第九章習題1.設有一個碼，它有三個碼字，分別為（001010）、（111100）、（010001）。若此碼用于檢錯，能檢出幾位錯？若用于糾錯，能糾正幾位錯誤？若此碼同時用于糾錯和檢錯，各能糾、檢幾位錯誤？ 解：由題意可知最小碼間距離=4，最小碼間距離決定了碼的糾錯、檢錯能力當用于檢錯時有，因此可得 故最多可以檢測3個錯誤當用于糾錯時， 因此可得，故最多可以糾正一個錯誤當同時用于糾錯、檢錯時因此最多可同時進行2個檢錯和1個糾錯。2.已知（7，3）線性分組碼的生成矩陣為求：（1） 所有的碼字（2） 監督矩陣H（3） 最小碼距及糾錯、檢錯能力（4） 編碼效率解：依題意設M為碼元信息矩陣，則對應的碼字為A=MG因此全部的碼字為：0000000 10001110011101 10110100101110 11010010110011 1110100（2）由生成矩陣可知矩陣 因此(3)由（1）中得到的所有碼字可知最小碼距為=4當用于檢錯時有，因此可得 故最多可以檢測3個錯誤當用于糾錯時， 因此可得，故最多可以糾正一個錯誤當同時用于糾錯、檢錯時因此最多可同時進行2個檢錯和1個糾錯。（5） 編碼效率為：。3. 對（7,1）重復碼，求（1）全部碼字（2）最小碼距（3）用于糾錯，最多能糾幾位錯（4）用于檢錯，最多能檢幾位錯解：重復碼是一種簡單的線性分組碼，長度為n的重復碼字中只有1位信息碼元，其余n-1為是監督碼元，而且監督碼元與信息碼元相同，所以（n，1）重復碼只有2個碼字，一個為全0碼字，另一個為全1碼字。（1） 因此（7，1）重復碼的所有碼字為（0000000）和（1111111）（2） 最小碼距為=7（3） 用于糾錯時得，因此最多可以糾正3位錯誤（4）當用于檢錯時有，因此可得 故最多可以檢測6個錯誤4.已知（7，3）分組碼的監督關系為 求其監督矩陣H、生成矩陣G、全部系統碼字、糾錯能力及編碼效率解：已知分組碼的監督關系，因此可以寫出下面的監督矩陣H (1) 設碼元信息矩陣為M當M(000)時A=MG=(0000000)當M(001)時A=MG(0011101)根據上述的方法可以得出全部的碼字為:0000000 10011110011101 10100100100110 11010010111011 1110100通過上面的得到的所有碼字可知出現1的最少個數為3，因此最小碼距為=3用于糾錯時得，因此最多可以糾正1位錯誤編碼效率為：。5.漢明碼的監督矩陣為 (1) 求碼長n和碼字中的信息位數k(2) 求編碼效率(3) 求生成矩陣G(4) 若信息為全為1，求監督碼元(5) 檢驗0100110和0000011是否為碼字，若有錯，請指出錯誤并加以糾正。解（1） 由于（n，k）線性分組碼的監督矩陣是一個k行n列的矩陣，給定的監督矩陣是一個r行n列的矩陣，因此碼長n=7，信息位數k=4（2） 編碼效率（3）(4)若信息碼元為全1即M(1111)時A=MG=(1111111),在碼字中的前三位表示信息位，后三位為碼元監督為，因此信息碼元全為1時其監督碼元為111（5）先假設某一位發生了錯，得錯誤圖樣E利用(B為接收到的信息)的關系建立一個伴隨式，此伴隨式就為中的某一行 即因此接受到的信息是碼字。S