【全程復習方略】（陜西專用）2013版高考數學 8.8 曲線與方程(含軌跡問題)課時提能演練 理 北師大版(45分鐘 70分)一、選擇題(每小題5分，共30分)1.方程x24y23x6y0表示的圖形是()(a)一條直線(b)兩條直線(c)一個圓 (d)以上答案都不對2.(易錯題)已知點p在定圓o的圓內或圓周上，動圓c過點p與定圓o相切，則動圓c的圓心軌跡可能是()(a)圓或橢圓或雙曲線(b)兩條射線或圓或拋物線(c)兩條射線或圓或橢圓(d)橢圓或雙曲線或拋物線3.(2012西安模擬)已知定點a(0，1)，點p是拋物線y2x2上任意一點，點m滿足則點m的軌跡方程是()(a)y6x2 (b)y3x2(c)x6y2 (d)x3y24.(2012安徽師大附中模擬)設p為雙曲線y21上一動點，o為坐標原點，m為線段op的中點，則點m的軌跡方程為()(a)1 (b)x24y21(c)1 (d)x24y215.設向量i、j分別為直角坐標系的x軸、y軸正方向上的單位向量，若向量a(x1)iyj，b(x1)iyj，且|a|b|1，則滿足上述條件的點p(x，y)的軌跡方程是()(a)4x21(y0)(b)4x21(x0)(c)4y21(y0)(d)4y21(x0)6.(2012南昌模擬)設圓(x1)2y225的圓心為c，a(1,0)是圓內一定點，q為圓周上任一點，線段aq的垂直平分線與cq的連線交于點m，則m的軌跡方程為()(a)1 (b)1(c)1 (d)1二、填空題(每小題5分，共15分)7.(2012長安模擬)已知兩點m(5,0)，n(5,0)，則滿足|pm|pn|6的p點的軌跡方程為.8.若直線mxny4和o：x2y24沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓1的交點個數為.9.坐標平面上有兩個定點a、b和動點p，如果直線pa、pb的斜率之積為定值m，則點p的軌跡可能是：橢圓；雙曲線；拋物線；圓；直線.試將正確的序號填在橫線上：.三、解答題(第10題12分，第11題13分，共25分)10.(2011陜西高考)如圖，設p是圓x2y225 上的動點，點d是p在x軸上的投影，m為pd上一點，且|md|pd|.(1)當p在圓上運動時，求點m的軌跡c的方程；(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被c所截線段的長度.11.(預測題)在平面直角坐標系中，已知向量a(x，y)，b(kx，y)(kr)，ab，動點m(x，y)的軌跡為t.(1)求軌跡t的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；(2)當k時，已知點b(0，)，是否存在直線l：yxm，使點b關于直線l的對稱點落在軌跡t上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由.【選做探究題】已知：向量(，0)，o為坐標原點，動點m滿足：(1)求動點 m 的軌跡 c 的方程；(2)已知直線l1、l2都過點b(0,1)，且l1l2，l1、l2與軌跡c分別交于點d、e，試探究是否存在這樣的直線使得bde是等腰直角三角形.若存在，指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程)；若不存在，請說明理由.答案解析1.【解析】選b.x24y23x6y0，(x)24(y)20，(x2y3)(x2y)0，x2y30或x2y0.原方程表示兩條直線.2.【解析】選c.當點p在定圓o的圓周上時，圓c與圓o內切或外切，o，p，c三點共線，軌跡為兩條射線；當點p在定圓o內時(非圓心)，|oc|pc|r0為定值，軌跡為橢圓；當p與o重合時，圓心軌跡為圓.【誤區警示】本題易因討論不全，或找錯關系而出現錯誤.3.【解析】選a.設點m(x，y)，p(x0，y0)，又a(0，1)，則(xx0，yy0)2(0x，1y)，x03x，y03y2，即點p的坐標為(3x,3y2).點p為拋物線y2x2上的一點，3y229x2，y6x2.4.【解析】選d.設m(x，y)，則p(2x,2y)，點p在雙曲線上，4y21，即x24y21.5.【解析】選b.a(x1)iyj，b(x1)iyj，|a|b|1，滿足上述條件的點p(x，y)的軌跡是以(1,0)和(1,0)為焦點的雙曲線的右支，該軌跡方程是4x21(x0)，故選b.6.【解題指南】找到動點m滿足的等量關系，用定義法求解.【解析】選d.m為aq垂直平分線上一點，則|am|mq|，|mc|ma|mc|mq|cq|5(5|ac|)，即點m的軌跡是橢圓，a，c1，則b2a2c2，點m的軌跡方程為1.7.