學案30數列的通項與求和導學目標： 1.能利用等差、等比數列前n項和公式及其性質求一些特殊數列的和.2.能在具體的問題情境中，識別數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題自主梳理1求數列的通項(1)數列前n項和sn與通項an的關系：an(2)當已知數列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用_求數列的通項an，常利用恒等式ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)(3)當已知數列an中，滿足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用_求數列的通項an，常利用恒等式ana1.(4)作新數列法：對由遞推公式給出的數列，經過變形后化歸成等差數列或等比數列來求通項(5)歸納、猜想、證明法2求數列的前n項的和(1)公式法等差數列前n項和sn_，推導方法：_；等比數列前n項和sn推導方法：乘公比，錯位相減法常見數列的前n項和：a123n_；b2462n_；c135(2n1)_；d122232n2_；e132333n3_.(2)分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列(3)拆項相消：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和常見的拆項公式有：；.(4)錯位相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和(5)倒序相加：例如，等差數列前n項和公式的推導自我檢測1(原創題)已知數列an的前n項的乘積為tn3n2(nn*)，則數列an的前n項的和為_2設an是公比為q的等比數列，sn是其前n項和，若sn是等差數列，則q_.3已知等比數列an的公比為4，且a1a220，故bnlog2an，則b2b4b6b2n_.4已知數列an的通項公式anlog2 (nn*)，設an的前n項的和為sn，則使sn5成立的自然數n的最小值為_5設關于x的不等式x2x2nx (nn*)的解集中整數的個數為an，數列an的前n項和為sn，則s100的值為_6數列1,4，7，10，前10項的和為_探究點一求通項公式例1已知數列an滿足an1，a12，求數列an的通項公式變式遷移1設數列an的前n項和為sn，已知a11，sn14an2.(1)設bnan12an，證明數列bn是等比數列；(2)求數列an的通項公式探究點二裂項相消法求和例2已知數列an，sn是其前n項和，且an7sn12(n2)，a12.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，tn是數列bn的前n項和，求使得tn0且q1)的等比數列，bnanlog4an (nn*)(1)當q5時，求數列bn的前n項和sn；(2)當q時，若bn1 020，那么n的最小值是_6數列an的前n項和為sn且a11，an13sn(n1,2,3，)，則log4s10_.7已知數列an滿足a11，a22，an2，則該數列前26項的和為_8對于數列an，定義數列an1an為數列an的“差數列”，若a12，an的“差數列”的通項為2n，則數列an的前n項和sn_.二、解答題(共42分)9(12分)已知函數f(x)x22(n1)xn25n7(nn*)(1)若函數f(x)的圖象的頂點的橫坐標構成數列an，試證明數列an是等差數列；(2)設函數f(x)的圖象的頂點到x軸的距離構成數列bn，試求數列bn的前n項和sn.10(14分)設等差數列an的前n項和為sn，且snnananc(c是常數，nn*)，a26.(1)求c的值及數列an的通項公式；(2)證明1，q2，a11.故數列an的通項為an2n1.(2)由(1)得a3n123n，bnln a3n1ln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差數列，tnb1b2bnln 2.故tnln 2.變式遷移14解析設a1，a2，a3，a4的公差為d，則a12d4，又0a12，所以1d4，故(2)正確；a4a3d5，所以b42a432，故(3)正確；又a2a42a38，所以b2b42a2a428256，故(4)正確例2解題導引這是一道數列、函數、不等式的綜合題，利用函數關系式求通項an，觀察tn特點，求出tn.由an再求bn從而求sn，最后利用不等式知識求出m.解(1)an1fan，an是以為公差的等差數列又a11，ann.(2)tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1)(a2a4a2n)(2n23n)(3)當n2時，bn，又b13，snb1b2bn，sn對一切nn*成立即，又遞增，且.，即m2 010.最小正整數m2 010.變式遷移2解(1)設等比數列an的首項為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解之，得或又an單調遞增，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，sn12222323n2n.2sn122223324(n1)2nn2n1.，得sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.由sn(nm)an10，即2n1n2n12n2n1m2n10對任意正整數n恒成立，m2n122n1對任意正整數n，m1，m1，即m的取值范圍是(，1例3解依題意，第1個月月余款為a110 000(120%)10 00020%10%30011 500，第2個月月底余款為a2a1(120%)a120%10%300，依此類推下去，設第n個月月底的余款為an元，第n1個月月底的余款為an1元，則an1an(120%)an20%10%3001.18an300.下面構造一等比數列設1.18，則an1x1.18an1.18x，an11.18an0.18x.0.18x300.x，即1.18.數列an是一個等比數列，公比為1.18，首項a111 500.an1.18n1，a121.1811，a121.181162 396.6(元)，即到年底該職工共有資金62 396.6元純收入有a1210 000(125%)62 396.612 50049 896.6(元)變式遷移3解(1)設中低價房的面積形成的數列為an，由題意可知an是等差數列，其中a1250，d50，則an250(n1)5050n200，sn250n5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整數，n10.到2020年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4 750萬平方米(2)設新建住房面積形成數列bn，由題意可知bn是等比數列，其中b1400，q1.08，則bn400(1.08)n1.由題意可知an0.85bn，即50n200400(1.08)n10.85.當n5時，a50.85b6，滿足上述不等式的最小正整數n為6.到2016年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.課后練習區1322.3.99147解析設至少需要n秒鐘，則121222n1100，100，n7.564解析依題意有anan12n，所以an1an22n1，兩式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比數列，a2，a4，a6，也成等比數列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532，又因為anan1bn，所以b10a10a1164.63解析該題是數列知識與函數知識的綜合an52n24n152，顯然當n2時，an取得最小值，當n1時，an取得最大值，此時x1，y2，xy3.721解析y(x2)2x，則過點(ak，a)的切線斜率為2ak，則切線方程為ya2ak(xak)，令y0，得a2ak(xak)，xak，即ak1ak.故an是a116，q的等比數列，即an16()n1，a1a3a5164121.8107解析由數表知，第一行1個奇數，第3行3個奇數，第5行5個奇數，第61行61個奇數，前61行用去13561961個奇數而2 009是第1 005個奇數，故應是第63行第44個數，即ij6344107.9解(1)f(1)a，f(x)x.(1分)a1f(1)cc，a2f(2)cf(1)c，a3f(3)cf(2)c；又數列an成等比數列，a1c，c1；(2分)公比q，ann12n，nn*；(3分)snsn1(n2)，(4分)又bn0，0，1.數列構成一個首項為1、公差為1的等差數列，1(n1)1n，snn2.(6分)當n2，bnsnsn1n2(n1)22n1；又當n1時，也適合上式，bn2n1，nn*.(8分)(2)tn.(12分)由tn，得n，滿足tn的最小正整數為112.(14分)10解設乙企業仍按現狀生產至第n個月所帶來的總收益為an(萬元)，技術改造后生產至第n個月所帶來的總收益為bn(萬元)依題意得an45n35(2n1)43nn2，(5分)當n5時，bn164(n5)40081n594，(10分)當n5時，bnann238n594，令n238n5940，即(n19)2955，解得n12，至少經過12個月，改造后的乙企業的累計總收益多于仍按現狀生產所帶來的總收益(14分)11(1)解令xn，y1，得到f(n1)f(n)f(1)