第34卷第2期 2004年2月 數學的實踐與認識 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol134 No12 Feb 2004 電法勘探中的數學模型 胡建德 中央民族大學信息與計算科學系 北京 100081 摘要 文章介紹了地球物理勘探中大地電磁法 M T 在二維構造上的數學模型和正反演方法 也給出了可 控源音頻大地電磁測深 CSAM T 的二維正演數學模型 關鍵詞 大地電磁 CSAM T Backus2Gilbert線性反演 收稿日期 2003204228 電法勘探是綜合地球物理勘探方法中的基本方法之一 1 電磁測深方法是用變頻進行 測深的一個電法勘探分支 利用天然電磁場 由太陽輻射的變異 大氣圈下層電荷的移動 雷雨放電等產生 做場源的稱為大地電磁 測深 法 M T 1 2 使用人工電磁場做場源的稱 為可控源頻率測深法 電磁場以電磁波的形式向地下傳播時 不同的頻率對應著不同的電 磁波長和穿透深度 場強隨深度的增加而衰減 電磁測深方法觀測不同頻率的電磁波在地 表的響應 即電磁場的水平分量 來推導或反演地球內部的巖石電性結構 以適應礦產普查 或構造研究的需要 本文給出了二維構造條件下M T響應的數學模型和正反演方法和以線 電流源為激發源時二維構造上電磁響應 CSAM T 的數學模型及正演算法 1 二維構造條件下的M T數學模型 取如圖1所示的二維構造區域 設二維構造走向為X軸向 則電阻率 分布只沿Y和 Z兩個方向上變化 在每一種巖層內部 電阻率是各向同性的 如果以e i t表示電磁場隨時 間變化的關系 并考慮到大地電磁場主要是由電磁感應引起的 用實用單位制 則麥克斯韋 圖1 二維構造示意圖 方程可表達為 E i H 1 1 H E 1 2 H 0 1 3 E 0 1 4 式中E H分別表示電磁場強度 電導率 圓頻率 磁 導率 由于電阻率沿走向X是穩定的 對于垂直入射的平 面電磁波 有 5E 5x 5H 5x 0 1 5 將 1 1 5 代入 1 11 11 2 的展開式中 可得如下兩組相互 獨立的偏振波 5Ez 5y 5Ey 5z i Hx 5Hx 5z Ey 5Hx 5y Ez 1 6 5Hz 5y 5Hy 5z Ex 5Ex 5z i Hy 5Ex 5y i Hz 1 7 1 1 6 和 1 1 7 式分別稱為TM波和TE波方式 并可化為如下的霍姆赫茲方程 TE方式 5 2E x 5y 2 5 2E x 5z 2 i Ex 1 8 TM方式 5 5y 1 5Hx 5y 5 5z 1 5Hx 5z i Hx 1 9 適當地選取邊界條件 則 1 1 8 和 1 1 9 式可表達為如下形式的泛函極值問題 即求 J V 8 a 5V 5y 2 a 5V 5z 2 bV 2 dydz cV 2 dV d s 1 10 最小 式中V表示Ex或Hy 在 8 上合理地作網格剖分 用有限元法可求出節點上的V值 進而計算斷面上的大地電磁響應 2 4 2 M T資料的二維反演計算方法 為構造反演算法 引入如下響應函數 V 1 Ex 5Ex 5z U 1 Hx 5Hx 5z 2 1 則 1 8 和 1 9 分別變為 5V 5z V 2 1 Ex 5 2E x 5y 2 i 0 2 2 5U 5z U 2 1 Hx 5 5y 1 5Hx 5y i 0 2 3 設當 0時 V0和Ex 0滿足方程 2 12 U0和Hx 0滿足方程 2 13 令 0 V V0 V U U0 U 2 4 由于趨膚效應 場的垂直梯度一般較水平梯度大很多 因而將 2 12 21 3 中 項用 0對 應的 1 Ex 0 5 2E x 0 5y 2和 1 Hx 0 5 5y 1 0 5Hx 0 5y 近似代替 則兩方程變為只對z微分的黎卡提方程 5V 5z V 2 i 1 Ex 0 5 2E x 0 5y 2 0 2 5 5U 5z U 2 i 1 Hx 0 5 5y 1 0 5Hx 0 5y 0 2 6 將 2 1 4 式代入上式并忽略 V U的二次項 則有 5 5z V 2V0 V i 0 2 7 5 5z U 2U0 U U 2 0 0 2 8 其解為 82數 學 的 實 踐 與 認 識34卷 V z 1 E 2 x 0 z 0 i E 2 x 0 l l d l 2 9 U z 1 H 2 x 0 z 0 1 0 l 5Hx 0 l 5l 2 l d l 2 10 上式的積分限實際上是從地表z 0到某一深度即 8 的下邊界Zmax 在此深度電磁場已近似 衰減為0 令z 0則 V 0 1 E 2 x 0 0 Zmax 0 i E 2 x 0 z z d z 2 11 U 0 1 H 2 x 0 0 Zmax 0 1 0 z 5Hx 0 z 5z 2 z d z 2 12 地球的導電性可以有105到106級次的變化 令m z ln z 則 m z z 0 z 令 G z i Ex 0 z Ex 0 0 2 0 z 2 13 H z 1 0 z Hx 0 0 5Hx 0 z 5z 2 0 z 2 14 則 2 111 21 12 對于每個測點y不同的觀測頻率fi有 Vi y 0 Zmax 0 Gi y z m y z d z 2 15 Ui y 0 Zmax 0 