一次函數教學設計一、內容和內容解析1內容正比例函數的概念2內容解析一次函數是最基本的初等函數，是初中函數學習的重要內容，正比例函數是特殊的一次函數，也是初中學生接觸到的第一種函數，要通過對正比例函數內容的學習，為后續類比學習一般一次函數打好基礎，了解研究函數的基本套路和方法，積累研究一般一次函數乃至其他各種函數的基本經驗對正比例函數概念的學習，既要借助具體的函數進一步加深對函數概念的理解，即實際問題的兩個變量中，當一個變量變化時，另一個變量隨著它的變化而變化，而且對于這個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應，這是理解正比例函數的核心；也要加強對正比例函數基本特征的認識，即根據實際問題構建的函數模型中，函數和自變量每一對對應值的比值是一定的，等于比例系數，反映在函數解析式上，這些函數都是常數與自變量的積的形式，這是正比例函數的基本特征.本節課主要是通過對生活中大量實際問題的分析，寫出變量間的函數關系式，觀察比較概括出這些函數關系式具有的共同特征，根據共同特征抽象出正比例函數的基本模型，歸納得出正比例函數的概念，再用正比例函數的概念對具體函數進行辨析，對實際事例進行分析，根據已知條件寫出正比例函數的解析式.基于以上分析，確定本節課的教學重點：正比例函數的概念.二、目標和目標解析1.目標（1）經歷正比例函數概念的形成過程，理解正比例函數的概念；（2）能根據已知條件確定正比例函數的解析式，體會函數建模思想2.目標解析達成目標（1）的標志是：通過對實際問題的分析，知道自變量和對應函數成正比例的特征，能概括抽象出正比例函數的概念達成目標（2）的標志是：能根據實際問題中的已知條件確定變量間的正比例函數關系式，將實際問題抽象為函數模型，體會函數建模思想.三、教學問題診斷分析正比例函數是是初中學生接觸到的第一種初等函數，由于函數概念比較抽象，學生對函數基本概念理解未必深刻，在對實際問題進行分析過程中，需進一步強化對函數概念的理解：即實際問題的兩個變量中，當一個變量變化時，另一個變量隨著它的變化而變化，而且對于這個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應；對正比例函數概念的理解關鍵是對正比例函數基本特征的認識，要通過大量實例分析，寫出變量間的函數關系式，觀察比較發現這些函數具有的共同特征，即函數與自變量的每一對對應值的比值一定，都等于自變量前的常數，這些函數都是常數與自變量的積的形式，再根據共同特征抽象出正比例函數的基本模型，歸納得出正比例函數的概念對正比例函數基本特征的認識和正比例函數概念的抽象歸納過程學生有一定難度因此本節課的教學難點是：對正比例函數基本特征的認識和正比例函數概念的抽象歸納過程四、教學過程設計1.情境引入，初步感知引言上一節我們已經學習了關于函數的最基礎的知識，知道了變量與函數、函數的圖象及函數的三種表示方法，從這節課開始，我們將重點研究一種最基本的具體函數一次函數，本節課先研究特殊的一次函數正比例函數.問題1 2011年開始運營的京滬高速鐵路全長1 318km.設列車的平均速度為300km/h.考慮以下問題：（1）乘京滬高鐵列車，從始發站北京南站到終點站上海虹橋站，約需多少小時（結果保留小數點后一位）？（2）京滬高鐵列車的行程y（單位：km）與運行時間t（單位：h）之間有何數量關系？ （3）京滬高鐵列車從北京南站出發2.5h后，是否已經過了距始發站1 100km的南京南站？師生活動:教師引導學生分析問題中的數量關系，這是典型的行程問題，數量關系是學生熟悉的“路程=速度時間”設計意圖：讓學生真切感受數學與實際的聯系，即數學理論來源于實際又服務于實際幫助學生逐步提高將實際問題抽象為函數模型的能力，初步體會函數建模思想對問題（1）學生解答后可追問：在京滬高速鐵路上以平均速度300km/h運行的列車，其運行時間在什么范圍內？設計意圖：由于自變量t是列車運行時間，作為實際問題，自變量的取值是受限制的，應對其取值范圍作出說明對問題（2）的分析解答過程讓學生回答下列問題：追問1這個問題中兩個變量之間的對應關系是函數關系嗎？如果是，試說明理由設計意圖：讓學生感受量與量之間的函數關系，體會函數關系蘊涵在實際問題中，激發學生探究興趣對理由的說明學生可能有障礙，此時教師要引導學生回顧函數概念的學習過程，用函數的概念來回答：問題中的兩個變量，當其中的變量t變化時，另一個變量y隨著t的變化而變化，并且對于變量t的每一個確定的值，另一個變量y都有唯一確定的值與之對應追問2 請你寫出y與t之間的函數解析式，并分析解析式在結構上是什么形式？