第三節等比數列及其前n項和 三年18考高考指數 1 理解等比數列的概念 2 掌握等比數列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數列的等比關系 并能用等比數列有關知識解決相應的問題 4 了解等比數列與指數函數的關系 1 在考試內容上常以等比數列的定義及等比中項為背景 考查等比數列的判定 重點考查通項公式 前n項和公式 同時考查等差 等比數列的綜合應用 2 在考試形式上主要以選擇 填空為主 考查等比數列的性質及其應用 1 等比數列的定義 1 條件 一個數列從第2項起 等于同一個常數 2 公比 是指 通常用字母q表示 q 0 3 定義表達式 每一項與它的前一項的比 常數 即時應用 判斷下列數列是否為等比數列 請在括號中填 是 或 否 1 數列1 1 1 1 1 2 數列a a a a a 3 數列 an 滿足an 2an 1 n 2 n n an 0 4 數列 an 滿足an 1 2an n 2 n n an 0 解析 1 是等比數列 2 當a 0時 不是等比數列 3 符合等比數列的定義 是等比數列 4 a2與a1的關系不明確 不一定是等比數列 答案 1 是 2 否 3 是 4 否 2 等比數列的通項公式若等比數列 an 的首項是a1 公比是q 則其通項公式為 an a1qn 1 n n 即時應用 1 等比數列的第11項為 2 在等比數列 an 中 若a3 2 a6 16 則數列的通項公式為 解析 1 2 設等比數列的公比為q 則答案 1 2 an 2n 2 3 等比中項如果 成等比數列 那么g叫做a與b的等比中項 即 g是a與b的等比中項 a g b成等比數列 a g b g2 a b 即時應用 1 b2 ac是a b c成等比數列的 條件 2 若等比數列 an 的前三項依次為a 1 a 1 a 4 則它的第5項為 解析 1 當a 0 b 0 c 1時 滿足b2 ac 但a b c不成等比數列 反之 若a b c成等比數列 則必有b2 ac 故b2 ac是a b c成等比數列的必要不充分條件 2 由題意知 a 1 2 a 1 a 4 解得a 5 a1 4 答案 1 必要不充分 2 4 等比數列的前n項和公式 1 當公比q 1時 sn 2 當公比q 1時 sn na1 即時應用 1 在等比數列 an 中 a1 2 4 q 1 5 n 5 則sn 2 在等比數列 an 中 a1 8 則sn 3 設等比數列 an 的公比q 2 前n項和為sn 則 解析 1 2 3 答案 等比數列的基本運算 方法點睛 1 等比數列運算的通法等比數列運算問題的一般方法是設出首項和公比 然后根據通項公式或前n項和公式轉化為方程組求解 2 等比數列前n項和公式的應用在使用等比數列的前n項和公式時 應首先判斷公比q能否為1 若能 應分q 1與q 1兩種情況求解 提醒 在運算過程中 應善于運用整體代換的思想簡化運算的過程 例1 1 已知 an 是各項都為正數的等比數列 sn是 an 的前n項和 若a1 1 5s2 s4 則a5 2 2011 大綱版全國卷 設等比數列 an 的前n項和為sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 解題指南 1 根據5s2 s4 列方程求公比q 2 建立關于a1和q的方程組 求出a1和q后再求an和sn 規范解答 1 設公比為q 則由5s2 s4知q 1 又a1 1 q2 4 又q 0 q 2 a5 a1q4 1 24 16 答案 16 2 設 an 的公比為q 由題意得解得當a1 3 q 2時 an 3 2n 1 sn 3 2n 1 當a1 2 q 3時 an 2 3n 1 sn 3n 1 互動探究 本例 2 中 若將 a2 6 6a1 a3 30 改為 a1 a2 12 a2a4 1 試求an和sn 解析 設等比數列 an 的公比為q 由題意知 當a1 9 時 當時 反思 感悟 1 本例 1 只有一解 本例 2 有兩組解 在求解過程中 要注意根據題意確定解的個數 2 等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題 數列中有五個量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 可迎刃而解 變式備選 1 已知sn為等比數列 an 的前n項和 sn 93 an 48 公比q 2 則項數n 解析 由sn 93 an 48 公比q 2 根據等比數列的前n項和公式和通項公式可得 2n 32 n 5 答案 5 2 已知四個實數 前三個數成等差數列 后三個數成等比數列 首末兩數之和為37 中間兩數之和為36 求這四個數 解析 方法一 設前2個數分別為a b 則第3 4個數分別為36 b 37 a 則解得所以這四個數分別為12 16 20 25或者 方法二 設第2 3個數分別為b c 則第1個數為2b c 第4個數為則所以這四個數分別為12 16 20 25或者 方法三 設第1 3個數分別為a c 則第2 4個數分別為然后根據題意可知或者從而解得這四個數分別為12 16 20 25或者 等比數列的判定與證明 方法點睛 等比數列的判定方法 1 定義法 若 q為非零常數 n n 或 q為非零常數且n 2 n n 則 an 是等比數列 2 中項公式法 若數列 an 中 an 0且則數列 an 是等比數列 3 通項公式法 若數列通項公式可寫成an c qn c q均是不為0的常數 n n 則 an 是等比數列 4 前n項和公式法 若數列 an 的前n項和sn