1 2 1任意角的三角函數(shù) 二 1 相關(guān)概念 1 單位圓以原點(diǎn)o為圓心 以單位長(zhǎng)度為半徑的圓為單位圓 2 有向線段帶有 規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn) 的線段叫做有向線段 規(guī)定 方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值 反之為負(fù)值 方向 2 三角函數(shù)線 mp om at 1 判一判 正確的打 錯(cuò)誤的打 1 三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值 2 三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù) 3 若角 的正弦線長(zhǎng)度為1 則sin 1 解析 1 錯(cuò)誤 三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值 2 正確 凡是與x軸或y軸正向同向的為正值 反向的為負(fù)值 3 錯(cuò)誤 沒(méi)有指明正弦線的方向 故sin 1 答案 1 2 3 2 做一做 請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上 1 如圖的正弦線是 余弦線是 正切線是 2 比較大小 sin1 sin 填 或 3 若sin 0 則 的取值范圍是 解析 1 由三角函數(shù)線的定義知正弦線是mp 余弦線是om 正切線是at 答案 mpomat結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線知答案 3 由sin 0 如圖 利用三角函數(shù)線可得2k 2k k z 答案 2k 2k k z 要點(diǎn)探究 知識(shí)點(diǎn)三角函數(shù)線對(duì)三角函數(shù)線的四點(diǎn)說(shuō)明 1 正弦線 余弦線 正切線分別是正弦 余弦 正切函數(shù)的幾何表示 這三種線段都是與單位圓有關(guān)的有向線段 這些特定的有向線段的數(shù)值可以用來(lái)表示三角函數(shù)值 2 三角函數(shù)線都是有向線段 因此在用字母表示這些線段時(shí) 也要注意它們的方向 分清起點(diǎn)和終點(diǎn) 書寫順序也不能顛倒 為此 我們規(guī)定凡由原點(diǎn)出發(fā)的線段 以原點(diǎn)為起點(diǎn) 不從原點(diǎn)出發(fā)的線段 以三角函數(shù)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為起點(diǎn) 3 三角函數(shù)線的畫法 作正弦線 余弦線時(shí) 首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn) 然后過(guò)此交點(diǎn)作x軸的垂線 得到垂足 從而得正弦線和余弦線 作正切線時(shí) 應(yīng)從a 1 0 點(diǎn)引x軸的垂線 交 的終邊 為第一或第四象限角 或 終邊的反向延長(zhǎng)線 為第二或第三象限角 于點(diǎn)t 即可得到正切線at 4 三角函數(shù)線的主要作用 解三角不等式及比較同角異名三角函數(shù)值的大小 是以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ) 微思考 1 三角函數(shù)線的長(zhǎng)度和方向各表示什么 提示 長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值 方向表示三角函數(shù)值的正負(fù) 2 三角函數(shù)線的方向有何特點(diǎn) 提示 正弦線由垂足指向 的終邊與單位圓的交點(diǎn) 余弦線由原點(diǎn)指向垂足 正切線由切點(diǎn) 1 0 指向與 終邊的交點(diǎn) 即時(shí)練 1 下列說(shuō)法不正確的是 a 當(dāng)角 的終邊在x軸上時(shí) 角 的正切線是一個(gè)點(diǎn)b 當(dāng)角 的終邊在y軸上時(shí) 角 的正切線不存在c 正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化d 余弦線和正切線的始點(diǎn)都是原點(diǎn) 解析 選d 余弦線始點(diǎn)是原點(diǎn) 正切線的始點(diǎn)是點(diǎn) 1 0 2 已知 是銳角 若sin cos 則角 的取值范圍是 解析 如圖單位圓中 0 mp om 所以答案 題型示范 類型一三角函數(shù)線的概念問(wèn)題 典例1 1 已知?jiǎng)tx的取值集合是 2 在單位圓中畫出滿足的角 的終邊 并作出其正弦線 余弦線和正切線 解題探究 1 題 1 中滿足的角x有多少個(gè) 它們之間有什么關(guān)系 2 題 2 中滿足的角是什么 探究提示 1 滿足的角x有無(wú)窮多個(gè) 它們之間相差180 的整數(shù)倍 2 滿足的角為或 自主解答 1 如圖所示 在0 360 范圍內(nèi) 正切值為的角有兩個(gè) 60 和240 滿足tanx 的角x的終邊與60 和240 的終邊重合 則x的取值集合是 x x 60 k 360 或x 240 k 360 k z 即 x x 60 k 180 k z 答案 x x 60 k 180 k z 2 如圖 作直線y 交單位圓于p q 則op oq為角 的終邊 如圖 所示 當(dāng) 的終邊是op時(shí) 角 的正弦線為mp 余弦線為om 正切線為at 當(dāng) 的終邊為oq時(shí) 角 的正弦線為nq 余弦線為on 正切線為at 延伸探究 若將題 2 中 sin 改為 sin 其他條件不變 則角 的終邊落在什么范圍內(nèi) 解析 結(jié)合題 2 解析可知 當(dāng)sin 時(shí) 角的終邊與相交 角 的終邊在內(nèi) 方法技巧 單位圓中求作角的終邊的方法應(yīng)用三角函數(shù)線可以求作滿足形如f m的三角函數(shù)的角的終邊 1 作出直線y m或x m與單位圓的交點(diǎn) 2 