第4講 直線與圓的位置關系分層訓練a級基礎達標演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1(2011廣東)已知集合a(x，y)|x，y為實數，且x2y21，b(x，y)|x，y為實數，且xy1，則ab的元素個數為_解析集合a表示圓，集合b表示一條直線，又圓心(0,0)到直線xy1的距離d1r，所以直線與圓相交，故ab的元素個數有2個答案22(2012濟南調研(二)已知圓的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，且與直線3x4y40相切，則圓的方程是_解析設圓心為c(m,0)(m0)，因為所求圓與直線3x4y40相切，所以2，整理得：|3m4|10，解得m2或m(舍去)，故所求圓的方程為(x2)2y222，即x2y24x0.答案x2y24x03(2012南通調研)若圓c：(xh)2(y1)21在不等式xy10所表示的平面區域內，則h的最小值為_解析h取最小值時，直線xy10與圓o：(xh)2(y1)21相切且在直線xy10向右上方，所以1，h2，所以hmin2.答案24(2011湖北)過點(1，2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長為，則直線l的斜率為_解析將圓的方程化成標準方程為(x1)2(y1)21，其圓心為(1,1)，半徑r1.由弦長為得，弦心距為.設直線方程為y2k(x1)，即kxyk20，化簡得7k224k170，k1或k.答案1或5(2012揚州中學最后沖刺)將直線2xy0沿x軸向左平移1個單位，所得直線與圓x2y22x4y0相切，則實數的值為_解析由題意，得直線2(x1)y0，即2xy20與圓(x1)2(y2)25相切，所以，25，所以3或7.答案3或76(2010江蘇卷)在平面直角坐標系xoy中，已知圓x2y24上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，則實數c的取值范圍是_解析畫圖可知，圓上有且只有四個點到直線12x5yc0的距離為1，該圓半徑為2即圓心o(0,0)到直線12x5yc0的距離d1，即01，13c13.答案(13,13)二、解答題(每小題15分，共30分)7已知：圓c：x2y28y120，直線l：axy2a0.(1)當a為何值時，直線l與圓c相切；(2)當直線l與圓c相交于a、b兩點，且ab2時，求直線l的方程解將圓c的方程x2y28y120配方得標準方程為x2(y4)24，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓c相切，則有2.解得a.(2)過圓心c作cdab，則根據題意和圓的性質，得解得a7或a1.故所求直線方程為7xy140或xy20.8. (2013蘇北四市調研)如圖，已知位于y軸左側的圓c與y軸相切于點(0,1)且被x軸分成的兩段圓弧長之比為12，過點h(0，t)的直線l與圓c相交于m、n兩點，且以mn為直徑的圓恰好經過坐標原點o.(1)求圓c的方程；(2)當t1時，求出直線l的方程；(3)求直線om的斜率k的取值范圍解(1)因為位于y軸左側的圓c與y軸相切于點(0,1)，所以圓心c在直線y1上設圓c與x軸的交點分別為a、b.由圓c被x軸分成的兩段弧長之比為21，得acb.所以cacb2.圓心c的坐標為(2,1)，所以圓c的方程為(x2)2(y1)24.(2)當t1時，由題意知直線l的斜率存在，設直線l的方程為ymx1.由得或不妨令m，n(0,1)因為以mn為直徑的圓恰好經過o(0,0)，所以(0,1)0，解得m2.所以所求直線l方程為y(2)x1或y(2)x1.(3)設直線mo的方程為ykx.由題意，知2，解得k.同理，得，解得k或k0.由(2)知，k0也滿足題意所以k的取值范圍是.分層訓練b級創新能力提升1由直線yx1上的一點向圓x26xy280引切線，則切線長的最小值為_解析切線長的最小值在直線yx1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d2，圓的半徑為1，故切線長的最小值為.答案2若直線2axby20(a0，b0)被圓x2y22x4y10截得的弦長為4，則的最小值是_解析圓(x1)2(y2)24，弦長為4，故為直徑，即直線過圓心(1,2)，ab1，(ab)2224，當且僅當ab時，取等號，的最小值為4.答案43(2011湖南卷)已知圓c：x2y212，直線l：4x3y25.(1)圓c的圓心到直線l的距離為_；(2)圓c上任意一點a到直線l的距離小于2的概率為_解析(1)圓c圓心坐標為(0,0)、半徑r2，l：4x3y250，由點到直線的距離公式得d5.(2) 如圖所示，當om3時，上的點滿足到直線l的距離小于2.由平面幾何知識可求得aob60，故所求概率為的長度與圓周長之比，所以所求概率為.答案(1)5(2)4已知直線ykx3與圓(x2)2(y3)24相交于m、n兩點，若mn2，則k的取值范圍是_解析如圖，若mn2，則由圓與直線的位置關系可知圓心到直線的距離滿足d222()21.直線方程為ykx3，d1，解得k.若mn2，則k.答案5已知圓c的方程為x2y24.(1)求過點p(1,2)且與圓c相切的直線l的方程；(2)直線l過點p(1,2)，且與圓c交于a、b兩點，若|ab|2，求直線l的方程；(3)圓c上有一動點m(x0，y0)，(0，y0)，若向量，求動點q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線解(1)顯然直線l的斜率存在，設切線方程為y2k(x1)，則由2，得k10，k2，從而所求的切線方程為y2和4x3y100.(2)當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x1，l與圓的兩個交點坐標為(1，)和(1，)，這兩點的距離為2，滿足題意；當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y2k(x1)，即kxyk20，設圓心到此直線的距離為d(d0)，則22，得d1，從而1，得k，此時直線方程為3x4y50；綜上所述，所求直線方程為3x4y50或x1.(3)設q點的坐標為(x，y)，m點坐標是(x0，y0)，(0，y0)，(x，y)(x0,2y0)xx0，y2y0.xy4，x224，即1.q點的軌跡方程是1，軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓6已知圓c：(x3)2(y4)24，直線l1過定點a(1,0)(1)若l1與圓相切，求l1的方程；(2)若l1與圓相交于p，q兩點，線段pq的中點為m，又l1與l2：x2y20的交點為n，判斷aman是否為定值，若是，則求出定值；若不是，請說明理由解(1)若直線l1的斜率不存在，即直線是x1，符合題意若直線l1斜率存在，設直線l1為yk(x1