1 Data Models 若若若若s 100 則最優決則最優決則最優決則最優決 策為策為策為策為X 0 即不生產該產品即不生產該產品即不生產該產品即不生產該產品 注意注意注意注意 在實際問題中在實際問題中在實際問題中在實際問題中 假如還需要考慮生產條件約束或資源假如還需要考慮生產條件約束或資源假如還需要考慮生產條件約束或資源假如還需要考慮生產條件約束或資源 約束約束約束約束 以上模型還需要進一步修正以上模型還需要進一步修正以上模型還需要進一步修正以上模型還需要進一步修正 此外此外此外此外 邊際收益或單位邊際收益或單位邊際收益或單位邊際收益或單位 生產成本隨著產量生產成本隨著產量生產成本隨著產量生產成本隨著產量X的不同還可能變化等等的不同還可能變化等等的不同還可能變化等等的不同還可能變化等等 需要進一步需要進一步需要進一步需要進一步 完善數學模型直到檢驗合格為止完善數學模型直到檢驗合格為止完善數學模型直到檢驗合格為止完善數學模型直到檢驗合格為止 線性規劃線性規劃線性規劃線性規劃 Linear Programming LP 是是是是 數學規劃的一個分支數學規劃的一個分支數學規劃的一個分支數學規劃的一個分支 數學規劃著重解決資源的優數學規劃著重解決資源的優數學規劃著重解決資源的優數學規劃著重解決資源的優 化配置化配置化配置化配置 一般可以表達成以下兩個問題中的一個一般可以表達成以下兩個問題中的一個一般可以表達成以下兩個問題中的一個一般可以表達成以下兩個問題中的一個 1 當資源給定時當資源給定時當資源給定時當資源給定時 要求完成的任務最多要求完成的任務最多要求完成的任務最多要求完成的任務最多 2 當任務給定時當任務給定時當任務給定時當任務給定時 要求為完成任務所消耗的資源要求為完成任務所消耗的資源要求為完成任務所消耗的資源要求為完成任務所消耗的資源 最少最少最少最少 若上述問題的目標若上述問題的目標若上述問題的目標若上述問題的目標 約束都能表達成變量的線性約束都能表達成變量的線性約束都能表達成變量的線性約束都能表達成變量的線性 關系關系關系關系 則這類優化問題稱則這類優化問題稱則這類優化問題稱則這類優化問題稱LP問題問題問題問題 LP是一種解決在線性約束條件下追求最大或最是一種解決在線性約束條件下追求最大或最是一種解決在線性約束條件下追求最大或最是一種解決在線性約束條件下追求最大或最 小的線性目標函數的方法小的線性目標函數的方法小的線性目標函數的方法小的線性目標函數的方法 本章內容重點 線性規劃模型與解的主要概念 線性規劃的單純形法 線性規劃 多解分析 線性規劃應用 建模與求解軟 件 例例例例1 紅星機械廠開發出兩個產品紅星機械廠開發出兩個產品紅星機械廠開發出兩個產品紅星機械廠開發出兩個產品 產品甲與產品乙產品甲與產品乙產品甲與產品乙產品甲與產品乙 已知產品甲需要原料已知產品甲需要原料已知產品甲需要原料已知產品甲需要原料A 產品乙需要用原料產品乙需要用原料產品乙需要用原料產品乙需要用原料B 由于兩種產品都在一個設備上生產由于兩種產品都在一個設備上生產由于兩種產品都在一個設備上生產由于兩種產品都在一個設備上生產 且設備工時有限且設備工時有限且設備工時有限且設備工時有限 須合理安排兩種產品的產量須合理安排兩種產品的產量須合理安排兩種產品的產量須合理安排兩種產品的產量 使得在資源有限的條件下獲得利潤最大使得在資源有限的條件下獲得利潤最大使得在資源有限的條件下獲得利潤最大使得在資源有限的條件下獲得利潤最大 設設設設x1為產品甲的產量為產品甲的產量為產品甲的產量為產品甲的產量 x2為為為為 產品乙的產量產品乙的產量產品乙的產量產品乙的產量 這是一個典型的利潤最大化的生產計劃問這是一個典型的利潤最大化的生產計劃問這是一個典型的利潤最大化的生產計劃問這是一個典型的利潤最大化的生產計劃問 題題題題 其中其中其中其中 MaxMaxMaxMax 是英文單詞是英文單詞是英文單詞是英文單詞 MaximizeMaximizeMaximizeMaximize 的縮寫的縮寫的縮寫的縮寫 含義為含義為含義為含義為 最大化最大化最大化最大化 s t s t s t s t 是是是是 subject tosubject tosubject tosubject to 的縮的縮的縮的縮 寫寫寫寫 表示表示表示表示 滿足于滿足于滿足于滿足于 因此因此因此因此 上述模型的含義是上述模型的含義是上述模型的含義是上述模型的含義是 在給定條件限制下在給定條件限制下在給定條件限制下在給定條件限制下 求使目標函數求使目標函數求使目標函數求使目標函數 z 達到最達到最達到最達到最 大的大的大的大的x1 x2的取值的取值的取值的取值 例例例例2 2 2 2 勞動力分配問題勞動力分配問題勞動力分配問題勞動力分配問題 設設設設xi為產品為產品為產品為產品i i i i的生產數量的生產數量的生產數量的生產數量 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 美克制造公司生產三種產品美克制造公司生產三種產品美克制造公司生產三種產品美克制造公司生產三種產品 每單每單每單每單 位產品的利潤分別為位產品的利潤分別為位產品的利潤分別為位產品的利潤分別為100元元元元 90元和元和元和元和 95元元元元 兩個產品都要經過兩個產品都要經過兩個產品都要經過兩個產品都要經過4個車間加個車間加個車間加個車間加 