學習資料收集于網絡，僅供參考頓悟教育三年級數學培優訓練 第七講 數陣圖在神奇的數學王國中，有一類非常有趣的數學問題，它變化多端，引人入勝，奇妙無窮。它就是數陣，一座真正的數字迷宮，它對喜歡探究數字規律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研究它的變化，就連大數學家歐拉對它都有著濃厚的興趣。那么，到底什么是數陣呢？我們先觀察下面兩個圖：左上圖中有3個大圓，每個圓周上都有四個數字，有意思的是，每個圓周上的四個數字之和都等于13。右上圖就更有意思了，19九個數字被排成三行三列，每行的三個數字之和與每列的三個數字之和，以及每條對角線上的三個數字之和都等于15，不信你就算算。上面兩個圖就是數陣圖。準確地說，數陣圖是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數陣。要排出這樣巧妙的數陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個簡單的例子開始。例1 把15這五個數分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數之和與豎列三數之和都等于9。同學們可能會覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出復雜巧妙的數陣問題。分析與解：中間方格中的數很特殊，橫行的三個數有它，豎列的三個數也有它，我們把它叫做“重疊數”。也就是說，橫行的三個數之和加上豎列的三個數之和，只有重疊數被加了兩次，即重疊了一次，其余各數均被加了一次。因為橫行的三個數之和與豎列的三個數之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重疊數=9+9，重疊數=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重疊數求出來了，其余各數就好填了(見右上圖)。例2 把15這五個數填入下頁左上圖中的里(已填入5)，使兩條直線上的三個數之和相等。分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數”為5，而不知道兩條直線上的三個數之和都等于什么數。所以，必須先求出這個“和”。根據例1的分析知，兩條直線上的三個數相加，只有重疊數被加了兩遍，其余各數均被加了一遍，所以兩條直線上的三個數之和都等于(1+2+3+4+5)+52=10。因此，兩條直線上另兩個數(非“重疊數”)的和等于10-5=5。在剩下的四個數1， 2， 3， 4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上圖的填法。例3 把15這五個數填入右圖中的里，使每條直線上的三個數之和相等。分析與解：例1是知道每條直線上的三數之和，不知道重疊數；例2是知道重疊數，不知道兩條直線上的三個數之和；本例是這兩樣什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重疊數=每條直線上三數之和2，所以，每條直線上三數之和等于(15+重疊數)2。因為每條直線上的三數之和是整數，所以重疊數只可能是1，3或5。若“重疊數”=1，則兩條直線上三數之和為(15+1)2=8。填法見左下圖；若“重疊數”=3，則兩條直線上三數之和為(15+3)2=9。填法見下中圖；若“重疊數”=5，則兩條直線上三數之和為(15+5)2=10。填法見右下圖。由以上幾例看出，求出重疊數是解決數陣問題的關鍵。為了進一步學會掌握這種解題方法，我們再看兩例。例4 將17這七個自然數填入左下圖的七個內，使得每條邊上的三個數之和都等于10。分析與解：與例1類似，知道每條邊上的三數之和，但不知道重疊數。因為有3條邊，所以中間的重疊數重疊了兩次。于是得到(1+2+7)+重疊數2=103。由此得出重疊數為103-(1+2+7)2=1。剩下的六個數中，兩兩之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上圖的填法。如果把例4中“每條邊上的三個數之和都等于10”改為“每條邊上的三個數之和都相等”，其他不變，那么仿照例3，重疊數可能等于幾？怎樣填？例5 將 1020填入左下圖的內，其中15已填好，使得每條邊上的三個數字之和都相等。解：與例2類似，中間內的15是重疊數，并且重疊了四次，所以每條邊上的三個數字之和等于(10+11+20)+1545=45。剩下的十個數中，兩兩之和等于(45-15=)30的有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。于是得到右上圖的填法。例15都具有中心數是重疊數，并且每邊的數字之和都相等的性質，這樣的數陣圖稱為輻射型。例4的圖中有三條邊，每邊有三個數，稱為輻射型33圖；例5有五條邊每邊有三個數，稱為輻射型53圖。一般地，有m條邊，每邊有n個數的形如下圖的圖形稱為輻射型mn圖。輻射型數陣圖只有一個重疊數，重疊次數是“直線條數”-1，即m-1。對于輻射型數陣圖，有：已知各數之和+重疊數重疊次數=直線上各數之和直線條數。由此得到：(1)若已知每條直線上各數之和，則重疊數等于(直線上各數之和直線條數-已知各數之和)重疊次數。如例1、例4。(2)若已知重疊數，則直線上各數之和等于(已知各數之和+重疊數重疊次數)直線條數。如例2、例5。(3)若重疊數與每條直線上的各數之和都不知道，則要從重疊數的可能取值分析討論，如例3。練習與思考1.將17這七個數分別填入左下圖中的里，使每條直線上的三個數之和都等于12。如果每條直線上的三個數之和等于10，那么又該如何填？2.將19這九個數分別填入右上圖中的里(其中9已填好)，使每條直線上的三個數之和都相等。如果中心數是5，那么又該如何填？（6）、（ ）那么（ ），那么（ ）。3.將19這九個數分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個數之和相等。(至少找出兩種本質上不同的填法)女 女字旁（好 媽 奶） 心 心字底（想 思 念）4.將39這七個數分別填入左下圖的里，使每條直線上的三個數之和等于20。ABAC式的詞語5.將111這十一個數分別填入右上圖的里，使每條直線上的三個數之和相等，并且盡可能大。人字頭：全、會、合 高興高高興興 大小大大小小 多少多多少少6.將17這七個數分別填入下圖的里，使得每條直線上三個數之和與每個圓圈上的三個數之和都相等。言字旁：認、語、