追問3 對于自變量t和函數y的每一對對應值，y與t的比值是多少？這個比值會發生變化嗎？師生活動: 追問2學生獨立完成寫出解析式，觀察解析式的結構形式后發表意見與同學交流；追問3分小組分別取不同的對應值，求出比值后先小組內統一意見，然后全班交流設計意圖：讓學生初步感知正比例函數解析式的結構形式為：左邊是表示函數的字母，右邊是常數（量）與自變量的積的形式正比例函數的基本特征是：對于自變量和函數的每一對對應值，函數值與自變量的比值是一定的，都等于自變量前的那個常數對問題（3）的分析解答后可追問：我們是怎樣確認列車是否已經過了南京南站的？師生活動:教師引導學生分析，根據函數解析式，求自變量t=2.5時的函數值，得出列車出發2.5小時的行程，再與兩站的實際距離比較，對實際問題的作出解答設計意圖：讓學生初步體會用函數建模思想解決實際問題的方法2.類比思考，概括共性問題2思考：下列問題中，變量之間的對應關系是函數關系嗎？如果是，請寫出函數解析式（1）圓的周長l隨半徑的變化而變化（2）鐵的密度為7.8g/cm3，鐵塊的質量m（單位：g）隨它的體積V（單位：cm3）的變化而變化（3）每個練習本的厚度為0.5cm，一些練習本摞在一起的總厚度h（單位：cm）隨練習本的個數n的變化而變化（4）冷凍一個0的物體，使它每分鐘下降2，物體的溫度T（單位：）隨冷凍時間（單位：min）的變化而變化師生活動：學生根據每個問題中蘊涵的數量關系和已知條件，運用函數建模思想獨立寫出每個問題中變量間的函數解析式設計意圖：讓學生再次感知實際問題中蘊涵的函數關系，體會并運用函數建模思想，提高將實際問題抽象為函數模型的能力追問：這些函數解析式有哪些共同特征？師生活動：引導學生類比問題1的分析方法，對4個解析式從結構形式上分析它們的共同特征，學生分組討論，教師參與討論并組織交流設計意圖：通過對實際問題抽象出的函數模型觀察比較，找出它們具有的共同特征，為歸納抽象正比例函數的概念作準備3.歸納抽象，建立概念問題3 你能否根據上面這些函數的共同特征歸納出這種函數的一般形式？一般形式中各字母的意義是什么？師生活動：教師引導學生歸納出這些函數的一般形式，即都可以寫成y=kx（k是常數，k0）的形式設計意圖：讓學生根據共同特征歸納抽象出正比例函數的一般形式，培養學生從具體問題中抽象出共同具有的本質屬性的能力知道一般形式中各字母的意義知道自變量系數的限制條件為k0追問1：函數y=kx（k是常數，k0）中，對于自變量x和函數y的每一組對應值，函數值與對應自變量的比值等于多少？這說明這兩個變量之間有怎樣的關系？設計意圖：強化學生對正比例函數基本特征的認識，知道正比例函數的兩個變量具有正比例關系，為給正比例函數下定義埋下伏筆追問2：如果給這樣的函數取一個名稱，你覺得應該叫什么函數比較合適？師生活動：師生共同歸納出正比例函數的概念一般地，形如y=kx（k是常數，k0）的函數，叫做正比例函數，其中k叫做比例系數設計意圖：引導學生根據函數解析式的形式和變量間具有的正比例關系，得出正比例函數的定義4辨析應用深化認知問題4 （1）請你舉出幾個y是x的正比例函數的解析式；（2）完成教科書第87頁練習1，補充問題：如果是，請指出比例系數是多少？（3）完成教科書第87頁練習2師生活動：教師提出問題，學生思考、討論后交流，教師予以激勵性評價設計意圖：引導學生根據概念辨析正比例函數，能夠從實際問題中根據已知條件抽象出函數模型并辨析是否是正比例函數5.反思小結（1）本節課我們學習了哪些知識？（2）正比例函數概念中對比例系數k有怎樣的限制條件？（3）學習正比例函數的概念經歷了怎樣的過程？6布置作業教科書第98頁習題19.2第1題（不畫函數圖象）補充習題：1.已知y是x的正比例函數，且當x=2時，y=8（1）寫出函數解析式；（2）當y=6時，求x的值.2.已知y是z的正比例函數，z是x的正比例函數，試說明y是x的正比例函數.五、目標檢測設計1. 下列函數中，表示y是x正比例函數的是（）.Ay =6x By =6（x1） Cy = Dy =6x2設計意圖：考查對正比例函數概念的理解2.下列變量之間關系中，一個變量是另一個變量的正比例函數的是（）.A圓的面積S隨半徑r的變化而變化 B正方形的周長C隨邊長a的變化而變化 C蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（單位：L）隨放水時間t（單位：min）的變化而變化 D面積為20的三角形的一邊a隨這邊上高h的變化而變化設計意圖：考查將實際問題抽象為函數模型的能力和對正比例函數概念的理解3. 