工工工工 假定每個車間的工人總工時是假定每個車間的工人總工時是假定每個車間的工人總工時是假定每個車間的工人總工時是 給定的給定的給定的給定的 每單位產品在各車間需要每單位產品在各車間需要每單位產品在各車間需要每單位產品在各車間需要 的工時如表所示的工時如表所示的工時如表所示的工時如表所示 Max 123 1009095ZXXX s t 123 123 123 123 0 81 22800 0 30 40 41800 0 91 20 63900 0 80 40 62800 XXX XXX XXX XXX 123 0XXX 11 例例例例3 配料問題配料問題配料問題配料問題 新農飼料公司希望用玉米和紅薯兩新農飼料公司希望用玉米和紅薯兩新農飼料公司希望用玉米和紅薯兩新農飼料公司希望用玉米和紅薯兩 種原料配制一種混合飼料種原料配制一種混合飼料種原料配制一種混合飼料種原料配制一種混合飼料 由于由于由于由于玉玉玉玉 米和紅薯米和紅薯米和紅薯米和紅薯 包含的營養成份和采購成包含的營養成份和采購成包含的營養成份和采購成包含的營養成份和采購成 本都不相同本都不相同本都不相同本都不相同 公司希望能夠確定混公司希望能夠確定混公司希望能夠確定混公司希望能夠確定混 合飼料中玉米和紅薯的數量合飼料中玉米和紅薯的數量合飼料中玉米和紅薯的數量合飼料中玉米和紅薯的數量 使得使得使得使得 飼料能夠以最低的成本達到給定的飼料能夠以最低的成本達到給定的飼料能夠以最低的成本達到給定的飼料能夠以最低的成本達到給定的 營養要求營養要求營養要求營養要求 Min Z s t 0 50 8 采購成本采購成本采購成本采購成本 元元元元 20 18 16 4 6 5 8 3 1 碳水化合物碳水化合物碳水化合物碳水化合物 蛋白質蛋白質蛋白質蛋白質 維他命維他命維他命維他命 最低最低最低最低 要求要求要求要求 每公斤每公斤每公斤每公斤 紅薯紅薯紅薯紅薯 每公斤每公斤每公斤每公斤 玉米玉米玉米玉米 營養成份營養成份營養成份營養成份 x1 混合飼料中玉米的數量 x2 混合飼料中紅薯的數量 12 0 80 5xx 12 12 12 8420 3418 516 0 1 2 i xx xx xx xi 12 例例例例4 4 4 4 廣告投入與收益均衡問題廣告投入與收益均衡問題廣告投入與收益均衡問題廣告投入與收益均衡問題 美美美美麗欣公司是一家生產乳制品的公司麗欣公司是一家生產乳制品的公司麗欣公司是一家生產乳制品的公司麗欣公司是一家生產乳制品的公司 生產兒童奶粉生產兒童奶粉生產兒童奶粉生產兒童奶粉 鮮牛奶鮮牛奶鮮牛奶鮮牛奶 成人奶粉成人奶粉成人奶粉成人奶粉 公司希望通過一系列促銷措施來提高公司希望通過一系列促銷措施來提高公司希望通過一系列促銷措施來提高公司希望通過一系列促銷措施來提高 自己三個產品的市場占有率自己三個產品的市場占有率自己三個產品的市場占有率自己三個產品的市場占有率 具體要求具體要求具體要求具體要求 如下如下如下如下 1 兒童奶粉市場占有率希望提高兒童奶粉市場占有率希望提高兒童奶粉市場占有率希望提高兒童奶粉市場占有率希望提高 8 2 鮮牛奶市場占有率希望提高鮮牛奶市場占有率希望提高鮮牛奶市場占有率希望提高鮮牛奶市場占有率希望提高 13 3 成人奶粉市場占有率希望提高成人奶粉市場占有率希望提高成人奶粉市場占有率希望提高成人奶粉市場占有率希望提高 5 s t 123 0XXX 公司的促銷措施有促銷會公司的促銷措施有促銷會公司的促銷措施有促銷會公司的促銷措施有促銷會 電視電視電視電視 廣告廣告廣告廣告 印刷媒體廣告三種印刷媒體廣告三種印刷媒體廣告三種印刷媒體廣告三種 每種促每種促每種促每種促 銷措施銷措施銷措施銷措施 每單位每單位每單位每單位 增加各種產品的市增加各種產品的市增加各種產品的市增加各種產品的市 場占有率和單位成本如下表所示場占有率和單位成本如下表所示場占有率和單位成本如下表所示場占有率和單位成本如下表所示 160210100單位成本單位成本單位成本單位成本 萬元萬元萬元萬元 8 3 5 2 3 2 3 1 0 1 2 2 兒童奶粉兒童奶粉兒童奶粉兒童奶粉 鮮牛奶鮮牛奶鮮牛奶鮮牛奶 成人奶粉成人奶粉成人奶粉成人奶粉 要要要要 求求求求 印刷印刷印刷印刷 媒體媒體媒體媒體 電視電視電視電視 廣告廣告廣告廣告 促銷促銷促銷促銷 會會會會 產品產品產品產品 x1 促銷會的單位數量促銷會的單位數量促銷會的單位數量促銷會的單位數量 x2 電視廣告的單位數量電視廣告的單位數量電視廣告的單位數量電視廣告的單位數量 x3 印刷媒體廣告的單位數量印刷媒體廣告的單位數量印刷媒體廣告的單位數量印刷媒體廣告的單位數量 Min Z 100 x1 210 x2 160 x3 123 123 13 328 2313 225 0 1 2 3 i xxx xxx xx xi 線性規劃的 一般形式 目標函數Max Min Z C1X1 C2X2 CnXn a11X1 a12X2 a1n X n b1 約束條件a21X1 a22X2 a2n X n b2 am1X1 am2X2 amnXn bm 非負條件X1 X2 Xn 0 或無約束或無約束或無約束或無約束 線性規劃的標準型線性規劃的標準型線性規劃的標準型線性規劃的標準型 技術系數右端項價值系數 約束行數變量個數 2 1 0 2 