實驗六 主成分分析一、實驗目的通過本次實驗，掌握SPSS及ENVI的主成分分析方法。二、有關概念1 主成分分析的概念主成分分析（又稱因子分析），是將多個實測變量轉換為少數幾個不相關的綜合指標的多元統計分析方法。代表各類信息的綜合指標就稱為因子或主成份。主成分分析的數學模型可寫為：其中，x1、x2、 x3、 x4 xm為原始變量；z1、 z2、 z3、 z4 zn為主成份，且有mn。寫成矩陣形式為：Z=AX。Z為主成份向量，A為主成份變換矩陣，X為原始變量向量。主成份分析的目的是把系數矩陣A求出，主成份Z1、Z2、Z3在總方差中所占比重依次遞減。從理論上講m=n即有多少原始變量就有多少主成份，但實際上前面幾個主成份集中了大部分方差，因此取主成份數目遠遠小于原始變量的數目，但信息損失很小。因子分析的一個重要目的還在于對原始變量進行分門別類的綜合評價。如果因子分析結果保證了因子之間的正交性（不相關）但對因子不易命名，還可以通過對因子模型的旋轉變換使公因子負荷系數向更大（向1）或更小（向0）方向變化，使得對公因子的命名和解釋變得更加容易。進行正交變換可以保證變換后各因子仍正交，這是比較理想的情況。如果經過正交變換后對公因子仍然不易解釋，也可進行斜交旋轉。2 因子提取方法SPSS提供的因子提取方法有：Principal components 主成份法。該方法假設變量是因子的純線性組合。這是SPSS最通用的因子提取方法，故因子分析有時又稱為主成份分析。Unweighted least square不加權最小平方法。該方法使觀測的和再生的相關陣之差的平方最小。Generalized least square 用變量的單值加權，使觀測的和再生的相關陣之差的平方最小。Maximum likelihood 最大似然法。此方法不要求多元正態分布。給出參數估計，如果樣本來自多元正態總體它們與原始變量的相關陣極為相似。Principal axis factoring 使用多元相關的平方作為對公因子方差的初始估計。Alpha factoring 因子提取法3 因子旋轉方法 SPSS提供的因子旋轉方法有： None 不進行旋轉。此為系統默認的選擇項。Varimax方差最大旋轉。Equamax 平均正交旋轉。Quartmax四次方最大正交旋轉。Direct Oblimin 斜交旋轉，指定此項可以在下面的矩形框中鍵入Delta值，該值應該在0-1之間，是因子映象自相關的范圍。0值產生最高相關因子，大負數產生旋轉的結果與正交接近。三、實驗內容1. 在上海市寶山、吳淞地區的環境質量綜合評價中，對20個監測點的大氣、地面水和土壤要素進行監測，得到三種要素的實測超標倍數數據。本實驗對這批資料進行主成份分析，為進一步進行環境綜合分析作準備。2. 對2009年錢塘江灣TM影像進行主成分分析四、實驗步驟（一）SPSS主成分分析1主成分分析的基本步驟（1）打開“d:SPSS實習主成份分析.sav”文件，選擇Analyze菜單下的Data Reduction的Factor項，展開主對話框。（2）在左側源變量框中選取“大氣超標倍數”、“地面水超標倍數” “土壤超標倍數”變量，進入Variables框中，作為參與因子分析的變量。（3）單擊Descriptives按鈕，展開相應的子對話框。在Statistics組中選取Initial solution 選擇項，顯示初始分析結果，給出原始變量的公因子方差、與變量數目相等的因子、各因子的特征值、各因子特征占總方差的百分比以及累積百分比。在Correlation Matrix組中選取Coefficients，顯示原始變量相關系數矩陣。按Continue返回主對話框。（Statistics組中的Univariate descriptive項要求給出各變量的均數和標準差；Correlation Matrix組提供以下幾種檢驗變量是否適合作因子分析的方法：（4）單擊Extraction按鈕，展開相應的子對話框。 在Method組中選擇Principal components主成份法作為提取公因子的方法；在Extract組中選取Number of factors，并在其右側框中輸入“2”，指定提取公因子的數目為2；在Display組中選取Unrotated factor solution及Screen plot選項，要求顯示未經旋轉的因子提取結果因了載荷碎石圖；Maximum iterations for convergence為因子分析收斂的最大迭代次數，系統默認為25；按Continue返回主對話框。（5）單擊Scores按鈕，展開相應的子對話框。 選取Save as variables 選項，即要求將因子得分作為新變量保存在數據文件中；在Method組選取Regression選項，即因子的得分用回歸法，其因子得分的均值為0(Regression Method: A method for estimating factor score coefficients. The scores that are produced have a mean of 0 and a variance equal to the squared multiple correlation between the estimated factor scores and the true factor values. The scores may be correlated even when factors are orthogonal.)；選取Display factor score coeffient matrix，顯示因子得分系數矩陣；按Continue返回主對話框（6）單擊OK，提交運行。（7）輸出結果分析。2主成分分析結果分析輸出結果分析如下列表6.1表6.6所示：表6.1給出了三個原始變量的相關系數矩陣。