第36講橢圓 主要內容 一 聚焦重點橢圓的標準方程 橢圓的幾何性質 二 廓清疑點橢圓的基本量 三 破解難點橢圓中的最值問題 聚焦重點 橢圓的標準方程 基礎知識 2 方程形式 中間連接符號為 右邊常數為1 哪個變量下的數大 焦點就在哪個軸上 問題研究 如何求橢圓的標準方程 經典例題1 思路分析 考慮不全 思路分析 錯誤 求解過程 求解過程 思路分析 思路一 所求橢圓的焦點坐標為 4 0 思路二 思路分析 又已知橢圓的兩焦點為 f1 4 0 f2 4 0 則 思路三 2a表示橢圓上的點到兩個焦點的距離的和 思路分析 求解過程 以思路一為例 回顧反思 1 思想方法 方程思想 回到定義去 2 思維誤區 不考慮焦點位置 混淆長 短 軸長與長 短 半軸長 3 思維定勢 直接交換a與b的值 先定焦 再定量 聚焦重點 橢圓的幾何性質 基礎知識 y 關于x軸 y軸 原點對稱 a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b a1 0 a a2 0 a b1 b 0 b2 b 0 扁圓程度 問題研究 怎樣研究橢圓幾何意義 經典例題2 思路分析 思路一 pf1f2是直角三角形 pf1 pf2 怎樣求pf1 pf2 pf1 pf2 18 這種情況不存在 變量x y的范圍 3 思維定勢 思路分析 思路二設p x0 y0 欲求p到x軸的距離 只需求出p點的坐標即可 先研究pf1 pf2 思路分析 求解過程 求解過程 回顧反思 1 思想方法 數形結合 分類討論 整體思想 2 解題策略 代數特征 幾何特征 3 思維誤區 情況考慮不全 忽視橢圓中變量x y的范圍 廓清疑點 橢圓的基本量 基礎知識 問題研究 怎樣求橢圓的離心率的范圍 經典例題3 思路分析 如何表示條件f1m f2m 思路一f1m2 f2m2 2c 2 欲求離心率的范圍 則需要列出一個關于e的不等式 還有其他表示方法嗎 實質就是m在以f1f2為直徑的圓上 思路分析 有怎樣的不等關系 橢圓上點的坐標的范圍 a x0 a b y0 b 思路分析 思路二 要是f1m f2m 就必須點m在以f1f2為直徑的圓上 即以f1f2為直徑的圓與橢圓相交 其交點即點m c b 需說明理由 你能估算出e的大致范圍 思路分析 思路三f1m2 f2m2 2c 2 聯想橢圓的定義 f1m f2m 2a 能否構造關于a c的不等式 利用基本不等式 2c2 a2 思考 若m是橢圓上一動點 何時f1m f2m取得最大值 設mf1 r 則mf1 mf2 r 2a r r a 2 r2 r2 求解過程 以思路二為例 求解過程 回顧反思 思維誤區過分依賴圖形 缺乏必要的理由 解題策略目標引領 回歸定義 數學思想轉化思想 整體思想 破解難點 橢圓中的最值問題 問題研究 如何破解橢圓中的最值問題 經典例題4 思路分析 思路一何時橢圓的長軸長最短 直線l與橢圓相切時 長軸長最短 原點到直線l的距離等于長半軸長a 沒有理由 何時直線l與橢圓相切 思路分析 圖譯 需說明理由 思路分析 思路三設m x x 9 m點的坐標適合橢圓的方程 求出a關于x的函數式 求其最值即可 直譯 運算量大 a2 9 x2 a2 x 9 2 a2 a2 9 思路分析 思路四根據橢圓的定義 要使長軸最短 即需mf1 mf2最小 設m x x 9 橢圓焦點坐標為 3 0 困難 思路分析 x y o f1 f2 思路五 直線l同側有兩點f1 f2 在直線l上找一點m 使得mf1 mf2最小 一個熟悉的問題 求解過程 解設f1關于直線l的對稱點p x y 即p 9 6 2a 顯然 當p m f2三點共線時 mf1 mf2 mp mf2 pf2最小 即長軸最短 此時 橢圓的方程為 則 解之得 直線pf2 x 2y 3 0與直線l x y 9 0的交點 5 4 即點m 垂直平分 回顧反思 解題策略橢圓的定義特征 代數特征 幾何特征 轉化途徑直譯圖譯熟悉化 方法比較思路一 推理錯誤 思路二 過于依賴圖形 理由不充分 思路三 四 直接翻譯 思路易得 適用范圍廣 計算較繁 思路五 化歸為一個熟悉問題 思維強度大 運算量相對較小 總結提煉 知識與內容 一 聚焦重點橢圓的標準方程 橢圓的幾何性質 二 廓清疑點橢圓的基本量 三 破解難點橢圓中的最值問題 總結提煉 思想與方法 2 數形結合 3 整體思想 1 方程思想 4 待定系數法 5