教學論文關于比較一次函數的函數值與二次函數的函數值大小之我見多力昆阿布都熱西提2014.6.3關于比較一次函數的函數值與二次函數的函數值大小之我見 多力昆阿布都熱西提在初中數學中，一次函數的圖像和二次函數的圖像的復雜的和潛在的概念現象大部分的師生分析問題陷入困惑。數學教師對這一點的忽略引起了學生對這個內容的探究精神的欠缺。數學沒有明確概念，解決問題一定會受阻，如果概念里模糊，問題與學過知識之間的技術處理一定會失敗。我認為，一次函數的圖像與二次函數的圖像之間的函數值的大小問題應該分層次分析。下面，我來分析二次函數的圖像與一次函數的圖像之間存在的模糊問題的看法。1、在同一個平面直角坐標中，二次函數y= ax+bx+c和一次函數y=ax+b的函數值的大小問題 （1）判斷二次函數的圖像與一次函數的圖像的關系，如果二次函數y= ax+bx+c的圖像與一次函數的圖像相交，則函數值相等， 即y= y。由上可得：ax+bx+c=ax+b。整理得：ax+（b-a）x+c-b=0。檢驗：=b4ac=(ba) 4a(cb)第一：當 0時，二次函數的圖像與一次函數相交于不同的兩個點。設交點的坐標為（x，y），（x，y），在y= ax+bx+c中，當a0（x x）時，xx y，當x x或x x時，y y（圖1）在y= ax+bx+c中，當a0（x x）時，xx y。當x x或x y。（圖2）yx=x2xx=x1Y2=ax+bY1=ax2+bx+cyOx=x2xx=x1Y2=ax+bY1=ax2+bx+c 圖1 圖2 在圖1中，在直線x= x與直線x= x之間，一次函數的圖像在二次函數的上方，即，y y在直線x= x的右邊與直線x= x的右邊，一次函數的圖像在二次函數的下方，即y y。在圖2，在直線x= x之間，二次函數的圖像在一次函數的圖像，即：y y。在直線x= x的左邊與直線x= x的右邊，一次函數的圖像在二次函數的圖像上方，即y y。第二，當 =0時，一次函數的圖像與二次函數的圖像有一個交點，此時，設交點的坐標為（x，y），在y=ax+bx+c，當a0時，在x= x的條件下，y y，（圖3）。在x x的條件下，y y，（圖4）。在y= ax+bx+c，當a y。yOx=x2xx=x0Y2=ax+bY1=ax2+bx+cyOx=x2xx=x0Y2=ax+bY1=ax2+bx+c 圖3 圖4 在圖3，直線x= x經過二次函數的圖像與一次函數的圖像的交點，即 y= y。 當x x時，一次函數的圖像在二次函數的圖像的下方。在圖4，直線x= x經過一次函數的圖像與二次函數圖像的交點，即y= y。當x x時，一次函數的圖像在二次函數圖像上的上方。 第三：=0時，二次函數的圖像與一次函數的圖像沒有交點。yOx=x2xx=x0Y2=ax+bY1=ax2+bx+cyOx=x2xx=x0Y2=ax+bY1=ax2+bx+c此時，當a0，y y（圖5） 當a0，y y。在圖6，當x= x時，都y y。2、判斷一次函數y=ax+b，（y=b）與二次函數y= ax+bx+c的關系。這種特殊情況下判斷一次函數的圖像與二次函數的圖像位置關系，跟第一步驟一樣，如下圖：yOx=x2xx=x1Y2= bY1=ax2+bx+cyOx=x2xx=x1Y2= bY1=ax2+bx+cyOx=x0xx=x1Y2= bY1=ax2+bx+c圖7yOxx=x0Y2= bY1=ax2+bx+c圖8 yOx=x0xx=x1Y2= bY1=ax2+bx+cyOxx=x0Y2= bY1=ax2+bx+c 圖9 在圖7中，y與y的大小跟圖1，圖2一樣。 在圖8中，y與y的大小跟圖3，圖4一樣。 在圖9中，y與y的大小跟圖5，圖6一樣。3、大部分的問題中，求一次函數的函數值與二次函數的函數值的大小，遇到圖標，學生容易不感到之中問題。比如：（列）如果二次函數y= x+bx的圖像對稱軸經過點（2,0）且平行于y軸，則求關于x的方程x+bx=5的跟？ 在這個問題中，學生一看“對稱軸” “方程的跟”的概念就隱如困惑了。 分析：方法1；y= x+bx的對稱軸x=2，所以由x=- =2得b=-4. 把b=-4代入x+bx=5，容得一元二次方程，就可以解方程。 方法2：由兩個函數的圖像相交，它得的函數值相等。所以把x+bx=5可以寫成y= x+bx與y=5.把他們用函數觀點來可以解