兩個相似直角三角形構成的基本圖形的應用與拓展 教學內容 教學內容是從八年級上冊第二章特殊三角形的第50頁第12題引入 歸納出兩個相似直角三角形構成的基本圖形 例舉了這個基本圖形在折疊 動態幾何等問題中的應用 并將此基本圖形進行了拓展 教學目標能運用相似三角形的判定方法判斷兩個直角三角形相似 在理解基本圖形的基礎上 學會在折疊 測量等問題中應用基本圖形并能進行拓展 通過對基本圖形的應用與拓展 培養學生獨立思考的習慣 發展學生的探究意識 提高學生的總結 歸納能力 閱讀理解能力和創新能力 教學重點 會將基本圖形在折疊 動態幾何 幾何實際問題等問題中加以應用教學難點 在復雜的圖形中分解出基本圖形和基本圖形的拓展 如圖 AD BC A 900 E是AB上一點 且AE BC 1 2 1 Rt ADE與Rt BEC全等嗎 請說明理由 2 CDE是不是直角三角形 請說明理由 引例 教材八年級上冊第50頁第12題 基本圖形 基本圖形的應用 一 在折疊問題中的應用 例1如圖 折疊矩形ABCD的一邊CD 使點D落在AB邊的點E處 CF為折痕 已知 且tan FEA 3 4 1 BCE與 AEF有什么關系 2 求矩形ABCD的周長 例2 08寧波 如圖1 把一張標準紙一次又一次對開 得到 2開 紙 4開 紙 8開 紙 16開 紙 已知標準紙的短邊長為a 1 如圖2 把這張標準紙對開得到的 16開 張紙按如下步驟折疊 第一步將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊 點B落在AD上的點B 處 鋪平后得折痕AE 第二步將長邊AD與折痕AE對齊折疊 點B正好與點E重合 鋪平后得折痕AF 則AD AB的值是 AD AB的長分別是 2 2開 紙 4開 紙 8開 紙的長與寬之比是否都相等 若相等 直接寫出這個比值 若不相等 請分別計算它們的比值 3 如圖3 由8個大小相等的小正方形構成 L 型圖案 它的四個頂點E F G H分別在 16開 紙的邊AB BC CD DA上 求DG的長 4 已知梯形MNPQ中 MN PQ M 900 MN MQ 2PQ 且四個頂點M N P Q都在 4開 紙的邊上 請直接寫出2個符合條件且大小不同的直角梯形的面積 3 如圖3 由8個大小相等的小正方形構成 L 型圖案 它的四個頂點E F G H分別在 16開 紙的邊AB BC CD DA上 求DG的長 4 已知梯形MNPQ中 MN PQ M 900 MN MQ 2PQ 且四個頂點M N P Q都在 4開 紙的邊上 請直接寫出2個符合條件且大小不同的直角梯形的面積 a 4 2a 4 DG CF HG FG 二 在幾何作圖中的應用 例2如圖 在筆直的公路l的同側有A B兩個村莊 已知A B兩村分別到公路的距離AC 3千米 BD 4千米 1 現要在公路上建一個汽車站P 使該車站到A B兩村的距離相等 試用直尺和圓規在圖中作出點P 不寫作法 保留作圖痕跡 2 若連接AP BP 測得 APB 900 求A村到車站P的距離 P 三 基本圖形在動態問題中的應用 例3 06武漢 已知 將一副三角板 Rt ABC和Rt DEF 如圖1擺放 點E A D B在一條直線上 且D是AB的中點 將Rt DEF繞點D順時針方向旋轉角 00 900 在旋轉過程中 直線DE AC相交于點M 直線DF BC相交于點N 分別過點M N作直線AB的垂線 垂足為G H 1 當 300時 如圖2 求證 AG DH 2 當 600時 如圖3 1 中的結論是否成立 請寫出你的結論 并說明理由 3 當00 900時 1 中的結論是否成立 請寫出你的結論 并根據圖4說明理由 四 基本圖形的逆向應用 例4 04南京 如圖 AB BC DC BC 垂足分別為B C 1 當AB 4 DC 1 BC 4時 在線段BC上是否存在點P 使AP PD 如果存在 求出線段BP的長 如果不存在 請說明理由 2 設AB a DC