山東省19所名校聯考2015屆高考數學一模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共10小題每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的1（5分）已知集合，則ab=（）a1，2）b（2，2）c（1，3）d（2，32（5分）已知a，b，cr，且ab，則（）aa3b3ba2b2cdac2bc23（5分）已知正數組成的等比數列an，若a1a20=100，那么a7+a14的最小值為（）a20b25c50d不存在4（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值和最小值分別為（）a4和3b4和2c3和2d2和05（5分）已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），那么可得這個幾何體的體積是（）acm3bcm3ccm3dcm36（5分）已知，滿足（2）=3，且|=1，=（1，1），則與的夾角為（）abcd7（5分）設m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）a若m，n，則mnb若m，m，則c若mn，m，則nd若m，則m8（5分）已知函數若f（x）=cosxx，則f（x）在其定義域上零點的個數為（）a1個b3個c5個d7個9（5分）函數f（x）=asin（x+）（其中a0，0，|）的圖象如圖所示，為了得到y=cos2x的圖象，則只要將f（x）的圖象（）a向左平移個單位長度b向右平移個單位長度c向左平移個單位長度d向右平移個單位長度10（5分）已知定義在r上的可導函數y=f（x）的導函數為f（x），滿足f（x）f（x），且y=f（x+1）為偶函數，f（2）=1，則不等式f（x）ex的解集為（）a（，e4）b（e4，+）c（，0）d（0，+）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11（5分）已知tan（）=，則tan=12（5分）已知正數x，y滿足3x+4y=xy，則x+3y的最小值為13（5分）已知冪函數f（x）=（mz）在（0，+）上為增函數，且在其定義域內是偶函數，則m的值為14（5分）已知p為abc所在的平面內一點，滿足的面積為2015，則abp的面積為15（5分）下列命題中，正確的為（把你認為正確的命題的序號都填上）函數y=e|x2|的圖象關于直線x=2對稱；若命題p為：xr，x2+10，則為：x0r，x02+10；r，函數f（x）=sin（2x+）都不是偶函數；（m1）（a1）0是logam0的必要不充分條件三、解答題：本大題共6小題，共75分.16（12分）已知數列an滿足an=an+1+2anan+1，且a1=1（1）證明是等差數列；（2）令bn=anan+1，求bn的前n項的和sn17（12分）已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），其中（02）函數，其圖象的一條對稱軸為（i）求函數f（x）的表達式及單調遞增區間；（）在abc中，a、b、c分別為角a、b、c的對邊，s為其面積，若=1，b=1，sabc=，求a的值18（12分）正四棱錐sabcd中，o為底面中心，so=ab=2，e、f分別為sb、cd的中點（1）求證：ef平面sad；（2）若g為sc上一點，且sg：gc=2：1，求證：sc平面gbd19（12分）已知正項等比數列an，其前n項和為sn，且滿足an+1an，s3=（1）求an的通項公式；（2）記數列bn=（2n+1）an，其前n項和為tn，求證：tn620（13分）已知函數f（x）=x36x2+9x（1）求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若a2，當xa，a+1時，求f（x）的最大值21（14分）已知函數f（x）=ex的圖象與y軸的交點為a（1）求曲線y=f（x）在點a處的切線方程，并證明切線上的點不會在函數f（x）圖象的上方；（2）f（x）=f（x）ax2x1在1，+）上單調遞增，求a的取值范圍；（3）若nn*，求證：山東省19所名校聯考2015屆高考數學一模試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的1（5分）已知集合，則ab=（）a1，2）b（2，2）c（1，3）d（2，3考點：交集及其運算專題：集合分析：求解一元二次不等式化簡集合a，求解函數的定義域化簡集合b，然后直接由交集運算得答案解答：解：由x22x30，解得：1x3a=x|x22x30=x|1x3由，解得：2x2b=x|=x|2x2ab=x|1x3x|2x2=1，2）故選：a點評：本題考查了交集及其運算，考查了函數定義域的求法，是基礎題2（5分）已知a，b，cr，且ab，則（）aa3b3ba2b2cdac2bc2考點：不等式的基本性質專題：不等式分析：對于abc，可以舉反例說明不成立，對于d，根據根據不等式的基本性質，即可證明成立解答：解：對于a，當a=1，b=1時，顯然不成立，對于b，當a=2，b=0時，顯然不成立，對于c，當a=1，b=1時，顯然不成立，對于dab，c20，根據不等