八年級數學專項訓練一次函數一次函數綜合應用試題（精品）精選與解析【例1】如圖所示，在矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC，CD，DA運動至點A停止，設點P運動的路程為x，ABP的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖8所示，那么ABC的面積是 【解題思路】動點P從點B運動到C時，ABP的面積逐漸變大，運動到C點時，ABP的面積最大；當P點在線段CD上運動時，ABP的面積保持不變；當P點在線段DA上運動時，ABP的面積逐漸變小據此規律由圖7和圖8可知，當動點P運動到C點時，x=4，即BC=4；當動點P運動到D點時，x=9，即BC+CD=9，所以CD=AB=5SABC=10【答案】10【例2】. 為發展旅游經濟，我市某景區對門票采用靈活的售票方法吸引游客門票定價為50元/人，非節假日打a折售票，節假日按團隊人數分段定價售票，即m人以下（含m人）的團隊按原價售票；超過m人的團隊，其中m人仍按原價售票，超過m人部分的游客打b折售票設某旅游團人數為x人，非節假日購票款為y1（元），節假日購票款為y2（元）y1，y2與x之間的函數圖象如圖8所示圖8（1）觀察圖象可知：a_；b_；m_；（2）直接寫出y1，y2與x之間的函數關系式；（3）某旅行社導游王娜于5月1日帶A團，5月20日（非節假日）帶B團都到該景區旅游，共付門票款1900元，A，B兩個團隊合計50人，求A，B兩個團隊各有多少人？【解題思路】（1）觀察圖象，y1中x10時，y1300，結合“非節假日打a折銷售”可列一元一次方程求a；觀察y2的圖象是一條折線，其“拐點”的橫坐標即為m值；根據y2中x20時，y2900，可列方程求b（2）可根據（1）中答案及文字題意直接求解，也可根據圖象用待定系數法求解（3）由于A團人數不確定，且是節假日組團旅游，導致票價需分情況討論確定【答案】（1）a6；b8；m10；（2）y1=30xy2（3）設A團有n人，則B團有（50n）人當0n10時，50n30(50n)1900解之，得n20，這與n10矛盾當n10時，40n10030(50n)1900解之，得n30503020答：A團有30人，B團有20人【點評】本題以圖象提供數據信息，形式新穎靈巧，綜合考查了一次函數和方程知識，體現了數形結合及分類討論的數學思想問題設置由易到難，將填空題型與解答題型有機地融合在一起，可以有效地為學生創造充分思考的空間，這種題型值得關注整題三問均需分類討論，由此將一次函數和方程綜合應用題的難度推上一定的高度，具有較好的選拔功能難度較大【例3】今年我省干旱災情嚴重，甲地急需要抗旱用水15萬噸，乙地13萬噸現有A、B兩水庫各調出14萬噸水支援甲、乙兩地抗旱從A地到甲地50千米，到乙地30千米；從B地到甲地60千米，到乙地45千米設從A水庫調往甲地的水量為x萬噸，完成下表調出地水量/萬噸調入地甲乙總計Ax14B14總計151328請設計一個調運方案，使水的調運量盡可能小（調運量=調運水的重量調運的距離，單位：萬噸千米）【思路分析】（1）根據由A到甲和乙的綜和是14噸，即可表示出由A到乙是14-x噸，再根據到甲的總和是15噸，即可表示；（2）首先用x表示出調運量的和，根據一次函數的性質，即可確定x的值，進而確定方案【答案】（從左至右，從上至下）14x 15x x1y=50x+（14x）30+60（15x）+（x1）45=5x+1275解不等式1x14所以x=1時y取得最小值ymin=1280【點評】本題主要考查了一次函數的應用，正確把調運量表示成x的函數是解題的關鍵難度中等.【例4】某工廠在生產過程中要消耗大量電能，消耗每千度電產生利潤與電價是一次函數關系，經過測算，工廠每千度電產生利潤y(元/千度)與電價x(元/千度)的函數圖象如圖：（1）當電價為600元千度時，工廠消耗每千度電產生利潤是多少？（2）為了實現節能減排目標，有關部門規定，該廠電價x(元/千度)與每天用電量m(千度)的函數關系為x=10m+500，且該工廠每天用電量不超過60千度，為了獲得最大利潤，工廠每天應安排使用多少度電？工廠每天消耗電產生利潤最大是多少元？【解題思路】由函數圖象上的兩個點很容易用代定系數法求出一次函數關系式，利用二次函數的性質求最值。