k qn k k為常數且k 0 q 0 1 則 an 是等比數列 提醒 前兩種方法常用于解答題中 而后兩種方法常用于選擇 填空題中的判定 例2 設數列 an 的前n項和為sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 設bn an 1 2an 證明數列 bn 是等比數列 2 在 1 的條件下證明是等差數列 并求an 解題指南 1 利用sn 1 4an 2 尋找bn與bn 1的關系 2 先求bn 再證明數列是等差數列 最后求an 規范解答 1 由a1 1 及sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由sn 1 4an 2 知當n 2時 有sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 又 bn an 1 2an bn 2bn 1 bn 是首項b1 3 公比為2的等比數列 2 由 1 可得bn an 1 2an 3 2n 1 數列是首項為公差為的等差數列 an 3n 1 2n 2 反思 感悟 在證明本題時 首先利用轉化的思想 把sn 1 4an 2轉化為an 1與an的關系 然后作商在作商時 無論使用都要考慮比值中是否包含了這一項 這是很容易被忽視的地方 變式訓練 數列 an 的前n項和為sn 若an sn n cn an 1 求證 數列 cn 是等比數列 證明 an sn n a1 s1 1 得又an 1 sn 1 n 1 2an 1 an 1 即2 an 1 1 an 1 又 數列 cn 是以為首項 以為公比的等比數列 等比數列的性質及應用 方法點睛 等比數列的常見性質 1 若m n p q 2k m n p q k n 則am an ap aq 2 通項公式的推廣 an am qn m m n n 3 若數列 an bn 項數相同 是等比數列 則 an an bn 0 仍然是等比數列 4 在等比數列 an 中 等距離取出若干項也構成一個等比數列 即an an k an 2k an 3k 為等比數列 公比為qk 5 公比不為 1的等比數列 an 的前n項和為sn 則sn s2n sn s3n s2n仍成等比數列 其公比為qn 當公比為 1時 sn s2n sn s3n s2n不一定構成等比數列 例3 1 已知各項均為正數的等比數列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 則a4 a5 a6 2 已知等比數列 an 滿足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 則log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 a n 2n 1 b n 1 2 c n2 d n 1 2 解題指南 1 利用a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比數列求解 2 根據a5 a2n 5 先求an 再代入求解 規范解答 1 選a a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9成等比數列 a4 a5 a6 2 a1 a2 a3 a7 a8 a9 50 又an 0 a4 a5 a6 2 選c a5 a2n 5 且an 0 an 2n a2n 1 22n 1 log2a2n 1 2n 1 log2a1 log2a3 log2a2n 1 1 3 5 2n 1 n2 互動探究 若本例第 1 題條件改為 a1 a2 a3 40 a4 a5 a6 20 求數列 an 的前9項之和 解析 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 成等比數列 a7 a8 a9 s9 40 20 10 70 反思 感悟 1 解答本例 1 時 也可用整體代入的方法求解 但不如用等比數列的性質簡單 2 利用等比數列的性質解決問題時 一定要注意每一項的下標 不要犯a2 a5 a7的錯誤 變式備選 在等比數列 an 中 an 0 若 2a4 a2 a6 a4 36 則a3 a5 解析 an 是等比數列 an 0 2a4 a2 a6 a4 a3 a5 6 答案 6 創新探究 等比數列與三角函數相結合的創新題 典例 2011 福建高考 已知等比數列 an 的公比q 3 前3項和 1 求數列 an 的通項公式 2 若函數f x asin 2x a 0 0 在處取得最大值 且最大值為a3 求函數f x 的解析式 解題指南 1 先求a1 再求an 2 先求出a3 從而a可知 再根據f x 的圖象過點求 規范解答 1 由q 3 解得 2 由 1 知an 3n 2 a3 3 函數f x 的最大值為3 所以a 3 當時 f x 取得最大值 又0 函數f x 的解析式為 閱卷人點撥 通過對本題的深入研究 我們可以得到以下創新點撥和備考建議 1 2011 遼寧高考 若等比數列 an 滿足anan 1 16n 則公比為 a 2 b 4 c 8 d 16 解析 選b 因為等比數列 an 滿足anan 1 16n 所以an 1an 2 16n 1 得q2 16 又因為anan 1 16n 0 所以q 4 2 2012 岳陽模擬 b2 ac是a b c成等比數列的 a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件 解析 選b 因為當b2 a