冪函數與二次函數 【選題明細表】知識點、方法題號二次函數的解析式7、12二次函數的圖象與性質2、3、4、6、8、10冪函數的圖象與性質1、5、9綜合問題11、12一、選擇題1.(2012山東煙臺模擬)冪函數y=f(x)的圖象經過點4,12,則f14的值為(b)(a)1(b)2(c)3(d)4解析:設f(x)=x,則4=12,=-12,即f(x)=x-12,于是f14=14-12=2.故選b.2.設abc0,二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象不可能是(d)解析:由abc0時,ab0,圖象可能為選項b.當c0,對稱軸x=-b2a0,圖象可能為選項a、c,圖象不可能為選項d.故選d.3.如果函數f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那么(a)(a)f(2)f(1)f(4)(b)f(1)f(2)f(4)(c)f(2)f(4)f(1)(d)f(4)f(2)f(1)解析:f(2+t)=f(2-t),f(x)關于x=2對稱,又開口向上.f(x)在2,+)上單調遞增,且f(1)=f(3).f(2)f(3)f(4),即f(2)f(1)f(4),故選a.4.函數f(x)=ax2+(a-3)x+1在區間-1,+)上是遞減的,則實數a的取值范圍是(d)(a)-3,0)(b)(-,-3(c)-2,0(d)-3,0解析:當a=0時,f(x)=-3x+1在-1,+)上遞減,故a=0時滿足題意.當a0時,要使f(x)在-1,+)上是減函數,則有a0,-a-32a-1,解得-3a0.綜上可知a的取值范圍是-3,0.故選d.5.(2013樂山市第一次調研考試)下圖給出四個冪函數的圖象,則圖象與函數大致對應的是(b)(a)y=x13,y=x2,y=x12,y=x-1(b)y=x3,y=x2,y=x12,y=x-1(c)y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1(d)y=x13,y=x12,y=x2,y=x-1解析:根據4個函數圖象的特征,可對作出簡單判斷,分別為y=x2,y=x-1,排除選項c,d;比較選項a,b可得選項b正確.6.(2012惠州市高三調研)已知函數f(x)=ax2+2ax+4(0a3),若x1x2,x1+x2=1-a,則(b)(a)f(x1)=f(x2)(b)f(x1)f(x2)(d)f(x1)與f(x2)的大小不能確定解析:函數的對稱軸為x=-1,設x0=x1+x22,由0a3得到-11-a212,又x10,=(m-3)2-4m10,解得01,則f(x)1;若0x1x2-x1;若0x1x2,則x2f(x1)x1f(x2);若0x1x2,則f(x1)+f(x2)21時,f(x)1,正確;對于,f(x2)-f(x1)x2-x11,可舉例(1,1),(4,2),故錯誤;對于,f(x1)-0x1-0f(x2)-0x2-0,說明圖象上兩點x1,x2到原點連線的斜率越來越大,由圖象可知,錯誤;對于,f(x1)+f(x2)22,即a-2時,函數在區間1,2上為減函數,故此時最小值為f(2)=4a+7;當1-a2,即-2a-1時,函數的最小值為f(-a)=-a2+3;當-a-1時,函數在區間1,2上為增函數,故此時最小值為f(1)=2a+4.綜上可知,當a-1時,最小值為2a+4.11.(2012開封模擬)已知函數f(x)=xm-2x且f(4)=72.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判斷f(x)在(0,+)上的單調性,并給予證明.解:(1)f(4)=72,4m-24=72,m=1.(2)由(1)知f(x)=x-2x,函數的定義域為(-,0)(0,+),關于原點對稱.又f(-x)=-x+2x=-x-2x=-f(x).所以函數f(x)是奇函數.(3)函數f(x)在(0,+)上是單調增函數,證明如下:設x1x20,則f(x1)-f(x2)=x1-2x1-x2-2x2=(x1-x2)1+2x1x2,因為x1x20,所以x1-x20,1+2x1x20.所以f(x1)f(x2).所以函數f(x)在(0,+)上為單調遞增函數.12.(2012湖南十二校一聯)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c和g(x)=ax2+bx+cln x(abc0).(1)證明:當a0對于一切x0恒成立,從而必有2ax2+bx+c0對于一切x0恒成立.又a0對于一切x0恒成立是不可能的.因此當a0),不妨設x2x10,則k=g(x1)-g(x2)x1-x2=a(x12-x22)+b(x1-x2)+clnx1x2x1-x2=2ax0+b+clnx1x2x1-x2.又g(x0)=2ax0+b+cx0,若g(x)為“k函數”,則必滿足k=g(x0),即有2ax0+b+clnx1x2x1-x2=2ax0+b+cx0,也即clnx1x2x1-x2=2cx1+x2(c0),所以lnx1x2x1-x2=2