1 0 max 2211 22222121 11212111 2211 ijij i j mnmnmm nn nn nn abc mn mib njx bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa ts xcxcxcZ L L L M L L L 非標準形非標準形非標準形非標準形LPLPLPLP問題的標準化問題的標準化問題的標準化問題的標準化 1 1 1 1 若目標函數為若目標函數為若目標函數為若目標函數為MinZMinZMinZMinZ 令令令令Z Z Z Z Z Z Z Z 則則則則MinZMinZMinZMinZ等價于等價于等價于等價于MaxZMaxZMaxZMaxZ 2 2 2 2 若為不等式約束若為不等式約束若為不等式約束若為不等式約束 若為若為若為若為 在方程左邊加一非負新變量在方程左邊加一非負新變量在方程左邊加一非負新變量在方程左邊加一非負新變量 稱松弛變量稱松弛變量稱松弛變量稱松弛變量 若為若為若為若為 在方程左邊減一非負新變量在方程左邊減一非負新變量在方程左邊減一非負新變量在方程左邊減一非負新變量 稱剩余變量或松弛稱剩余變量或松弛稱剩余變量或松弛稱剩余變量或松弛 變量變量變量變量 3 3 3 3 若若若若b b b bi i i i 0 0 0 0 方程兩邊同乘方程兩邊同乘方程兩邊同乘方程兩邊同乘 1 1 1 1 4 4 4 4 若變量不滿足非負若變量不滿足非負若變量不滿足非負若變量不滿足非負 若若若若x x x xK K K K 0 0 0 0 令令令令x x x xK K K K x x x xK K K K x x x xK K K K 0 0 0 0 用用用用 x x x xK K K K 替換替換替換替換x x x xk k k k 若若若若x x x xK K K K無約束無約束無約束無約束 令令令令x x x xK K K K x x x xK K K K x x x xK K K K x x x xK K K K x x x xK K K K 0 0 0 0 用此式替換用此式替換用此式替換用此式替換 模型中模型中模型中模型中x x x xk k k k 1 min n jj j Zc x 1 max n jj j Zc x 等價于等價于等價于等價于 例例例例6 將下列線性規劃問題化為標準形式 123 123 123 123 13 min235 32320 25 24 0 0 Zxxx xxx xxx st xxx xx 222 xxx 令 1223 12234 12235 1223 122345 max2335 322320 25 2 4 0 Zxxxx xxxxx xxxxx st xxxx x xxx xx 17 2 3 線性規劃圖解法線性規劃圖解法線性規劃圖解法線性規劃圖解法 例1 線性規劃問題 Max 12 43Zxx 1 2 12 12 6 28 2318 0 x x xx x x s t 7 4 6 5 3 2 1 100654321879 x2 x1 x1 6 2x2 8 2x1 3x2 18 Z 4x1 3x2 12 目標等值線目標等值線目標等值線目標等值線 Q 6 2 18 03 69x1 6 4 2 x2 可行域可行域可行域可行域 Z 36 3 4 多重解舉例多重解舉例多重解舉例多重解舉例 此線段上的點 均為最優點 1 2 12 12 6 28 2318 0 x x xx x x s t Max Z 4x1 6x2 19 無界解舉例無界解舉例無界解舉例無界解舉例 Max Z X1 X2 2X1 X2 3 3 3 3 X1 2X2 4 4 4 4 X1 X2 0 0 0 0 A 053179 x1 x2 k 4 6 2 x2 x1 Z Z Z Z值增大方向值增大方向值增大方向值增大方向 20 無可行解舉例無可行解舉例無可行解舉例無可行解舉例 Max Z 4X1 3X2 X1 6 6 6 6 2X2 8 8 8 8 2X1 3X2 18 18 18 18 X1 X2 12 12 12 12 X1 X2 0 0 0 0 無公共區域 可行域 7 4 6 5 3 2 1 100654321879 x2 x1 21 4 3線性規劃應用案例線性規劃應用案例線性規劃應用案例線性規劃應用案例 18 25 130001 20成分成分成分成分4 最少最少最少最少30 最多最多最多最多20 110001 36成分成分成分成分3 最多最多最多最多40 最少最少最少最少35 120001 15成分成分成分成分2 最少最少最少最少25 最多最多最多最多30 60000 85成分成分成分成分1 特殊汽油特殊汽油特殊汽油特殊汽油 產品要求產品要求產品要求產品要求 一般汽油產一般汽油產一般汽油產一般汽油產 品要求品要求品要求品要求 最大供應量最大供應量最大供應量最大供應量 加侖加侖加侖加侖 單位成本單位成本單位成本單位成本 美元美元美元美元 石油成石油成石油成石油成 分分分分 一般汽油產品售價為每單位一般汽油產品售價為每單位一般汽油產品售價為每單位一般汽油產品售價為每單位2 5美元美元美元美元 特殊汽油產品售特殊汽油產品售特殊汽油產品售特殊汽油產品售 價為每單位價為每單位價為每單位價為每單位2 67美元美元美元美元 引入決策變量引入決策變量引入決策變量引入決策變量xij 