【答案】解：（1）工廠每千度電產生利潤y(元/千度)與電價(元/千度)的函數解析式為：該函數圖象過點，解得 當電價x=600元/千度時，該工廠消耗每千度電產生利潤（元/千度）（3）設工廠每天消耗電產生利潤為w元，由題意得：化簡配方，得：由題意，當時，即當工廠每天消耗50千度電時，工廠每天消耗電產生利潤為5000元。【點評】試題充分體現了函數知識在生活中的廣泛應用，用函數知識可以解決生活中的很多問題。【例5】如圖1，某容器由A、B、C三個長方體組成，其中A、B、C的底面積分別為25cm2、10cm2、5cm2，C的容積是容器容積的（容器各面的厚度忽略不計）現以速度v（單位：cm3/s）均勻地向容器注水，直至注滿為止圖2是注水全過程中容器的水面高度h（單位：cm）與注水時間t（單位：s）的函數圖象在注水過程中，注滿A所用時間為_s，再注滿B又用了_s；Ot/sh/cm101812圖2求A的高度hA及注水的速度v；求注滿容器所需時間及容器的高度圖1ABC【解題思路】（1）直接從圖中觀察就可以得到答案；（2）水的流速是固定不變的，所以流入水的比值就是他們的容積之比；（3）因為C的容積是容器容積的，所以A、B的容積就是容器容積的，可以算出注滿容器所需時間，再根據（2）的思路求出B、C容器的高度即可【答案】（1）10s，8s（2）根據題意可知：，解得，經檢驗是原方程的根。，（3）C的容積是容器容積的，A、B的容積就是容器容積的，注滿A、B需18s，注滿容器所需時間為注滿容器C用24-18=6s，容器的高度=【點評】解決本題的關鍵是在圖形中得到相應的數據，進行相關計算，難點是如何找等量關系，易錯點是忽略驗根。難度中等【例6】ABCOxy如圖，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（0，2）、（1，0）、（4，0）P是線段OC上的一動點（點P與點O、C不重合），過點P的直線xt與AC相交于點Q設四邊形ABPQ關于直線xt的對稱的圖形與QPC重疊部分的面積為S點B關于直線xt的對稱點B的坐標為_；求S與t的函數關系式【解題思路】(1)對稱點連線被對稱軸垂直平分，可以求B的坐標；（2）因為點P的位置不同導致點B的對稱點B的位置不同，可能在線段OC上，也可能在線段OC的延長線上，如圖a和圖b，重合部分分別是四邊形和三角形，圖a先求AC的解析式和AB的解析式，求出點M的縱坐標，然后用QPC的面積減去BMC的面積；圖b，直接求QPC的面積即可QQPP【答案】（1）B（2t+1,0）（2）當t=1.5是點B關于x=t的對稱點B與點C重合當0t1.5時（如圖a）設AC的解析式為y=kx+b，依題可知解得所以， 當x=t時，QP=由對稱性可知A(2t，2)，B（2t+1,0）設AB的解析式為y=kx+b，代入得解得，所以由可知，所以當時（如圖b）重合部分的面積【點評】本題是一次函數、二次函數結合的綜合題，偏重于一次函數，兩次求一次函數的解析式，兩次求交點坐標，多次解二元一次方程組，計算量比較大，加上分情況討論點B的位置，導致此題難度較大，不容易做完【例7】某學校的復印任務原來由甲復印社承接，其收費y（元）與復印頁數x（頁）的關系如下表：x(頁)1002004001000y(元)4080160400（1） 若y與x滿足初中學過的某一函數關系，求函數的解析式；（2） 現在乙復印社表示：若學校先按每月付給200元的承包費，則可按每頁0.15元收費。則乙復印社每月收費y（元）與復印頁數x（頁）的函數關系為 ；（3） 在給出的坐標系內畫出（1）、（2）中的函數圖象，并回答每月復印頁數在1200左右應選擇哪個復印社？【解題思路】：根據圖表信息，利用待定系數法確定一次函數的解析式，并根據列表、描點、連線，畫出兩個一次函數的圖象，求出交點坐標，由函數圖象性質作出判斷。【答案】解：（1）由圖表信息可得：y=0.4x,（2）y=200+0.15x，（3）畫圖略；當0.4x=200+0.15x時，解得：x=800,每月復印頁數在1200左右,故應選擇乙復印社便宜。【點評】這是一道一次函數的應用問題，待定系數法確定函數解析式、畫函數圖象、利用函數圖象作出方案設計都是中考的熱點。本題難度中等。【例8】小明從家騎自行車出發，沿一條直路到相距2400m的郵局辦事，小明出發的同時，他的爸爸以96m/min速度從郵局同一條道路步行回家，小明在郵局停留2min后沿原路以原速返回，設他們出發后經過t min時，小明與家之間的距離為s1 m，小明爸爸與家之間的距離為s2 m，圖中折線OABD、線段EF分別表示s1、s2與t之間的函數關系的圖象。（1）求s2與t之間的函數關系式；（2）小明從家出發，經過多長時間在返回途中追上爸爸？