第2章2 2橢圓 2 2 2橢圓的幾何性質 二 1 鞏固橢圓的簡單幾何性質 2 掌握直線與橢圓的三種位置關系 特別是直線與橢圓相交的有關問題 學習目標 知識梳理自主學習 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 欄目索引 知識梳理自主學習 知識點一點與橢圓的位置關系 答案 知識點二直線與橢圓的位置關系 消去y得到一個關于x的一元二次方程 兩 一 無 知識點三弦長公式 設直線方程為y kx m k 0 返回 其中 x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2的值 可通過由直線方程與橢圓方程聯立消去y 或x 后得到關于x 或y 的一元二次方程求得 題型探究重點突破 題型一直線與橢圓的位置關系 解析答案 反思與感悟 反思與感悟 并整理得4x2 3mx m2 7 0 9m2 16 m2 7 0 m2 16 m 4 本題將求最小距離問題轉化為直線與橢圓的位置關系問題 解此類問題的常規解法是直線方程與橢圓方程聯立 消去y或x得到關于x或y的一元二次方程 則 1 直線與橢圓相交 0 2 直線與橢圓相切 0 3 直線與橢圓相離 0 所以判定直線與橢圓的位置關系 方程及其判別式是最基本的工具 反思與感悟 跟蹤訓練1已知橢圓x2 8y2 8 在橢圓上求一點p 使p到直線l x y 4 0的距離最短 并求出最短距離 解析答案 解設與直線x y 4 0平行且與橢圓相切的直線為x y a 0 4a2 36 a2 8 0 解得a 3或a 3 與直線l距離較近的切線方程為x y 3 0 題型二直線與橢圓的相交弦問題 解析答案 反思與感悟 解由題意知直線l的斜率存在 所以可設直線l的方程為y 2 k x 4 而橢圓的方程可以化為x2 4y2 36 0 將直線方程代入橢圓方程有 4k2 1 x2 8k 4k 2 x 4 4k 2 2 36 0 研究直線與橢圓相交的關系問題的通法是通過解直線與橢圓構成的方程 利用根與系數的關系或中點坐標公式解決 涉及弦的中點 還可使用點差法 設出弦的兩端點坐標 代入橢圓方程 兩式相減即得弦的中點與斜率的關系 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓練2在橢圓x2 4y2 16中 求通過點m 2 1 且被這一點平分的弦所在的直線方程 解析答案 解方法一如果弦所在的直線的斜率不存在 即直線垂直于x軸 則點m 2 1 顯然不可能為這條弦的中點 故可設弦所在的直線方程為y k x 2 1 代入橢圓方程得x2 4 k x 2 1 2 16 即得 1 4k2 x2 16k2 8k x 16k2 16k 12 0 直線與橢圓有兩個交點 故 16 12k2 4k 3 0 直線方程為x 2y 4 0 方法二設弦的兩個端點分別為p x1 y1 q x2 y2 則x1 x2 4 y1 y2 2 p x1 y1 q x2 y2 在橢圓上 兩式相減得 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 點m 2 1 是pq的中點 故x1 x2 即x 2y 4 0 例3已知橢圓4x2 y2 1及直線y x m 1 當直線和橢圓有公共點時 求實數m的取值范圍 題型三橢圓中的最值 或范圍 問題 解析答案 因為直線與橢圓有公共點 反思與感悟 2 求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程 解設直線與橢圓交于a x1 y1 b x2 y2 兩點 由 1 知 5x2 2mx m2 1 0 所以當m 0時 ab最大 即被橢圓截得的弦最長 此時直線方程為y x 解析答案 反思與感悟 解析幾何中的綜合性問題很多 而且可與很多知識聯系在一起出題 例如不等式 三角函數 平面向量以及函數的最值問題等 解決這類問題需要正確地應用轉化思想 函數與方程思想和數形結合思想 其中應用比較多的是利用方程根與系數的關系構造等式或函數關系式 這其中要注意利用根的判別式來確定參數的限制條件 跟蹤訓練3如圖 點a是橢圓c 解析答案 a b 0 的短軸位于y軸下方的端點 過點a且斜率為1的直線交橢圓于點b 若p在y軸上 且bp x軸 1 若點p的坐標為 0 1 求橢圓c的標準方程 解 直線ab的斜率為1 bap 45 即b 2 且b 3 1 2 若點p的坐標為 0 t 求t的取值范圍 解由點p的坐標為 0 t 及點a位于x軸下方 得點a的坐標為 0 t 3 t 3 b 即b 3 t 顯然點b的坐標是 3 t 將它代入橢圓方程得 解析答案 返回 當堂檢測 1 2 3 4 5 解析答案 0 m 1或m0且m 3 m 1且m 3 1 2 3 4 5 2 已知橢圓的方程為2x2 3y2 m m 0 則此橢圓的離心率為 解析答案 1 2 3 4 5 右焦點分別為f1 f2 弦ab過f1 若 abf2的內切圓周長為 a b兩點的坐標分別為 x1 y1 x2 y2 則 y1 y2 的值為 解析答案 1 2 3 4 5 解析設p x y 解析答案 又x2 0 a2 2c2 a2 3c2 1 2 3 4 5 解析答案 點m的軌跡方程是x2 y2 c2 點m的軌跡是以原點為圓心的圓 其中f1f2為圓的直徑 由題意知 橢圓上的點p總在圓外 所以op c恒成立 由橢圓性質知op b b c a2 2c2 課堂小結 解決直線與橢圓的位置關系問題 經常利用設而不求的方法 解題步驟為 1 設直線