表示第表示第表示第表示第j 種汽油產品種汽油產品種汽油產品種汽油產品 中成份中成份中成份中成份i的含量的含量的含量的含量 例例例例3 混合問題混合問題混合問題混合問題 巨斯特石油公司要生產兩種汽油產品巨斯特石油公司要生產兩種汽油產品巨斯特石油公司要生產兩種汽油產品巨斯特石油公司要生產兩種汽油產品 一種是一般的汽油一種是一般的汽油一種是一般的汽油一種是一般的汽油 另一種是另一種是另一種是另一種是 特殊的汽油特殊的汽油特殊的汽油特殊的汽油 公司希望通過合成公司希望通過合成公司希望通過合成公司希望通過合成4類石油成份來生產這兩種汽油產品類石油成份來生產這兩種汽油產品類石油成份來生產這兩種汽油產品類石油成份來生產這兩種汽油產品 這些汽油的售這些汽油的售這些汽油的售這些汽油的售 價不同價不同價不同價不同 三種石油成份成本也不同三種石油成份成本也不同三種石油成份成本也不同三種石油成份成本也不同 公司希望確定一種混合這公司希望確定一種混合這公司希望確定一種混合這公司希望確定一種混合這4類石油成份以生產兩類石油成份以生產兩類石油成份以生產兩類石油成份以生產兩 種汽油產品的方案來獲取最大的利潤種汽油產品的方案來獲取最大的利潤種汽油產品的方案來獲取最大的利潤種汽油產品的方案來獲取最大的利潤 x32x31成分成分成分成分3 x42x41成分成分成分成分4 x22x21成分成分成分成分2 x12x11成分成分成分成分1 特殊特殊特殊特殊 汽油汽油汽油汽油 一般一般一般一般 汽油汽油汽油汽油 j i 22 目標函數目標函數目標函數目標函數 1121314112223242 1112212231324142 2 5 2 67 0 85 1 15 1 36 1 2 Zxxxxxxxx xxxxxxxx 石油成分石油成分石油成分石油成分供應量供應量供應量供應量約束約束約束約束 1112 6000 xx 2122 12000 xx 3132 11000 xx 4142 13000 xx 成分成分成分成分1 成分成分成分成分2 成分成分成分成分3 成分成分成分成分4 130001 20成分成分成分成分4 110001 36成分成分成分成分3 120001 15成分成分成分成分2 60000 85成分成分成分成分1 最大最大最大最大 供應量供應量供應量供應量 單位成單位成單位成單位成 本本本本 石油成石油成石油成石油成 分分分分 23 產品規格約束產品規格約束產品規格約束產品規格約束 1111213141 0 3 xxxxx 由由由由 一般汽油產品含成分一般汽油產品含成分一般汽油產品含成分一般汽油產品含成分1最多最多最多最多30 可知可知可知可知 類似地類似地類似地類似地 我們有我們有我們有我們有 2111213141 0 35 xxxxx 3111213141 0 2 xxxxx 4111213141 0 25 xxxxx 1212223242 0 25 xxxxx 2212223242 0 4 xxxxx 3212223242 0 3 xxxxx 4212223242 0 18 xxxxx 0 1 2 3 4 1 2 ij xij 非負約束非負約束非負約束非負約束 成分成分成分成分4 成分成分成分成分3 成分成分成分成分2 成分成分成分成分1 石油石油石油石油 成分成分成分成分 18 25 30 20 40 35 25 30 特殊汽油特殊汽油特殊汽油特殊汽油 要求要求要求要求 一般汽一般汽一般汽一般汽 油要求油要求油要求油要求 x32x31成分成分成分成分3 x42x41成分成分成分成分4 x22x21成分成分成分成分2 x12x11成分成分成分成分1 特殊特殊特殊特殊 汽油汽油汽油汽油 一般一般一般一般 汽油汽油汽油汽油 j i 24 1112212231324142 max1 651 821 351 521 141 311 31 47Zxxxxxxxx 1112 6000 xx 2122 12000 xx 3132 11000 xx 4142 13000 xx 2111213141 0 35 xxxxx 3111213141 0 2 xxxxx 4111213141 0 25 xxxxx 1212223242 0 25 xxxxx 2212223242 0 4 xxxxx 3212223242 0 3 xxxxx 4212223242 0 18 xxxxx 0 1 2 3 4 1 2 ij xij 1111213141 0 3 xxxxx Lingo求解求解求解求解 25 例例例例2 2 2 2 勞動力分配問題勞動力分配問題勞動力分配問題勞動力分配問題 設設設設xi為產品為產品為產品為產品i i i i的生產數量的生產數量的生產數量的生產數量 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 i 1 2 3 美克制造公司生產三種產品美克制造公司生產三種產品美克制造公司生產三種產品美克制造公司生產三種產品 每單每單每單每單 位產品的利潤分別為位產品的利潤分別為位產品的利潤分別為位產品的利潤分別為100元元元元 90元和元和元和元和 95元元元元 兩個產品都要經過兩個產品都要經過兩個產品都要經過兩個產品都要經過4個車間加個車間加個車間加個車間加 工工工工 