表 6.1Correlation Matrix 大氣超標倍數地面水超標倍數土壤超標倍數Correlation大氣超標倍數1.000.124.279 地面水超標倍數.1241.000.613 土壤超標倍數.279.6131.000表6.2第二列給出原始變量的公因子方差，三個均為1，三個變量的公因子方差之總和為3；第三列給出的是使用兩個因子代替原始變量后對各原始變量方差解釋的百分比。表 6.2Communalities InitialExtraction大氣超標倍數1.000.987地面水超標倍數1.000.839土壤超標倍數1.000.808Extraction Method: Principal Component Analysis.表6.3為方差解釋表。第一列為主成份名，第二、三、四列分別為第一、二、三主成份的特征值、方差百分比、方差累積百分比；后三列為選用兩個主成份時的特征值、方差百分比、方差累積百分比。表 6.3Total Variance ExplainedComponentInitial EigenvaluesExtraction Sums of Squared LoadingsTotal% of VarianceCumulative %Total% of VarianceCumulative %11.72657.53657.5361.72657.53657.5362.90830.26987.806.90830.26987.8063.36612.194100.000 Extraction Method: Principal Component Analysis.表6.4為因子矩陣表。給出原始變量對第一、第二主成份的貢獻。表 6.4Component Matrix(a)Component12大氣超標倍數.484.867地面水超標倍數.835-.376土壤超標倍數.891-.119Extraction Method: Principal Component Analysis.a 2 components extracted.表6.5為因子得分系數矩陣。給出第一、第二主成份與原始變量的關系。根據該矩陣可以寫出因子的表達式為：Factor1=0.281*x1*+0.484*x2*+0.516*x3*Factor2=0.955*x1*-0.414*x2*-0.131*x3*可以說，用這兩個因子代替三個原始變量，可以概括原始變量所包含信息的87.806%。表 6.5 Component Score Coefficient MatrixComponent12大氣超標倍數.281.955地面水超標倍數.484-.414土壤超標倍數.516-.131Extraction Method: Principal Component Analysis. Component Scores.表6.6給出了兩主成份間的協方差矩陣。表 6.6Component Score Covariance MatrixComponent1211.000.0002.0001.000Extraction Method: Principal Component Analysis. Component Scores. 圖6.1可以看出因子1與因子2，以及因子2與因子3之間的特征值之差值比較大，可以初步得出提取兩個因子將能概括絕大部分信息。圖 6.1注：在“Factor1=0.281*x1*+0.484*x2*+0.516*x3* 及Factor2=0.955*x1*-0.414*x2*-0.131*x3*”中的x1* x2*x3*變量是原始變量做了均值為0處理后的新變量。（二）ENVI主成分分析1. 打開LT51180392009262BJC00下的B1-6及B7, 用Basic Tools下的Layer Stacking進行6波段疊合（如圖6-2，拾取Import File選擇疊合的波段，拾取Reorder Files對波段進行排序，建議按B1B7順序），并選擇Output Result to File,將結果輸出到QT_River文件。圖6-22. 用ROI TOOLS選擇一塊感興趣區（建議選擇地類比較全的部分），并將子集存為subset文件。3 ENVI 【Transform】-【Principal Components】-【Forward PC Rotate正向PC旋轉】-【Compute New Statistics and Rotate】，展開如圖所示對話框，選中文件，并進行空間子集、光譜子集以及掩膜設置后，按OK，進入如圖6-3所示對話框。圖6-3圖6-44. 在圖6-4對話框的Stats Subset中，輸入小于1如0.1的值，表示在統計計算時只用到十分之一像元（也可保持缺省值不變，表示統計全部像元），在Output Stats Filename 中輸入PC_stats,即將統計結果放入該文件，并在“Select Subset from Eigenvalues”中選擇Yes, 統計信息將被計算，并出現如圖6-5 Select Output PC Bands 對話框。該對話框中列出每個波段和其相應的特征值，同時也列出每個主成分波段中包含的數據方差的累積百分比。在“Number of Output PC Bands”文本框中，鍵入一個數字或點擊箭頭按鈕，確定要輸出的波段數，此處可選3，也可保持6不變，看主成份結果圖。可以看出，前三個主成份占了原始6個波段信息的98%以上，因此完全可以用前三個主成份來代替原始6個波段來進行后續的分類處理。圖6-55. 用【Basic Tools】 -【Statistics】-【View statistics File】工具查看PC_Stats.sta文件信息，在對話框的Select Plot中，拾取Engevalus, 展開如圖6-6所示對話框，上方圖表示各主成份的值。圖6-6原始子影像RGB 用Band5、4、3顯示的效果圖 RGB顯示第三、第二、第一主成分的效果圖圖6-7五、思考與練習1. 對“某地區主要污染源數據p.xls”中的各污染物排放指標進行主成分分析，并說明分析結果；再用主成份分析結果進行聚類分析，與實驗四結果進行對比分析。2. 參照中國地級以上城市腹地的測度分析，試采用ArcGIS分析工具，分析“某地區主要污染源數據p.xls”中各