【命中考心】2013高考數學必考點之概率與統計 計算題2計算題11.某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優質品現用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產了100件這種產品，并測量了每產品的質量指標值，得到時下面試驗結果：A配方的頻數分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數82042228B配方的頻數分布表指標值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數412423210（I）分別估計用A配方，B配方生產的產品的優質品率；（II）已知用B配方生產的一種產品利潤y（單位：元）與其質量指標值t的關系式為從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為X（單位：元）求X的分布列及數學期望（以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率）解（）由試驗結果知，用A配方生產的產品中優質的平率為，所以用A配方生產的產品的優質品率的估計值為0.3由試驗結果知，用B配方生產的產品中優質品的頻率為，所以用B配方生產的產品的優質品率的估計值為0.42（）用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區間的頻率分別為0.04，054，0.42，因此P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，即X的分布列為2240.040.540.42X的數學期望值EX=-20.04+20.54+40.42=2.6812.紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設各盤比賽結果相互獨立。（）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望.解：（I）設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F，則分別表示甲不勝A、乙不勝B，丙不勝C的事件。因為由對立事件的概率公式知紅隊至少兩人獲勝的事件有：由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為 （II）由題意知可能的取值為0，1，2，3。又由（I）知是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，因此由對立事件的概率公式得所以的分布列為：0123P0103504015因此13（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據統計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內的頻率如下表：時間（分鐘）10202030304040505060L1的頻率0102030202L2的頻率001040401現甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。（）為了盡最大可能在各自允許的時間內趕到火車站，甲和乙應如何選擇各自的路徑？（）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內能趕到火車站的人數，針對（）的選擇方案，求X的分布列和數學期望。解（）Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內趕到火車站”，Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內趕到火車站”，i=1,2用頻率估計相應的概率可得P（A1）=01+02+03=06，P（A2）=01+04=05，P（A1） P（A2）, 甲應選擇LiP（B1）=01+02+03+02=08，P（B2）=01+04+04=09， P（B2） P（B1）, 乙應選擇L2（）A,B分別表示針對（）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內趕到火車站，由（）知,又由題意知，A,B獨立， 的分布列為X012P00404205414.本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多。某自行車租車點的收費標準是每車每次租不超過兩小時免費，超過兩小時的收費標準為2元（不足1小時的部分按1小時計算）。有人獨立來該租車點則車騎游。各租一車一次。設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為；兩人租車時間都不會超過四小時。（）求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；（）求甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量，求的分布列與數學期望；解析：（1）所付費用相同即為元。設付0元為，付2元為，付4元為則所付費用相同的概率為（2）設甲，乙兩個所付的費用之和為，可為分布列15.學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎（每次游戲結束后將球放回原箱）（）求在1次游戲中， （i）摸出3個白球的概率； （ii）獲獎的概率；（）求在2次游戲中獲獎次數的分布列及數學期望 . （I）（i）解：設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件則 （ii）解：設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則，又 且A2，A3互斥，所以 （II）解：由題意可知X的所有可能取值為0，1，2. 所以X的分布列是X012P X的數學期望16.某市公租房的房源位于A，B，C三個片區，設每位申請人只申請其中一個片區的房源，且申請其中任一個片區的房源是等可能的求該市的任4位申請人中： （）恰有2人申請A片區房源的概率； （）申請的房源所在片區的個數的分布列與期望解：這是等可能性事件的概率計算問題. （I）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區房源的申請方式種，從而恰有2人申請A片區房源的概率為解法二：設對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.記“申請A片區房源”為事件A，則從而，由獨立重復試驗中事件A恰發生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區房源的概率為 （II）的所有可能值為1，2，3.又綜上知，有分布列 1 2 3P 從而有17甲、乙兩工人同時加工一種圓柱零件，在他們所加工的零件中各抽取個進行直徑檢測，測得數據如下（單位：）：（1）分別計算上面兩個樣本的平均數和方差；（2）若零件規定直徑為,根據兩個樣本的平均數和方差，說明誰加工的零件的質量較穩定。17【解析】（1）因為樣本數據在上下波動， 所以； ， 。(2)由于甲的方差小，故甲工人加工零件的質量比較穩定。18對一批襯衣進行抽檢，結果如下表：（1） 完成上面統計表；（2） （2）事件為任取一件襯衣為次品，求；（3） （3）為了保證買到次品的顧客能夠及時更換，銷售件襯衣，至少需要進貨多少件襯衣？18【解析】（1）后三格中分別填入0.045，0.05，0.05；4分（2）P(A)0.05；（3）設進貨襯衣x件，則，解得x1053，需要進貨至少1053件襯衣。19某商場有獎銷售中，購滿元商品得張獎券，多購多得。張獎券為一個開獎單位，設特等獎個，一等獎個，二等獎個。設張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為、，求：（1）；（2）張獎券的中獎概率；（3）張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率。19【解析】（1）， （2）A,B,C兩兩互斥，（3） =20如圖，一面旗幟由部分構成，這部分必須分別著上不同的顏色，現有紅、黃、藍、黑四種顏色可供選擇，利用樹狀圖列出所有可能結果，并計算下列事件的概率：1 2 3（1）紅色不被選中；（2）第部分是黑色并且第部分是紅色20【解析】如圖所有可能結果共有種（1）紅色不被選中的有6種結果，故概率為； （2）第部分是黑色并且第2部分是紅色的結果有2種，故概率為 21口袋中有質地、大小完全相同的個球，編號分別為，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數算甲贏，否則算乙贏（1）求甲贏且編號的和為的事件發生的概率；（2）這種游戲規則公平嗎?試說明理由21【解析】（1）設“甲勝且兩數字之和為6”為事件A，事件A包含的基本事件為(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共個 又甲、乙二人取出的數字共有55=25（個）等可能的結果， 所以 答：編號的和為6的概率為 （2）這種游戲規則不公平設“甲勝”為事件B，“乙勝”為事件C， 則甲勝即兩數字之和為偶數所包含的基本事件數為13個：(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (5,1), (5,3), (5,1)所以甲勝的概率，從而乙勝的概率由于P(B)P(C)，所以這種游戲規則不公平 22某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出名學生，將其成績（均為整數）分成六段，后畫出如下部分頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）估計這次考試的及格率（分及以上為及格）和平均分；（3）從成績是分以上（包括分）的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率22（理）【解析】（1）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率：f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*10=0.032分直方圖如右所示（2）依題意，60及以上的分數所在的第三、四、五、六組，頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75所