假定每個車間的工人總工時是假定每個車間的工人總工時是假定每個車間的工人總工時是假定每個車間的工人總工時是 給定的給定的給定的給定的 每單位產品在各車間需要每單位產品在各車間需要每單位產品在各車間需要每單位產品在各車間需要 的工時如表所示的工時如表所示的工時如表所示的工時如表所示 Max 123 1009095ZXXX s t 123 123 123 123 0 81 22800 0 30 40 41800 0 91 20 63900 0 80 40 32800 XXX XXX XXX XXX 123 0XXX Lingo求解求解求解求解 26 四種資源四種資源四種資源四種資源 車間的用工量車間的用工量車間的用工量車間的用工量 的使用量分別為的使用量分別為的使用量分別為的使用量分別為2800 1300 3900和和和和 1550 由此可見由此可見由此可見由此可見 按這種生產方案按這種生產方案按這種生產方案按這種生產方案 第一和第三種是緊缺資源第一和第三種是緊缺資源第一和第三種是緊缺資源第一和第三種是緊缺資源 第二和第四種資源有剩余第二和第四種資源有剩余第二和第四種資源有剩余第二和第四種資源有剩余 27 假定這四個車間的用工量可以集中調配 不妨用表示第個車間工 時分配量 i 1 2 3 4 總的可調用工時為 四個車間可用工時總量 2800 1800 3900 2800 11300 模型可調整為模型可調整為模型可調整為模型可調整為 i T Lingo求解求解求解求解 28 2502 4 t42車間車間車間車間4 1502 3 t341 8 t31車間車間車間車間3 2002 2 t23車間車間車間車間2 1002 1 t132 t12車間車間車間車間1 最大最大最大最大 轉移轉移轉移轉移 量量量量 培訓后培訓后培訓后培訓后 轉到車轉到車轉到車轉到車 間間間間4 培訓后轉培訓后轉培訓后轉培訓后轉 到車間到車間到車間到車間3 培訓后培訓后培訓后培訓后 轉到車轉到車轉到車轉到車 間間間間2 培訓后培訓后培訓后培訓后 轉到車轉到車轉到車轉到車 間間間間1 原部原部原部原部 門門門門 95元元元元90元元元元100元元元元單位產品利潤單位產品利潤單位產品利潤單位產品利潤 2800 1800 3900 2800 1 2 0 4 0 6 0 3 0 8 0 4 1 2 0 4 1 0 0 3 0 9 0 8 1 2 3 4 總可用工時總可用工時總可用工時總可用工時產品產品產品產品3產品產品產品產品2產品產品產品產品1車間車間車間車間 更一般地更一般地更一般地更一般地 假定不同車間不能隨意調動假定不同車間不能隨意調動假定不同車間不能隨意調動假定不同車間不能隨意調動 如要調動須經過如要調動須經過如要調動須經過如要調動須經過 培訓培訓培訓培訓 允許轉移方案和單位培訓轉移費用允許轉移方案和單位培訓轉移費用允許轉移方案和單位培訓轉移費用允許轉移方案和單位培訓轉移費用 如表如表如表如表 29 123121323313442 100909522 12 21 82 32 4MaxZXXXtttttt 1311213 2800Tttt 2124223 1800Tttt 313233134 3900Ttttt 43442 2800Ttt 1213 100tt 23 200t 3134 150tt 42 250t 123 1234 0 0 XXX T T T T 0 tij i 1 2 3 4 j 1 2 3 4 Xi 產品產品產品產品i的生產數量的生產數量的生產數量的生產數量 tij 車間車間車間車間i轉到車間轉到車間轉到車間轉到車間j的工時數的工時數的工時數的工時數 i T 第第第第i個車間工時分配量個車間工時分配量個車間工時分配量個車間工時分配量 2502 4 t4 車間車間車間車間4 1502 3 t341 8 t31 車間車間車間車間3 2002 2 t23 車間車間車間車間2 1002 1 t132 t12 車間車間車間車間1 最大量最大量最大量最大量轉到轉到轉到轉到4轉到轉到轉到轉到3轉到轉到轉到轉到2轉到轉到轉到轉到1原車間原車間原車間原車間 30 1231 1232 1233 1234 0 81 2 0 30 40 4 0 91 20 6 0 80 40 6 XXXT XXXT XXXT XXXT 1311213 2800Tttt 2124223 1800Tttt 313233134 3900Ttttt 43442 2800Ttt 1213 100tt 23 200t 3134 150tt 42 250t 123121323313442 100909522 12 21 82 32 4MaxZXXXtttttt Lingo求解求解求解求解 31 總部設在漢中市的飛達航空公司擁有總部設在漢中市的飛達航空公司擁有總部設在漢中市的飛達航空公司擁有總部設在漢中市的飛達航空公司擁有B737飛機飛機飛機飛機3架架架架 Electra飛機飛機飛機飛機8架和架和架和架和 DC9 飛機飛機飛機飛機2架架架架 經常飛往經常飛往經常飛往經常飛往A B C D四個城市四個城市四個城市四個城市 不同類型飛機由漢中飛往各個城不同類型飛機由漢中飛往各個城不同類型飛機由漢中飛往各個城不同類型飛機由漢中飛往各個城 市的往返費用市的往返費用市的往返費用市的往返費用 往返飛行時間等如表所示往返飛行時間等如表所示往返飛行時間等如表所示往返飛行時間等如表所示 