這時他們距離家還有多遠？s(m)AODCBt(min)24001012F(第25題圖)【解題思路】（1）根據題意很容易判定S2是一條線段；（2）只要求出C點的坐標即可，為此先要求出線段BD的解析式。【答案】解：（1）易求S2=2400-96t（0t25）（2）小明速度=(m/min)，所以小明在回家時的圖象BD的解析式為：S1=2400-240（t-12）=2400+2880-240t=-240t+5280將兩個函數聯立成方程組得： 解之得答：20min追上，距離家還有480m。【點評】本題考查學生從文字和圖象中獲取信息，分析有關的數量關系，將實際問題轉化為一次函數和方程（組）的數學模型解決問題的能力。解這類問題的關鍵是理解橫縱坐標表示的意義、明確哪條圖象表示小明，哪條圖象表示小明爸爸。先把每個圖象單獨分析，再綜合在一起進行分析，抓住兩個圖象之間的內在聯系，求出結果。在求函數解析式的時候，除了應用待定系數法外，還可以根據實際情景、實際意義來求。【例9】某商店以6元/千克的價格購進某種干果1140千克，并對其進行篩選分成甲級干果與乙級干果后同時開始銷售。這批干果銷售結束后，店主從銷售統計中發出：甲級干果與乙級干果在銷售過程中每天都有銷量，且在同一天賣完；甲級干果從開始銷售至銷售的第x天的總銷量y1（千克）與的關系為y1=-x2+40x；乙級干果從開始銷售至銷售的第t天的總銷量y2（千克）與的關系為y2=at2+bt，且乙級干果的前三天的銷售量的情況見下表：123y2214469求、的值；若甲級干果與乙級干果分別以8元/千克的6元/千克的零售價出售，則賣完這批干果獲得的毛利潤是多少元？問從第幾天起乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6千克？（說明：毛利潤=銷售總金額-進貨總金額。這批干果進貨至賣完的過程中的損耗忽略不計）【解題思路】（1）把t=1時y2=21，t=2時y2=44代入y2=at2+bt，可確定a、b的值；（2）要計算毛利潤可先根據在同一天賣完求出x，再求出甲級干果和乙級干果的銷售數量；（3）可根據乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6千克建立不等式求x得值。【解答】（1）把t=1時y2=21，t=2時y2=44代入y2=at2+bt，得，解得，y2=t2+20t；（2）根據題意，(-x2+40x)+(x2+20x)=1140,解得x=19，y1=399,y2=741,毛利潤=399（8-6）+741（6-6）=798（元）。（3）根據題意得，(x2+20x)- (-x2+40x)6，解得x10.28，從第11天起乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6千克.點評：確定函數解析式一般采用待定系數法，本題還運用了方程的思想和建立不等式的方法解決數學問題，這些方法值得同學們借鑒。【例10】因長期干旱，甲水庫蓄水量降到了正常水位的最低值為灌溉需要，由乙水庫向甲水庫勻速供水，20h后，甲水庫打開一個排灌閘為農田勻速灌溉，又經過20h，甲水庫打開另一個排灌閘同時灌溉，再經過40h，乙水庫停止供水甲水庫每個排泄閘的灌溉速度相同，圖中的折線表示甲水庫蓄水量Q (萬m3) 與時間t (h) 之間的函數關系求：（1）線段BC的函數表達式；（2）乙水庫供水速度和甲水庫一個排灌閘的灌溉速度；（3）乙水庫停止供水后，經過多長時間甲水庫蓄水量又降到了正常水位的最低值？t (h)Q (萬m3)ABCD804020Oa400500600【解題思路】由B、C點的坐標，可以求出線段BC的函數表達式；由折線圖知，乙水庫的供水20小時，同時甲水庫開一個排灌閘放水20小時，甲水庫蓄水量上升100萬m3，乙水庫的供水40小時，同時甲水庫開兩個排灌閘放水40小時，甲水庫蓄水量下降200萬m3，故可以列出方程組求供水速度和灌溉速度。【答案】解：（1）設線段BC的函數表達式為Qkxb B，C兩點的坐標分別為 (20,500) ，B的坐標 (40,600) 50020 kb，60040 kb，解得，k5，b400 線段BC的函數表達式為Q5x400（20t40）（2）設乙水庫的供水速度為x萬m3/ h，甲水庫一個排灌閘的灌溉速度為y萬m3/ h 由題意得， 解得，答：乙水庫的供水速度為15萬m3/ h，甲水庫一個排灌閘的灌溉速度為10萬m3/ h （3）因為正常水位最低值為a5001520200（萬m3/ h），所以（400200）（210）10（h）答：經過10 h甲水庫蓄水量又降到了正常水位的最低值【點評】本題考查了讀圖和分析圖中信息的能力，對于（1），要求會用待定系數法求出一次函數的解析式，這是一個分段函數，要注意其取值范圍；對于（2），根據甲水庫蓄水量，利用方程組可以求出供水速度和灌溉速度；是對建立方程組模型解決問題能力的一個考察。