式的基本性質，兩邊同乘以c2，ac2bc2，故選：d點評：本題考查不等式的性質的應用，屬于基礎題3（5分）已知正數組成的等比數列an，若a1a20=100，那么a7+a14的最小值為（）a20b25c50d不存在考點：等比數列的通項公式專題：等差數列與等比數列分析：由已知得a7+a142=2=2=20解答：解：正數組成的等比數列an，a1a20=100，a7+a142=2=2=20當且僅當a7=a14時，a7+a14取最小值20故選：a點評：本題考查等比數列中兩項和的最小值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用4（5分）若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值和最小值分別為（）a4和3b4和2c3和2d2和0考點：簡單線性規劃專題：計算題；不等式的解法及應用分析：先根據條件畫出可行域，設z=2x+y，再利用幾何意義求最值，將最小值轉化為y軸上的截距最大，只需求出直線，過可行域內的點n（1，0）時的最小值，過點m（2，0）時，2x+y最大，從而得到選項解答：解：滿足約束條件的可行域如下圖所示在坐標系中畫出可行域平移直線2x+y=0，經過點n（1，0）時，2x+y最小，最小值為：2，則目標函數z=2x+y的最小值為2經過點m（2，0）時，2x+y最大，最大值為：4，則目標函數z=2x+y的最大值為：4故選b點評：借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想線性規劃中的最優解，通常是利用平移直線法確定5（5分）已知某個幾何體的三視圖如下，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），那么可得這個幾何體的體積是（）acm3bcm3ccm3dcm3考點：由三視圖求面積、體積專題：計算題分析：由三視圖判斷幾何體為三棱錐，求出三棱錐的高與底面面積，代入棱錐的體積公式計算解答：解：由三視圖判斷幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為2，底面三角形底邊長和高都為2棱錐的體積v=222=（cm）故選c點評：本題考查由三視圖求幾何體的體積，解題的關鍵是判斷幾何體的形狀及相關數據所對應的幾何量6（5分）已知，滿足（2）=3，且|=1，=（1，1），則與的夾角為（）abcd考點：平面向量數量積的運算專題：計算題；平面向量及應用分析：求出|=，再由向量的平方即為模的平方，及向量的數量積的定義，即可得到夾角解答：解：由=（1，1），則|=，由（2）=3，得2=3，即有12|cos=3，即有cos=，由0，解得，=，故選c點評：本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查運算能力，屬于基礎題7（5分）設m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）a若m，n，則mnb若m，m，則c若mn，m，則nd若m，則m考點：空間中直線與平面之間的位置關系；空間中直線與直線之間的位置關系；平面與平面之間的位置關系專題：空間位置關系與距離分析：用直線與平面平行的性質定理判斷a的正誤；用直線與平面平行的性質定理判斷b的正誤；用線面垂直的判定定理判斷c的正誤；通過面面垂直的判定定理進行判斷d的正誤解答：解：a、m，n，則mn，m與n可能相交也可能異面，所以a不正確；b、m，m，則，還有與可能相交，所以b不正確；c、mn，m，則n，滿足直線與平面垂直的性質定理，故c正確d、m，則m，也可能m，也可能m=a，所以d不正確；故選c點評：本題主要考查線線，線面，面面平行關系及垂直關系的轉化，考查空間想象能力能力8（5分）已知函數若f（x）=cosxx，則f（x）在其定義域上零點的個數為（）a1個b3個c5個d7個考點：函數零點的判定定理專題：函數的性質及應用分析：畫出函數y=cosx和y=的圖象，讀出即可解答：解：令f（x）=0，得：cosx=，畫出函數y=cosx和y=的圖象，如圖示：，顯然函數在（0，）1個交點，在（，）2個交點，cos3=1，=lg31，函數y=在（0，+）遞減，兩個函數在（，）2個交點，共5個交點，故選：c點評：本題考查了函數的零點問題，考查了數形結合思想，是一道基礎題9（5分）函數f（x）=asin（x+）（其中a0，0，|）的圖象如圖所示，為了得到y=cos2x的圖象，則只要將f（x）的圖象（）a向左平移個單位長度b向右平移個單位長度c向左平移個單位長度d向右平移個單位長度考點：函數y=asin（x+）的圖象變換專題：計算題分析：先根據圖象確定a和t的值，進而根據三角函數最小正周期的求法求的值，再將特殊點代入求出值從而可確定函數f（x）的解析式，然后根據誘導公式將函數化為余弦函數，再平移即可解答：解：由圖象可知a=1，t=，=2f（x）=sin（2x+），又因為f（）=sin（+）=1+=+2k，=（kz）|，=f（x）=sin（2x+）=sin（+2x）=cos（2x）將函數f（x）向左平移可得到cos2（x+）=cos2x=y故選c點評：本題主要考查根據圖象求函數解析式和方法和三角函數的平移變換根據圖象求三角函數解析式時，