2 2 6 12 2000 3500 6000 10000 A B C D DC9 1 4 8 20 1000 2000 4000 A B C D Electra 2 4 5 10 6000 7000 8000 10000 A B C D B737 飛行時間飛行時間飛行時間飛行時間 小時小時小時小時 飛行費用飛行費用飛行費用飛行費用 元元元元 飛往城市飛往城市飛往城市飛往城市飛機類型飛機類型飛機類型飛機類型 例例例例5飛達航空公司的航線安排問題飛達航空公司的航線安排問題飛達航空公司的航線安排問題飛達航空公司的航線安排問題 32 假定每架飛機每天的最大飛行時間為假定每架飛機每天的最大飛行時間為假定每架飛機每天的最大飛行時間為假定每架飛機每天的最大飛行時間為18小時小時小時小時 城市城市城市城市A每天每天每天每天8班班班班 城市城市城市城市B每天每天每天每天11班班班班 城市城市城市城市C每天每天每天每天10班班班班 城市城市城市城市D每天每天每天每天6班班班班 管理層希望合理安排飛行使得總費用最低管理層希望合理安排飛行使得總費用最低管理層希望合理安排飛行使得總費用最低管理層希望合理安排飛行使得總費用最低 解解解解 用用用用i 1 2 3分別表示分別表示分別表示分別表示3種類型飛機種類型飛機種類型飛機種類型飛機B737 Electra DC9 j 1 2 3 4 分別代表分別代表分別代表分別代表A B C D這四個城市這四個城市這四個城市這四個城市 我們引入決策變量我們引入決策變量我們引入決策變量我們引入決策變量 ij x 表示安排第表示安排第表示安排第表示安排第i種飛機種飛機種飛機種飛機 飛往城市飛往城市飛往城市飛往城市j的次數的次數的次數的次數 i 1 2 3 j 1 2 3 4 33 11121314212223 31323334 60007000800010000100020004000 20003500600010000 MinZxxxxxxx xxxx 112131 122232 132333 1434 11121314 212223 31323334 8 11 10 6 2451054 48144 2261236 0 1 2 3 1 2 3 4 ij xxx xxx xxx xx xxxx xxx xxxx xij 34 例例例例4 下料問題下料問題下料問題下料問題 宏偉機械廠要做宏偉機械廠要做宏偉機械廠要做宏偉機械廠要做100套鋼架套鋼架套鋼架套鋼架 每套用長為每套用長為每套用長為每套用長為2 9 m 2 1m 1 5m 的圓鋼各一根的圓鋼各一根的圓鋼各一根的圓鋼各一根 已知原料每根長已知原料每根長已知原料每根長已知原料每根長7 4 m 問問問問 應如何下料應如何下料應如何下料應如何下料 可使所用原料最省可使所用原料最省可使所用原料最省可使所用原料最省 根數最少或料頭最少根數最少或料頭最少根數最少或料頭最少根數最少或料頭最少 解解解解 先根據經驗列出若干能使料頭較少的下料方案先根據經驗列出若干能使料頭較少的下料方案先根據經驗列出若干能使料頭較少的下料方案先根據經驗列出若干能使料頭較少的下料方案 并用并用并用并用 x x x xi i i i代表按第代表按第代表按第代表按第i i i i種方案種方案種方案種方案 共共共共8 8 8 8種種種種 下料的下料的下料的下料的原料原料原料原料數數數數 1 41 10 90 80 30 20 10料頭料頭料頭料頭 6 06 36 56 67 17 27 37 4合計合計合計合計 401302131 5m 031122002 1m 001010212 9m 87654321方案方案方案方案 35 1 41 10 90 80 30 20 10料頭料頭料頭料頭 6 06 36 56 67 17 27 37 4合計合計合計合計 401302131 5m 031122002 1m 001010212 9m x8x7x6x5x4x3x2x1方案方案方案方案 36 此例不同此例不同此例不同此例不同目標目標目標目標 不同約束下的解不同約束下的解不同約束下的解不同約束下的解 方案方案方案方案1安排下料數為安排下料數為安排下料數為安排下料數為30 方案方案方案方案2安排下料數為安排下料數為安排下料數為安排下料數為10 方案方案方案方案4安排下料數為安排下料數為安排下料數為安排下料數為50 其它方案下料數均為其它方案下料數均為其它方案下料數均為其它方案下料數均為0 用的原料數為用的原料數為用的原料數為用的原料數為90根根根根 37 靈敏度分析靈敏度分析靈敏度分析靈敏度分析 模型中的參數一般是預測估計的確定值 而在計劃 實施時 這些值一般不可能正好是事先估計的值 因 此有必要在求解后 分析這些參數值在將來可能變化 后對最優解的影響 靈敏度分析就是計算為保持原最優解性質不變靈敏度分析就是計算為保持原最優解性質不變靈敏度分析就是計算為保持原最優解性質不變靈敏度分析就是計算為保持原最優解性質不變 模模模模 型中某一個參數型中某一個參數型中某一個參數型中某一個參數 C C C Cj j j j或或或或b b b bi i i i 單獨變化的允許范圍單獨變化的允許范圍單獨變化的允許范圍單獨變化的允許范圍 38 例例例例1 紅星機械廠開發出兩個產品紅星機械廠開發出兩個產品紅星機械廠開發出兩個產品紅星機械廠開發出兩個產品 