難度中等。【例11】某通訊公司推出、兩種通訊收費方式供用戶選擇，其中一種有月租費，另一種無月租費，且兩種收費方式的通訊時間x（分鐘）與收費y（元）之間的函數關系如圖所示 （1）有月租費的收費方式是 （填或），月租費是 元；（2）分別求出、兩種收費方式中y與自變量x之間的函數關系式；（3）請你根據用戶通訊時間的多少，給出經濟實惠的選擇建議（第11題）【解題思路】由題意聯系已知函數圖象可知，y1、y2均為x的一次函數，y有是一個一次函數y無是一個正比例函數，設出解析式，代入點的坐標即可求出解析式，并解決問題【答案】解：（1）；30； （2）設y有k1x30，y無k2x，由題意得，解得故所求的解析式為y有0.1x30； y無0.2x （3）由y有y無，得0.2x0.1x30，解得x300；當x300時，y60 故由圖可知當通話時間在300分鐘內，選擇通話方式實惠；當通話時間超過300分鐘時，選擇通話方式實惠；當通話時間在300分鐘時，選擇通話方式、一樣實惠【點評】本題主要考查了確定一次函數的解析式，并解決問題一次函數圖象的識圖以及從圖象中獲取相關信息是學習函數必備的一種基本能力中考中對于此類問題的考查也是從未間斷，常考常新只有綜合掌握函數的相關知識，并能融會貫通，才能較為容易的解決問題本題屬于一次函數綜合問題，難度偏高，區分度高【例12】如圖1是甲、乙兩個圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上），現將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個水槽中水的深度y（厘米）與注水時間x（分鐘）之間的關系如圖2所示，根據圖象提供的信息，解答下列問題：（1）圖2中折線ABC表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系，線段DE表示 槽中水的深度與注水時間之間的關系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點B的縱坐標表示的實際意義是：_ _ ;（2）注水多長時間時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計），求乙槽中鐵塊的體積；（4）若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（厚壁不計）（直接寫出結果）【解題思路】（1）由題意可知甲槽水位越來越低，乙槽中水位越來越高，但因為乙槽中有鐵故，故水位上升速度由快到慢，所以可判斷折線ABC表示乙槽水位與注水時間的關系，線段DE表示甲槽中水位與注水時間的關系（2）由圖2可知，要求甲、乙水槽中水的深度相同時的注水時間只需把線段DE與線段AB的交點求出即可（3）由圖2可知，乙槽中鐵塊的高度為14cm；DE：當x=4時，y=4，即前4分鐘甲槽已倒出8 cm 深的水到乙槽，也說是說在乙槽中前4分鐘注入水的體積（AB段）是后2分鐘（BC段）注入水的體積的2倍（4）因為乙槽中鐵塊的體積是112立方厘米，鐵塊的高度為14cm，故可求出鐵塊的底面積為8cm2由（3）可知乙槽中前4分鐘和后2分鐘注入水的體積是2：1，設甲槽的底面積為S，則甲槽中有12S立方厘米的水，故乙槽中前4分鐘注水8S，后2分鐘注水4S由題意可列方程：，可解得S=60cm3【答案】（1）乙，甲，鐵塊的高度為14cm（或乙槽中水的深度達到14cm時剛好淹沒鐵塊，說出大意即可）（2）設線段DE的函數關系式為y=k1x+b1，則，DE的函數關系式為：y=2x+12設線段AB的函數關系式為y=k1x+b1，則，AB的函數關系式為：y=3x+2由題意可得，解得注水2分鐘時，甲、乙兩個水槽中水的深度相同（3）水由甲槽勻速注入乙槽，乙槽前4分鐘注入水的體積是后2分鐘的2倍設乙槽底面積與鐵塊底面積之差為S，則（142）S=236（1914），解得S=30cm2鐵塊底面積為3630=6 cm2鐵塊的體積為614=84cm3