b AD c 那么當a b c之間滿足什么關系時 在直線BC上存在點P 使AP PD P 基本圖形的拓展 例1 08莆田 閱讀理解 如圖1 在直角梯形ABCD中 AB CD B 900 點P在BC邊上 當 APD 900時 易證 ABP PCD 從而得到BP PC AB CD 解答下列問題 1 模型探究 如圖2 在四邊形ABCD中 點P在BC邊上 當 B C APD時 求證 BP PC AB CD 2 拓展應用 如圖3 在四邊形ABCD中 AB 4 BC 10 CD 6 B C 600 AO BC于點O 以O為原點 以BC所在直線為x軸 建立平面直角坐標系 點P為線段OC上一動點 不與端點O C重合 當 APD 600時 點P的坐標 過點P作PE PD 交y軸于點E 設OP x OE y求y與x的函數關系式 并寫出自變量x的取值范圍 基本圖形的拓展 閱讀理解 如圖1 在直角梯形ABCD中 AB CD B 900 點P在BC邊上 當 APD 900時 易證 ABP PCD 從而得到BP PC AB CD 1 模型探究 如圖2 在四邊形ABCD中 點P在BC邊上 當 B C APD時 求證 BP PC AB CD 2 拓展應用 如圖3 在四邊形ABCD中 AB 4 BC 10 CD 6 B C 600 AO BC于點O 以O為原點 以BC所在直線為x軸 建立平面直角坐標系 點P為線段OC上一動點 不與端點O C重合 當 APD 600時 點P的坐標 過點P作PE PD 交y軸于點E 設OP x OE y求y與x的函數關系式 并寫出自變量x的取值范圍 例2 08金華 如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖 點P處放一水平的平面鏡 光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處 已知AB BD CD BD 且測得AB 1 2米 BP 1 8米 PD 12米 那么該古城墻的高度是 A 6米B 8米C 18米D 24米 變式1 一只小鳥從高為3米的電線桿AB的頂端飛到地面BD的中點P處覓食 再飛到一高為12米的建筑物CD頂端 求小鳥飛過的路長 1 08金華 如圖 在平面直角坐標系中 已知 AOB是等邊三角形 點A的坐標是 0 4 點B在第一象限 點P是x軸上的一個動點 連結AP 并把 AOP繞著點A按逆時針方向旋轉 使邊AO與AB重合 得到 ABD 1 求直線AB的解析式 2 當點P運動到點 0 時 求此時DP的長及點D的坐標 3 是否存在點P 使 OPD的面積等于 若存在 請求出符合條件的點P的坐標 若不存在 請說明理由 點擊中考 2 08義烏 如圖1所示 直角梯形OABC的頂點A C分別在y軸正半軸與軸負半軸上 過點B C作直線 將直線平移 平移后的直線與x軸交于點D 與軸交于點E 1 將直線向右平移 設平移距離CD為t t0 直角梯形OABC被直線掃過的面積 圖中陰影部份 為s s關于t的函數圖象如圖2所示 OM為線段 MN為拋物線的一部分 NQ為射線 N點橫坐標為4 求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積 當2 t 4時 求S關于t的函數解析式 2 在第 1 題的條件下 當直線向左或向右平移時 包括與直線BC重合 在直線AB上是否存在點P 使 PDE為等腰直角三角形 若存在 請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標 若不存在 請說明理由 點擊中考 小結 通過本節課的學習 你有哪些收獲 知識方面 能力方面 情感方面 1 完成本堂課中沒有詳細解答的例題 2 如圖1 在直角梯形ABCD中 AD BC 頂點D C分別在AM BN上運動 點D不與A重合 點C不與B重合 E是AB上的動點 點E不與A B重合 在運動