一般先根據圖象確定a的值和最小正周期的值，進而求出w的值，再將特殊點代入求的值10（5分）已知定義在r上的可導函數y=f（x）的導函數為f（x），滿足f（x）f（x），且y=f（x+1）為偶函數，f（2）=1，則不等式f（x）ex的解集為（）a（，e4）b（e4，+）c（，0）d（0，+）考點：利用導數研究函數的單調性；奇偶性與單調性的綜合專題：導數的概念及應用分析：首先構造函數，研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解解答：解：y=f（x+1）為偶函數，y=f（x+1）的圖象關于x=0對稱，y=f（x）的圖象關于x=1對稱，f（2）=f（0），又f（2）=1，f（0）=1；設（xr），則，又f（x）f（x），f（x）f（x）0，g（x）0，y=g（x）單調遞減，f（x）ex，即g（x）1，又，g（x）g（0），x0，故答案為：（0，+）點評：本題首先須結合已知條件構造函數，然后考察用導數判斷函數的單調性，再由函數的單調性和函數值的大小關系，判斷自變量的大小關系，屬較難題二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11（5分）已知tan（）=，則tan=考點：兩角和與差的正切函數專題：三角函數的求值分析：利用誘導公式求出tan，通過tan=tan（）展開求解即可解答：解：tan（）=，可得tan，tan=tan（）=故答案為：點評：本題考查兩角和的正切函數的應用，角的變換的技巧是解題的關鍵12（5分）已知正數x，y滿足3x+4y=xy，則x+3y的最小值為25考點：基本不等式專題：不等式的解法及應用分析：由正數x，y滿足3x+4y=xy，可得利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出解答：解：由正數x，y滿足3x+4y=xy，x+3y=13+13+2=25，當且僅當x=2y=10時，取等號x+3y的最小值為25故答案為：25點評：本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，屬于基礎題13（5分）已知冪函數f（x）=（mz）在（0，+）上為增函數，且在其定義域內是偶函數，則m的值為1考點：冪函數的概念、解析式、定義域、值域專題：函數的性質及應用分析：根據冪函數f（x）在（0，+）上為增函數，求出m的取值范圍，再根據f（x）是定義域內的偶函數，求出m的值解答：解：冪函數f（x）在（0，+）上為增函數，m2+2m+30，即m22m30，解得1m3；又mz，m=0或m=1，或m=2；當m=0或m=2時，f（x）=x3在定義域內為奇函數，不滿足題意；當m=1時，f（x）=x4在定義域內是偶函數，滿足題意；綜上，m的值是1故答案為：1點評：本題考查了冪函數的定義和圖象與性質的應用問題，是基礎題目14（5分）已知p為abc所在的平面內一點，滿足的面積為2015，則abp的面積為1209考點：平面向量的基本定理及其意義專題：平面向量及應用分析：取ab中點d，根據已知條件便容易得到，所以三點d，p，c共線，并可以畫出圖形，根據圖形即可得到，所以便可得到解答：解：取ab中點d，則：=；d，p，c三點共線，如圖所示：；=1209故答案為：1209點評：向量加法的平行四邊形法則，以及共線向量基本定理，數形結合的方法及三角形面積公式15（5分）下列命題中，正確的為（把你認為正確的命題的序號都填上）函數y=e|x2|的圖象關于直線x=2對稱；若命題p為：xr，x2+10，則為：x0r，x02+10；r，函數f（x）=sin（2x+）都不是偶函數；（m1）（a1）0是logam0的必要不充分條件考點：命題的真假判斷與應用專題：簡易邏輯分析：把函數y=e|x2|的圖象向左平移2個單位可得y=e|x|，即可得出對稱性；由已知可得：p為：x0r，x02+10，即可判斷出；=（kz），使得函數f（x）=sin（2x+）=cos2x是偶函數；由（m1）（a1）0解得或，但是時，logam無意義，利用對數函數的單調性即可判斷出解答：解：把函數y=e|x2|的圖象向左平移2個單位可得y=e|x|，因此可得關于直線x=2對稱，正確；若命題p為：xr，x2+10，則p為：x0r，x02+10，因此不正確；=（kz），使得函數f（x）=sin（2x+）=cos2x是偶函數，因此不正確；由（m1）（a1）0解得或，但是時，logam無意義，利用對數函數的單調性可得（m1）（a1）0是logam0的必要不充分條件，正確故答案為：點評：本題考查了簡易邏輯的判定、指數類型函數與對數函數及三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題三、解答題：本大題共6小題，共75分.16（12分）已知數列an滿足an=an+1+2anan+1，且a1=1（1）證明是等差數列；（2）令bn=anan+1，求bn的前n項的和sn考點：數列的求和；等差關系的確定專題：等差數列與等比數列分析：（1）由數列an滿足an=an+1+2anan+1，且a1=1變形為=2，即可證明（2）由（1）可得：=2n1，an=于是bn=anan+1=利用“裂項求和”即可得出解答：證明：（1）數列an滿足an=an+1+2anan