Hi y z m y z d z 2 16 這里得到了形式上與一維連續介質情況下相同的 Vi或 Ui與函數 m之間的線性泛函關 系 5 核函數G y z 或H y z 是Frechet導數 V U以及G H都是復數 若將 2 1 15 2 1 16 分別寫為 V或 U的振幅方程和相位方程 并考慮到在任何測點y上第i個頻率的 觀測誤差 Vi或 Ui已近似為深度的函數 則這些方程都可歸類為如下形式的Fredholm 方 程 Vi Zmax 0 Gi z m z d z i 1 2 n 2 17 利用Backus2Gilbert反演法 5 7 可對 2 1 17 求 m z 的L2范數最小解 即求在滿足 2 1 17 的約束條件下使 In Zmax 0 m 2 z d z 2 18 最小 按第一D irichlet準則知 m z g T z GGT 1 V 2 19 式中G由 2 1 17 中的Gi z 確定 g則由下式定義 g z G1 z G2 z Gn z T 2 20 對于每個測點 根據 m y z 修改 0 y z 最后求得新的二維模型 y z y z 0 y z 1 m y z 2 21 并以新的 y z 為初始模型進行迭代 直至 Vi的均方相對誤差足夠小為止 對理論數據 和實測資料的反演計算顯示了良好的效果 8 9 922期胡建德 電法勘探中的數學模型 3 CSAM T二維正演數學模型 在圖1所示的二維構造中 若用長導線在X軸向作激勵源 并設其具有頻率為 的諧 變電流 Ix I0e i t 3 1 則由麥克斯韋方程組可以導出滿足電場Ex的微分方程及邊界條件為 5 2E x 5y 2 5 2E x 5z 2 2E x i I0 y y0 z z0 3 2 5Ex 5nAOE CD 0 5Ex 5n 1Ex AB BC 0 5Ex 5n 2Ex ED 0 式中 2 2 i 1 0 k1 0r k0 0r cos 2 I0是電流源的電流強度幅值 是介電常數 k0 0r 和k1 0r 分別是零階和一階修正的貝 賽爾函數 是從線源到計算點的徑向矢量r和邊界外法線n之間的夾角 0是空氣中的波 數 0 0 0 與上述邊值問題等價的泛函極值問題是求 J Ex i I0Ex 0 0 8 5Ex 5y 2 5Ex 5z 2 2E2 xdydz AB B C 1E 2 xds ED 2E 2 xds 3 3 極小 使用有限元法 可求得線源二維問題的解 11 12 對不同模型的計算結果及分析 為資 料解釋提供了依據 10 13 大地電磁測深法具有不需供電設備 使用的頻率范圍大 勘探深度大 等值范圍小等優 點 多用于地殼結構和區域地質構造的研究 也用于油氣 水資源及工程地質勘探等方面 可探源頻率測深法具有分辨力較高 各向異性影響小 測量參數多便于綜合分析 工效高等 優點 已廣泛應用于找水 找油和礦產地質勘探 在復雜構造條件下建立電磁方法的數學模 型并作正反演研究有著重要的實際意義 參考文獻 1 日丹諾夫M C著 潘玉玲 王守坦譯 1 電法勘探 M 中國地質大學出版社 1990 178 185 2 陳樂壽 王光鍔 1 大地電磁測深法 M 北京地質出版社 19901 3 W illiam L Rodi A Technique for i mproving the accuracy of finite element solutions for magnetotelluric data J Geophys J R A str Soc 1976 44 483 505 4 胡建德 蔡綱1 用三角形二次插值有限元法計算二維大地電磁測深曲線 J 石油地球物理勘探 1984 4 358 367 5 O ldenburg D W 王家映 1 在地球物理學中的線性反演理論 J 地球科學 1984 9 3 133 147 6 Sm ith J T Booker J R M agnetotelluric inversion for m ini mum structure J Geophysics 1988 53 1565 03數 學 的 實 踐 與 認 識34卷 1576 7 傅淑芳 朱仁益 1 地球物理反演問題 M 地質出版社 1998 119 147 8 吳廣耀 胡建德 1 大地電磁資料的二維連續模型自動反演 J 地球科學 1990 15 增刊 23 25 9 吳小平 吳廣耀 胡建德 1 二維最平模型的大地電磁快速反演 J 地球科學 1994 19 6 821 830 10 石昆法 1 可控源音頻大地電磁法理論與應用 M 科學出版社 19991 11 陳明生 嚴又生 1 二維水平電偶極變頻測深阻抗視電阻率的有限元正演計算 J 地球物理學報 1987 30 2 201 208 12 胡建德 閻述 陳明生等 1 線電流源聲頻大地電磁測深的二維正演計算及響應特點 J 現代地質 1997 11 2 203 209 13 胡建德 管建和 向禮明等 1M T二維正演的混合剖分算法及其在線源CSAM T正演計算中的應用 J 現代地質 1996 10 1 129 135 MathematicalM odels in Electromagnetic Survey HU Jian2de Dept ofM athematics Chiina