【解析】|pm|pn|610|mn|，點p的軌跡為以m、n為焦點的雙曲線的右支，且c5，a3，b4，其方程為1(x3).答案：1(x3)【誤區警示】本題易出現漏范圍的情況，出錯的原因是對雙曲線的定義理解不透.8.【解析】由直線mxny4和o：x2y24沒有交點得2，m2n24，點(m，n)在橢圓1的內部，則過點(m，n)的直線與橢圓1的交點個數為2個.答案：2【誤區警示】由于判斷不準點(m，n)的位置而得出交點不確定的情況.9.【解析】以直線ab為x軸，線段ab的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設a(a,0)，b(a,0)，p(x，y)，則有m，即mx2y2a2m，當m0且m1時，軌跡為橢圓；當m0時，軌跡為雙曲線；當m1時，軌跡為圓；當m0時，軌跡為一直線；但不能是拋物線的方程.答案：10.【解析】(1)設點m的坐標是(x，y)，點p的坐標是(xp，yp)，因為點d是p在x軸上的投影，m為pd上一點，且|md|pd|，所以xpx，且ypy，p在圓x2y225上，x2(y)225，整理得1，即點m的軌跡c的方程是1.(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程是y(x3)，設此直線與c的交點為a(x1，y1)，b(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入c的方程1得：1，化簡得x23x80，x1x23，x1x28，|x1x2|，所以線段ab的長度是|ab|，即所截線段的長度是.11.【解析】(1) ab，ab(x，y)(kx，y)0，得kx2y220，即kx2y22，當k0時，方程表示兩條與x軸平行的直線；當k1時，方程表示以原點為圓心，以為半徑的圓；當k0且k1時，方程表示橢圓；當k0時，方程表示焦點在y軸上的雙曲線.(2)當k時，動點m的軌跡t的方程為1，設滿足條件的直線l存在，點b關于直線l的對稱點為b(x0，y0)，則由軸對稱的性質可得：1，m，解得：x0m，y0m，點b(x0，y0)在軌跡t上，1，整理得3m22m20，解得m或m，直線l的方程為yx或yx，經檢驗yx和yx都符合題意，滿足條件的直線l存在，其方程為yx或yx.【變式備選】已知兩點m和n分別在直線ymx和ymx(m0)上運動，且|mn|2，動點p滿足： (o為坐標原點)，點p的軌跡記為曲線c.(1)求曲線c的方程，并討論曲線c的類型；(2)過點(0,1)作直線l與曲線c交于不同的兩點a、b，若對于任意m1，都有aob為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍.【解析】(1)由得p是mn的中點.設p(x，y)，m(x1，mx1)，n(x2，mx2)，依題意得：，消去x1，x2，整理得1.當m1時，方程表示焦點在y軸上的橢圓；當0m1時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；當m1時，方程表示圓.(2)由m1知方程表示焦點在y軸上的橢圓，直線l與曲線c恒有兩交點，直線斜率不存在時不符合題意.可設直線l的方程為ykx1，直線與橢圓交點a(x3，y3)，b(x4，y4). (m4k2)x22kx1m20.x3x4，x3x4.y3y4(kx31)(kx41)1.要使aob為銳角，只需0，x3x4y3y40.即m4(k21)m210，可得m2k21，對于任意m1恒成立.而m22，k212，1k1.所以k的取值范圍是1,1【方法技巧】參數法求軌跡方程的技巧：參數法是求軌跡方程的一種重要方法，其關鍵在于選擇恰當的參數.一般來說，選參數時要注意：(1)動點的變化是隨著參數的變化而變化的，即參數要能真正反映動點的變化特征；(2)參數要與題設的已知量有著密切的聯系；(3)參數要便于軌跡條件中的各種相關量的計算，也便于消去.常見的參數有角度、斜率、點的橫坐標、縱坐標等.【選做探究題】【解題指南】(1)由橢圓的定義可知，點m的軌跡為橢圓，只需再確定a、c即可.(2)可先假設存在，設直線l1、l2的斜率分別為k、，由等腰直角三角形滿足的條件求出其值，或其值不存在，從而得出結論.【解析】(1)方法一：設a(，0)，則動點m 的軌跡c是以a、a為焦點，長軸長為4的橢圓.由c，2a4a2，b1，動點m的軌跡 c的方程為y21.方法二：設點m(x，y)，則42，點m的軌跡c是以(，0)為焦點，長軸長為4的橢圓.a2，c，b1，動點m的軌跡c的方程為y21. (2)軌跡c是橢圓y21，點b(0,1)是它的上頂點，設滿足條件的直線l1、l2存在，由題意不妨設直線l1的方程為ykx1(k0) 則直線l2的方程為yx1， 將代入橢圓方程并整理得：(