6.4數列求和考情分析掌握非等差、等比數列求和的幾種常見方法基礎知識數列求和的常用方法1公式法直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和(1)等差數列的前n項和公式：snna1d；(2)等比數列的前n項和公式：sn2倒序相加法如果一個數列an的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的3錯位相減法如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求，如等比數列的前n項和公式就是用此法推導的4裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和5分組轉化求和法一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減6并項求和法一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如，sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.注意事項1.一般數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和2.在利用裂項相消法求和時應注意：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應的兩項之差；(2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項3.(1)；(2)；(3).題型一公式法求和【例1】在等比數列an中，a39，a6243，求數列an的通項公式an及前n項和公式sn，并求a9和s8的值解在等比數列an中，設首項為a1，公比為q，由a39，a6243，得q327，q3.由a1q2a3，得9a19，a11.于是，數列an的通項公式為an13n13n1，前n項和公式為sn.由此得a93916 561，s83 280.【變式1】已知數列an是首項a14，公比q1的等比數列，sn是其前n項和，且4a1，a5，2a3成等差數列(1)求公比q的值；(2)求tna2a4a6a2n的值解(1)由題意得2a54a12a3.an是等比數列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首項為a24(1)4，公比為q21的等比數列，tnna24n.題型二分組轉化求和【例2】求和sn1.解和式中第k項為ak12.sn2222n2.【變式2】已知數列xn的首項x13，通項xn2npnq(nn*，p，q為常數)，且x1，x4，x5成等差數列求：(1)p，q的值；(2)數列xn前n項和sn的公式解(1)由x13，得2pq3，又因為x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以sn(2222n)(12n)2n12.題型三裂項相消法求和【例3】在數列an中，a11，當n2時，其前n項和sn滿足san. (1)求sn的表達式；(2)設bn，求bn的前n項和tn.解(1)san，ansnsn1(n2)，s(snsn1)，即2sn1snsn1sn，由題意sn1sn0，式兩邊同除以sn1sn，得2，數列是首項為1，公差為2的等差數列12(n1)2n1，sn.(2)又bn，tnb1b2bn.【訓練3】 在數列an中，an，又bn，求數列bn的前n項和sn.解an.bn8.sn88.題型四錯位相減法求和【例4】已知等差數列an滿足a20，a6a810.(1)求數列an的通項公式；(2)求數列的前n項和解(1)設等差數列an的公差為d，由已知條件可得解得故數列an的通項公式為an2n.(2)設數列的前n項和為sn，sn.記tn1，則tn，得：tn1，tn.即tn4.sn444.【變式4】 設數列an滿足a13a232a33n1an，nn*.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和sn.解(1)a13a232a33n1an，當n2時，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.當n1時，a1也適合上式，an.(2)bnn3n，sn13232333n3n，則3sn32233334n3n1，得：2sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.sn(13n).重難點突破【例5】已知等差數列an的前3項和為6，前8項和為4.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn(4an)qn1(q0，nn*)，求數列bn的前n項和sn.解析 (1)設an的公差為d，則由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n. (2)由(1)知，bnnqn1，于是sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式兩邊同乘以q.qsn1q12q2(n1)qn1nqn，兩式相減得：(1q)sn1q1q2qn1nqnnqn.sn.若q1，則sn123n，sn鞏固提高1已知數列an的前n項和snan2bn(a、br)，且s25100，則a12a14等于()a16b8c4 d不確定解析：由數列an的前n項和snan2bn(a、br)，可得數列an是等差數列，s25100，解得a1a258，所以a1a25a12a148.答案：b2數列an的通項公式an，若前n項的和為10，則項數為()a11 b99c120 d121解析：an，sn110，n120.答案：c3若數列an的通項公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10()a15 b12c12 d15解析：a1a2a1014710(1)10(3102)(14)(710)(1)9(392)(1)10(3102)3515.答案：a4若數列an為等比數列，且a11，q2，則tn的結果可化為()a1 b1c. d.解析：an2n1，設bn2n1，則