產品甲與產品乙產品甲與產品乙產品甲與產品乙產品甲與產品乙 已知產品甲需要原料已知產品甲需要原料已知產品甲需要原料已知產品甲需要原料A 產品乙需要用原料產品乙需要用原料產品乙需要用原料產品乙需要用原料B 由于兩種產品都在一個設備上生產由于兩種產品都在一個設備上生產由于兩種產品都在一個設備上生產由于兩種產品都在一個設備上生產 且設備工時有限且設備工時有限且設備工時有限且設備工時有限 須合理安排兩種產品的產量須合理安排兩種產品的產量須合理安排兩種產品的產量須合理安排兩種產品的產量 使得在資源有限的條件下獲得利潤最大使得在資源有限的條件下獲得利潤最大使得在資源有限的條件下獲得利潤最大使得在資源有限的條件下獲得利潤最大 設設設設x1為產品甲的產量為產品甲的產量為產品甲的產量為產品甲的產量 x2為為為為 產品乙的產量產品乙的產量產品乙的產量產品乙的產量 39 Lingo Range求解求解求解求解 C C C Cj j j j靈敏度分析靈敏度分析靈敏度分析靈敏度分析 產品甲產品甲產品甲產品甲的單位利潤可減少的單位利潤可減少的單位利潤可減少的單位利潤可減少2 產品產品產品產品乙的單位利潤乙的單位利潤乙的單位利潤乙的單位利潤 可增加可增加可增加可增加3 也可減少也可減少也可減少也可減少3 即允許變化范圍即允許變化范圍即允許變化范圍即允許變化范圍 0 6 資源量增加資源量增加資源量增加資源量增加 或減少或減少或減少或減少 一個單位導致目標函數的增加一個單位導致目標函數的增加一個單位導致目標函數的增加一個單位導致目標函數的增加 或減少或減少或減少或減少 量稱為這種資源量稱為這種資源量稱為這種資源量稱為這種資源 的影子價格的影子價格的影子價格的影子價格 原料原料原料原料A的的的的影子價格是影子價格是影子價格是影子價格是2 即即即即原料原料原料原料A單獨增加單獨增加單獨增加單獨增加一個單位利潤一個單位利潤一個單位利潤一個單位利潤增加增加增加增加兩個兩個兩個兩個 單位單位單位單位 原料原料原料原料B的的的的影子價格是影子價格是影子價格是影子價格是0 即即即即單獨增加原料單獨增加原料單獨增加原料單獨增加原料B不會不會不會不會增加增加增加增加利潤利潤利潤利潤 設備的設備的設備的設備的影子影子影子影子 價格是價格是價格是價格是1 即即即即設備單獨增加設備單獨增加設備單獨增加設備單獨增加一個單位利潤一個單位利潤一個單位利潤一個單位利潤增加增加增加增加1個單位個單位個單位個單位 b b b bi i i i靈敏度分析靈敏度分析靈敏度分析靈敏度分析 原料原料原料原料A可增加可增加可增加可增加3 也可減少也可減少也可減少也可減少3 即允許變化范圍即允許變化范圍即允許變化范圍即允許變化范圍 3 9 原料原料原料原料B可減少可減少可減少可減少4 40 原料原料原料原料A的的的的影子價格是影子價格是影子價格是影子價格是2 即即即即 原料原料原料原料A單獨增加單獨增加單獨增加單獨增加一個單位一個單位一個單位一個單位 利潤利潤利潤利潤增加增加增加增加兩個單位兩個單位兩個單位兩個單位 原問題原問題原問題原問題 Z 4x1 3x2 4 6 3 2 30 新問題新問題新問題新問題 Z 4x1 3x2 4 7 3 4 3 32 x1 7 41 補例補例補例補例 一奶制品加工廠用牛奶生產一奶制品加工廠用牛奶生產一奶制品加工廠用牛奶生產一奶制品加工廠用牛奶生產A1 A2兩種奶制品兩種奶制品兩種奶制品兩種奶制品 1桶牛奶可以在甲車間用桶牛奶可以在甲車間用桶牛奶可以在甲車間用桶牛奶可以在甲車間用12小時加工成小時加工成小時加工成小時加工成3公斤公斤公斤公斤A1 或者或者或者或者 在乙車間用在乙車間用在乙車間用在乙車間用8小時加工成小時加工成小時加工成小時加工成4公斤公斤公斤公斤A2 根據市場需求根據市場需求根據市場需求根據市場需求 生生生生 產的產的產的產的A1 A2全部能售出全部能售出全部能售出全部能售出 且每公斤且每公斤且每公斤且每公斤A1獲利獲利獲利獲利24元元元元 每公斤每公斤每公斤每公斤 A2獲利獲利獲利獲利16元元元元 現在加工廠每天能得到現在加工廠每天能得到現在加工廠每天能得到現在加工廠每天能得到50桶牛奶的供桶牛奶的供桶牛奶的供桶牛奶的供 應應應應 每天正式工人總的勞動時間每天正式工人總的勞動時間每天正式工人總的勞動時間每天正式工人總的勞動時間480小時小時小時小時 并且甲車間并且甲車間并且甲車間并且甲車間 每天至多能加工每天至多能加工每天至多能加工每天至多能加工100公斤公斤公斤公斤A1 乙車間的加工能力沒有限乙車間的加工能力沒有限乙車間的加工能力沒有限乙車間的加工能力沒有限 制制制制 試為該廠制訂一個生產計劃試為該廠制訂一個生產計劃試為該廠制訂一個生產計劃試為該廠制訂一個生產計劃 使每天獲利最大使每天獲利最大使每天獲利最大使每天獲利最大 并并并并 進一步討論以下進一步討論以下進一步討論以下進一步討論以下3個附加問題個附加問題個附加問題個附加問題 1 若用若用若用若用35元可以買到元可以買到元可以買到元可以買到1桶牛奶桶牛奶桶牛奶桶牛奶 應否作這項投資應否作這項投資應否作這項投資應否作這項投資 若若若若 投資投資投資投資 每天最多購買多少桶牛奶每天最多購買多少桶牛奶每天最多購買多少桶牛奶每天最多購買多少桶牛奶 2 