第三章函數第五節二次函數的綜合應用 重難點突破 二次函數綜合題 難點 例1 2016銅仁節選 如圖 拋物線y ax2 bx 1 a 0 經過a 1 0 b 2 0 兩點 與y軸交于點c 類型一與線段 周長有關的問題 例1題圖 思維教練 已知點a b的坐標且在拋物線上 將其代入拋物線解析式 求解即可 然后將其解析式化為頂點式即可求得頂點坐標 1 求拋物線的解析式及頂點d的坐標 解 把a b兩點坐標代入y ax2 bx 1得 解得 拋物線的解析式為 即 2 點p在拋物線的對稱軸上 當 acp的周長最小時 求出點p的坐標 思維教練 要使 acp的周長最小 因ac長固定 只需ap cp長最小即可 因為點a與點b關于拋物線對稱軸對稱 即ap bp 則只需bp cp長最小即可 所以連接bc bc與對稱軸的交點即為周長最小時的點p 由拋物線的解析式可以求得c點的坐標 再由b c點的坐標即可求得bc直線的解析式 進而可求得p點的坐標 解 如解圖 a b兩點關于拋物線的對稱軸對稱 當 acp的周長最小時 點p應為直線bc與拋物線對稱軸交點 由 1 知點c的坐標為 0 1 拋物線的對稱軸為x 設直線bc的解析式為y kx b k 0 代入b c兩點坐標得 例1題解圖 解得 直線bc解析式為 在直線bc上 當時 例2如圖 已知拋物線y x2 bx c與x軸交于a 1 0 b 3 0 兩點 與y軸交于點c 拋物線的對稱軸與拋物線交于點p 與直線bc交于點m 連接pb 類型二與面積有關的問題 例2題圖 1 求拋物線的解析式 思維教練 已知拋物線與x軸交于a 1 0 b 3 0 兩點 利用兩點式即可求解 解 由題意可知點a 1 0 點b 3 0 是拋物線與x軸的兩個交點 拋物線的解析式為y x 1 x 3 x2 2x 3 2 求 pbc的面積 思維教練 已知 pbc三邊均不在坐標軸上 要求 pbc的面積 只需求 pmc與 pmb的面積和 轉化為求線段pm的長 結合直線bc的解析式求得點m的坐標即可 解 拋物線的解析式為y x2 2x 3 x 1 2 4 拋物線的對稱軸為直線x 1 頂點坐標為p 1 4 點c的坐標為 0 3 設直線bc的解析式為y kx d k 0 則 解得 直線bc的解析式為y x 3 當x 1時 y 2 點m的坐標為 1 2 pm 4 2 2 s pbc pm xb xc 2 3 3 即 pbc的面積為3 3 在第一象限內的拋物線上是否存在點d 使得 bcd的面積最大 若存在 求出點d的坐標及 bcd面積的最大值 若不存在 請說明理由 思維教練 設出點d的坐標 同 2 問表示出 bcd的面積 利用二次函數的最值即可求解 解 存在 設d t t2 2t 3 如解圖 作dh x軸交bc于點h 則h t t 3 例2題解圖 當時 即d的坐標為時 s bcd有最大值 且最大面積為 例3 2016黃岡 如圖 拋物線與x軸交于點a 點b 與y軸交于點c 點d與點c關于x軸對稱 點p是x軸上的一個動點 設點p的坐標為 m 0 過點p作x軸的垂線l交拋物線于點q 例3題圖 1 求點a 點b 點c的坐標 思維教練 要想求a b c點坐標 可以發現它們均在拋物線上 且在x軸 y軸上 分別令y 0 x 0 可依次求出點a b c的坐標 解 當y 0時 解得x1 4 x2 1 則a 1 0 b 4 0 當x 0時 y 2 則c 0 2 2 求直線bd的解析式 思維教練 要想求直線的解析式 只要知道直線上兩點的坐標即可求解 可以發現點b d均在直線上 且點b坐標已知 點d的坐標可利用對稱點的坐標規律求出 解 點d與點c關于x軸對稱 點d為 0 2 設直線bd的解析式為y kx b 將d 0 2 和b 4 0 分別代入 得 解得 直線bd的解析式為 思維教練 在四邊形cqmd中 已知cd qm 若要使四邊形cqmd為平行四邊形 則需滿足cd qm且cq dm即可 由于cd 4 可考慮證cd qm 則需用含m的式子表示出線段qm的長 根據cd qm列方程即可求m值 3 當點p在線段ob上運動時 直線l交bd于點m 試探究m為何值時 四邊形cqmd是平行四邊形 解 易知cd qm 若cd qm 則四邊形cqmd為平行四邊形 p m 0 點p在線段ob上運動 cd 4 解得m 2或m 0 舍去 故當m 2時 四邊形cqmd為平行四邊形 4 在點p的運動過程中 是否存在點q 使 bdq是以bd為直角邊的直角三角形 若存在 求出點q的坐標 若不存在 請說明理由 思維教練 要求點q的坐標 它需滿足 bdq是以bd為直角邊的直角三角形 只要是直角三角形都滿足勾股定理 所以用m將點q的坐標表示出來 得到qb2 dq2 bd2 然后分情況討論 點b為直角頂點時 點d為直角頂點時 解 存在點q 使 bdq是以bd為直角邊的直角三角形 設點q的坐標為則 當以點b為直角頂點時 則bq2 bd2