱卷數據分析與總結 我們可以得到以下失分警示和備考建議 1 2011 大綱版全國卷 設sn為等差數列 an 的前n項和 若a1 1 公差d 2 sk 2 sk 24 則k a 8 b 7 c 6 d 5 解析 選d sk 2 sk ak 2 ak 1 2 2k 1 2 24 k 5 2 2012 鄭州模擬 如果數列 an 滿足a1 2 a2 1 且則這個數列的第10項等于 解析 選d 數列是首項為公差為的等差數列 3 2011 天津高考 已知 an 為等差數列 sn為其前n項和 n n 若a3 16 s20 20 則s10的值為 解析 由題意知解得答案 110 4 2011 重慶高考 在等差數列 an 中 a3 a7 37 則a2 a4 a6 a