將原點(diǎn)與交點(diǎn)連接所得射線即為所求角的終邊 變式訓(xùn)練 試作出角的正弦線 余弦線 正切線 解析 如圖 的正弦線 余弦線 正切線分別為mp om at 補(bǔ)償訓(xùn)練 若 是第一象限角 則sin cos 的值與1的大小關(guān)系是 a sin cos 1b sin cos 1c sin cos 1d 不能確定 解析 選a 如圖 角 的終邊與單位圓交于p點(diǎn) 過(guò)p作pm x軸于m點(diǎn) 由三角形兩邊之和大于第三邊可知sin cos 1 類型二利用三角函數(shù)線比較大小 典例2 1 2014 宿州高一檢測(cè) 如果那么下列不等式成立的是 a cos sin tan b tan sin cos c sin cos tan d cos tan sin 2 利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小 解題探究 1 題 1 中能否從三角函數(shù)線上比較三角函數(shù)值的大小 2 題 2 中當(dāng)角的終邊在第二象限時(shí)如何作出其正切線 探究提示 1 可在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出正弦線 余弦線和正切線 通過(guò) 形 的直觀來(lái)比較大小 2 可通過(guò)作角終邊的反向延長(zhǎng)線作出正切線 自主解答 1 選a 如圖所示 在單位圓中分別作出 的正弦線mp 余弦線om 正切線at 很容易地觀察出om mp at 即cos sin tan 2 如圖所示 角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p 其反向延長(zhǎng)線與單位圓的過(guò)點(diǎn)a的切線的交點(diǎn)為t 作pm x軸 垂足為m 則 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p 其反向延長(zhǎng)線與單位圓的過(guò)點(diǎn)a的切線交點(diǎn)為t 作p m x軸 垂足為m 則由圖可見 mp m p 0 at at 0 所以 方法技巧 三角函數(shù)線比較大小的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) 1 三角函數(shù)線是一個(gè)角的三角函數(shù)值的體現(xiàn) 從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù) 其長(zhǎng)度是三角函數(shù)值的絕對(duì)值 2 比較兩個(gè)三角函數(shù)值的大小 不僅要看其長(zhǎng)度 還要看其方向 變式訓(xùn)練 比較大小 sin1155 sin 1654 填 解析 sin 3 360 75 sin75 sin 5 360 146 sin146 在單位圓中 分別作出sin75 和sin146 的正弦線m2p2和m1p1 如圖 因?yàn)閙1p1sin 1654 答案 補(bǔ)償訓(xùn)練 設(shè)則a b c的大小順序?yàn)?按從小到大的順序排列 解析 如圖 在單位圓中分別作出的正弦線m1p1 的余弦線om2 正切線at 由知 m1p1 m2p2 又易知om2 m2p2 at 所以故b a c 答案 b a c 類型三利用三角函數(shù)線解三角不等式 典例3 1 2014 濟(jì)南高一檢測(cè) 函數(shù)的定義域?yàn)?2 求下列函數(shù)的定義域 解題探究 1 題 1 中開偶次方根時(shí) 對(duì)被開方數(shù)有什么要求 2 題 2 中需滿足什么要求 探究提示 1 開偶次方根時(shí)要求被開方數(shù)為非負(fù)數(shù) 2 中需滿足 中需滿足 自主解答 1 要使有意義 則必須滿足2sinx 1 0即sinx 結(jié)合三角函數(shù)線 如圖所示 知x的取值范圍是答案 2 要使函數(shù)有意義 則所以如圖所示 所以 要使函數(shù)有意義 則所以如圖所示 所以 方法技巧 解形如f m或f m m 1 的三角不等式的方法 1 在直角坐標(biāo)系及單位圓中 標(biāo)出滿足f m的兩個(gè)角的終邊 若f為sin 則角的終邊是直線y m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線 若f為cos 則角的終邊是直線x m與單位圓的兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線 若f為tan 則角的終邊與角的終邊的反向延長(zhǎng)線表示的正切值相同 2 根據(jù)三角函數(shù)值的大小 找出 在0 2 內(nèi)的取值 再加上k 2 k z 變式訓(xùn)練 利用三角函數(shù)線 寫出滿足下列條件的角 的集合 解析 1 由圖 知 當(dāng)sin 時(shí) 角 滿足的集合為 2 由圖 知 當(dāng)cos 時(shí) 角 滿足的集合為 3 如圖 作出單位圓 所以角 滿足的集合為 補(bǔ)償訓(xùn)練 若 0 2 且求角 的取值范圍 解析 如圖 om為 0 2 內(nèi)的角和的余弦線 欲使則角 的余弦線大于等于om 當(dāng)om伸長(zhǎng)時(shí) op與oq掃過(guò)部分為扇形poq 所以 易錯(cuò)誤區(qū) 對(duì)三角函數(shù)線概念理解不準(zhǔn)而致誤 典例 2014 天水高一檢測(cè) 已知角 的余弦線是長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度的有向線段 那么角 的終邊在 a x軸的正半軸上b x軸的負(fù)半軸上c x軸上d y軸上 解析 選c 由角 的余弦線是長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度的有向線段 得cos 1 故角 的終邊在x軸上 常見誤區(qū) 防范措施 正確理解有向線段和三角函數(shù)線有向線段既有長(zhǎng)度又有方向 如本例中長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度