已知函數y=（m2）xm24表示y是x的正比例函數，則m的值是 ，這個函數的解析式為 設計意圖：考查對正比例函數概念的理解4. 某大樓電梯從1層（地面）直達3層用了20s，若電梯運行是勻速的，則乘坐該電梯從2層直達8層所需時間為 設計意圖：考查運用正比例函數模型解決簡單實際問題的能力5. 已知蠟燭被燃燒的長度與燃燒時間成正比例，長為24cm的蠟燭，點燃6分鐘后，蠟燭變短3.6cm，設蠟燭點燃x分鐘后被燃燒的長度為ycm，請解答下列問題：（1）寫出y與x的函數關系式；（2）指出自變量的取值范圍；（3）當蠟燭燃燒的20分鐘后，蠟燭剩下的長度是多少？設計意圖：考查將實際問題抽象為函數模型并用正比例函數模型解決簡單實際問題的能力一次函數同步測試湖北省赤壁市教學研究室鄭新明一、精心選一選1. 下列函數中，表示y是x正比例函數的是（）.Ay =6x By =6（x1） Cy = Dy =6x2分析：根據正比例函數的意義：一般地，形如y=kx（k是常數，k0）的函數，叫做正比例函數故選A答案：A點評：本題主要考查對正比例函數概念的理解2. 下列正比例函數中，比例系數最小的是（）.Ay =x By =1.5x Cy =x Dy =2x分析：根據正比例函數的概念可知，4個正比例函數的比例系數分別為、1.5、和2，因為21.5，所以比例系數最小的是2故選D答案：D點評：本題主要考查對正比例函數概念中比例系數k的了解3.下列變量之間關系中，一個變量是另一個變量的正比例函數的是（）.A圓的面積S隨半徑r的變化而變化 B正方形的周長C隨邊長a的變化而變化 C蓄水10L的水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V（單位：L）隨放水時間t（單位：min）的變化而變化 D面積為20的三角形的一邊a隨這邊上高h的變化而變化分析：A問題的函數解析式為S=r2；B問題的函數解析式為C=4a；C問題的函數解析式為V=100.5t；D問題的函數解析式為a =由正比例函數的概念知應選B答案：B點評：本題主要考查將實際問題抽象為函數模型的能力和對正比例函數概念的理解二、細心填一填4. 已知函數y=（m2）xm24表示y是x的正比例函數，則m的值是 ，這個函數的解析式為 分析：根據正比例函數的意義，可知m24=0，且m20，解得m=2，比例系數k= m2=4，故函數解析式為y=4x答案：2，y=4x點評：本題主要考查對正比例函數概念的理解5. 郵購一種圖書，每冊定價20元，另加書價的5%的郵費，購書x冊,需付款y（元）與x的函數關系式為 ，如果是正比例函數，它的比例系數是 分析：根據實際問題蘊含的數量關系，可知y與x的函數關系式為y=20(15%)x，由正比例函數的概念可判斷出是正比例函數，其比例系數為20(15%)，化簡為21答案：y=20(15%)x或寫成y=21x，20(15%)或寫成21點評：本題主要考查根據已知條件確定函數解析式以及對正比例函數概念的理解6. 某大樓電梯從1層（地面）直達3層用了20s，若電梯運行是勻速的，則乘坐該電梯從2層直達8層所需時間為 分析：電梯運行時間y（單位：s）與電梯運行層數n成正比例關系，設y=kn已知當n=2時，y=20，由此可確定函數解析式為y=10n電梯從從2層直達8層實際運行了6層，即n=6，此時函數y=10n的值為y=106=60（s）答案：60s點評：本題主要考查運用正比例函數模型解決簡單實際問題的能力三、專心解一解7. 已知蠟燭被燃燒的長度與燃燒時間成正比例，長為24cm的蠟燭，點燃6分鐘后，蠟燭變短3.6cm，設蠟燭點燃x分鐘后被燃燒的長度為ycm，請解答下列問題：（1）寫出y與x的函數關系式；（2）指出自變量的取值范圍；（3）當蠟燭燃燒的20分鐘后，蠟燭剩下的長度是多少？分析：（1）由已知蠟燭被燃燒的長度與燃燒時間成正比例，可設y=kx，又因為已知x=6時，y=3.6，可確定y與x的函數關系式為y=0.6x（2）被燃燒最大長度為24cm，即y=24，由y=0.6x可求得x=40，自變量x的取值范圍為0x40（3）蠟燭燃燒的20分鐘，即x=20，由y=0.6x可求得y=12，蠟燭剩下的長度為2412=12答案：（1）y=0.6x；（2）0x40；（3）1