+1，且a1=1=2，是等差數列，首項為=1；（2）解：由（1）可得：=1+2（n1）=2n1，an=bn=anan+1=bn的前n項的和sn=+=點評：本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題17（12分）已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），其中（02）函數，其圖象的一條對稱軸為（i）求函數f（x）的表達式及單調遞增區間；（）在abc中，a、b、c分別為角a、b、c的對邊，s為其面積，若=1，b=1，sabc=，求a的值考點：數量積的坐標表達式；三角函數中的恒等變換應用；余弦定理專題：平面向量及應用分析：（i）利用效率低數量積公式求出f（x）；利用三角函數的二倍角公式化簡f（x）；利用對稱軸對應的函數值是最值；列出方程求出，求出f（x）；令整體角在上，求出x的范圍即函數的遞增區間（ii）先求出角a，利用三角形的面積公式列出方程求出c；利用三角形的余弦定理求出a解答：解：（i）f（x）=sinxcosx=當x=即02=1+2k解得k所以f（x）d的遞增區間為（ii）在abc中，0a，a+a=由sabc=，b=1得c=4由余弦定理得a2=42+12241cos60=13故a=點評：本題考查向量的數量積公式、考查三角函數的二倍角公式、求三角函數的單調區間采用整體角處理的方法、考查三角形的面積公式、三角形的正弦，余弦定理18（12分）正四棱錐sabcd中，o為底面中心，so=ab=2，e、f分別為sb、cd的中點（1）求證：ef平面sad；（2）若g為sc上一點，且sg：gc=2：1，求證：sc平面gbd考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定專題：證明題；空間位置關系與距離分析：（1）取sa的中點m，連接em、dm，可證四邊形efdm為平行四邊形，即可證明ef平面sad；（2）先證明scbd，在oc上取點h，使得oh：hc=2：1，連接gh、og，可得so，og，sg的值，從而由sg2+og2=+=4=so2可證sgog，即scog，又scbd，從而得證解答：證明：（1）取sa的中點m，連接em、dm，在sab中，enab，又df，四邊形efdm為平行四邊形efdm，又ef平面sad，dm平面sadef平面sad（2）so地面abcd，bd平面abcdsobd，又bdac，soac=o，so，ac平面sacbd平面sac，sc平面sacscbd在oc上取點h，使得oh：hc=2：1，連接gh、og，ghsoghocrtgho中，oh=oc=，gh=so=og=rtsoc中，sc=，sg=，sog中，sg2+og2=+=4=so2sgog，即scog，又scbd，og、bd平面gbd，ogbd=osc平面gbd點評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了轉化思想，屬于中檔題19（12分）已知正項等比數列an，其前n項和為sn，且滿足an+1an，s3=（1）求an的通項公式；（2）記數列bn=（2n+1）an，其前n項和為tn，求證：tn6考點：數列與不等式的綜合；等比數列的前n項和；等比數列的性質專題：等差數列與等比數列；不等式的解法及應用分析：（1）由已知列式求出等比數列的首項和公比，然后代入等比數列的通項公式得答案；（2）把an的通項公式代入bn=（2n+1）an，然后利用錯位相減法求數列的和，再放縮證明是列不等式解答：（1）解：an是各項均為正數的等比數列，設其公比為q，q0，由an+1an，得anqan，0q1，又，3q210q+3=0，解得或q=3則q=，a1=1；（2）bn=（2n+1）an=tn=b1+b2+bn=兩式作差得：又nn*，tn6點評：本題考查了等比數列的性質，考查了錯位相減法求數列的和，訓練了放縮法證明數列不等式，是壓軸題20（13分）已知函數f（x）=x36x2+9x（1）求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若a2，當xa，a+1時，求f（x）的最大值考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值專題：計算題；導數的綜合應用分析：（1）由題意求導f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），從而確定函數的單調區間與極值；（2）討論a的取值以確定函數在區間a，a+1上的單調性，從而求f（x）的最大值解答：解：（1）f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），故當x1或x3時，f（x）0；當1x3時，f（x）0；故f（x）的單調增區間為（，1），（3，+）；單調減區間為（1，3）；當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=4；當x=3時，f（x）取得極大值f（3）=0；（2）當a+11，即a0時，f（x）在a，a+1上單調遞增，所以fmax（x）=f（a+1）=a33a2+4；當a1a+1，即0a1時，f（x）在a，a+1上