若可以聘用臨時工人以增加勞動時間若可以聘用臨時工人以增加勞動時間若可以聘用臨時工人以增加勞動時間若可以聘用臨時工人以增加勞動時間 付給臨時工付給臨時工付給臨時工付給臨時工 人的工資最多是每小時幾元人的工資最多是每小時幾元人的工資最多是每小時幾元人的工資最多是每小時幾元 3 由于市場需求變化由于市場需求變化由于市場需求變化由于市場需求變化 每公斤每公斤每公斤每公斤A1的獲利增加到的獲利增加到的獲利增加到的獲利增加到30元元元元 應否改變生產計劃應否改變生產計劃應否改變生產計劃應否改變生產計劃 42 一奶制品加工廠用牛奶生產一奶制品加工廠用牛奶生產一奶制品加工廠用牛奶生產一奶制品加工廠用牛奶生產A1 A2兩種奶制品兩種奶制品兩種奶制品兩種奶制品 1桶牛奶可以桶牛奶可以桶牛奶可以桶牛奶可以 在甲車間用在甲車間用在甲車間用在甲車間用12小時加工成小時加工成小時加工成小時加工成3公斤公斤公斤公斤A1 或者在乙車間用或者在乙車間用或者在乙車間用或者在乙車間用8小時加小時加小時加小時加 工成工成工成工成4公斤公斤公斤公斤A2 根據市場需求根據市場需求根據市場需求根據市場需求 生產的生產的生產的生產的A1 A2全部能售出全部能售出全部能售出全部能售出 且且且且 每公斤每公斤每公斤每公斤A1獲利獲利獲利獲利24元元元元 每公斤每公斤每公斤每公斤A2獲利獲利獲利獲利16元元元元 現在加工廠每天能現在加工廠每天能現在加工廠每天能現在加工廠每天能 得到得到得到得到50桶牛奶的供應桶牛奶的供應桶牛奶的供應桶牛奶的供應 每天正式工人總的勞動時間每天正式工人總的勞動時間每天正式工人總的勞動時間每天正式工人總的勞動時間480小時小時小時小時 并且甲車間每天至多能加工并且甲車間每天至多能加工并且甲車間每天至多能加工并且甲車間每天至多能加工100公斤公斤公斤公斤A1 乙車間的加工能力沒乙車間的加工能力沒乙車間的加工能力沒乙車間的加工能力沒 有限制有限制有限制有限制 試為該廠制訂一個生產計劃試為該廠制訂一個生產計劃試為該廠制訂一個生產計劃試為該廠制訂一個生產計劃 使每天獲利最大使每天獲利最大使每天獲利最大使每天獲利最大 設用設用設用設用x1桶牛奶加工桶牛奶加工桶牛奶加工桶牛奶加工A1 用用用用x2桶牛奶加工桶牛奶加工桶牛奶加工桶牛奶加工A2 模型代碼如下模型代碼如下模型代碼如下模型代碼如下 max 72 x1 64 x2 x1 x2 50 12 x1 8 x2 480 3 x1 100 43 最優解為最優解為最優解為最優解為x1 20 x2 30 最優值為最優值為最優值為最優值為z 3360 即用即用即用即用20桶牛桶牛桶牛桶牛 奶生產奶生產奶生產奶生產A1 30桶牛奶生產桶牛奶生產桶牛奶生產桶牛奶生產A2 可獲最大利潤可獲最大利潤可獲最大利潤可獲最大利潤3360元元元元 原料原料原料原料 勞動時間的剩余均為零勞動時間的剩余均為零勞動時間的剩余均為零勞動時間的剩余均為零 車間甲尚余車間甲尚余車間甲尚余車間甲尚余40 公斤公斤公斤公斤 加工能力加工能力加工能力加工能力 增加增加增加增加1個單位個單位個單位個單位 1桶牛奶桶牛奶桶牛奶桶牛奶 時利潤增長時利潤增長時利潤增長時利潤增長48 元元元元 勞動時勞動時勞動時勞動時 間增加間增加間增加間增加1個單位個單位個單位個單位 1小時小時小時小時 時利潤增長時利潤增長時利潤增長時利潤增長2 元元元元 增加車間增加車間增加車間增加車間 甲的能力不會使利潤增長甲的能力不會使利潤增長甲的能力不會使利潤增長甲的能力不會使利潤增長 max 72 x1 64 x2 x1 x2 50 12 x1 8 x2 480 3 x1 100 44 進一步討論以下進一步討論以下進一步討論以下進一步討論以下3個附加問題個附加問題個附加問題個附加問題 1 若用若用若用若用35元可以買到元可以買到元可以買到元可以買到1桶牛奶桶牛奶桶牛奶桶牛奶 應否作這項投資應否作這項投資應否作這項投資應否作這項投資 若若若若 投資投資投資投資 每天最多購買多少桶牛奶每天最多購買多少桶牛奶每天最多購買多少桶牛奶每天最多購買多少桶牛奶 用影子價格的概念知用影子價格的概念知用影子價格的概念知用影子價格的概念知 用用用用35元可以買到元可以買到元可以買到元可以買到1桶牛奶桶牛奶桶牛奶桶牛奶 低于低于低于低于 1桶牛奶的影子價格桶牛奶的影子價格桶牛奶的影子價格桶牛奶的影子價格48 當然應該作這項投資當然應該作這項投資當然應該作這項投資當然應該作這項投資 增加增加增加增加1個單位個單位個單位個單位 1桶牛奶桶牛奶桶牛奶桶牛奶 時利潤增長時利潤增長時利潤增長時利潤增長48 元元元元 勞動時間勞動時間勞動時間勞動時間 增加增加增加增加1個單位個單位個單位個單位 1小時小時小時小時 時利潤增長時利潤增長時利潤增長時利潤增長2 元元元元 增加車間甲的能增加車間甲的能增加車間甲的能增加車間甲的能 力不會使利潤增長力不會使利潤增長力不會使利潤增長力不會使利潤增長 由由由由 Allowable Increase 知牛奶原料最多增加知牛奶原料最多增加知牛奶原料最多增加知牛奶原料最多增加10 桶桶桶桶 45 3 由于市場需求變化由于市場需求變化由于市場需求變化由于市場需求變化 每公斤每公斤每公斤每公斤A1的獲利增加到的獲利增加到的獲利增加到的獲利增加到30 元元元元 應否改變生產計劃應否改變生產計劃應否改變生產計劃應否改變生產計劃 2 若可以聘用臨時工人以增加勞動時間