排列組合常見題型及解法1 重復排列“求冪運算” 重復排列問題要區分兩類元素：一類可以重復，另一類不能重復。把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題。例1 8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（ ） 解析 冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍。把8名學生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可住進任意一家“店”，每個客有8種可能，因此共有種不同的結果。2. 特殊元素（位置）用優先法:把有限制條件的元素（位置）稱為特殊元素（位置），可優先將它（們）安排好，后再安排其它元素。對于這類問題一般采取特殊元素（位置）優先安排的方法。例1. 6人站成一橫排，其中甲不站左端也不站右端，有多少種不同站法？解法1：（元素分析法）因為甲不能站左右兩端，故第一步先讓甲排在左右兩端之間的任一位置上，有種站法；第二步再讓其余的5人站在其他5個位置上，有種站法，故站法有：480（種）解法2：（位置分析法）因為左右兩端不站甲，故第一步先從甲以外的5個人中任選兩人站在左右兩端，有種；第二步再讓剩余的4個人（含甲）站在中間4個位置，有種，故站法共有：（種）例2（2000年全國高考題）乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有_種（用數字作答）。解析3名主力的位置確定在一、三、五位中選擇，將他們優先安排，有種可能；然后從其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，有種排法。因此結果為=252種。例3 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數列？解析按一定次序排列的一列數叫做數列。由于7個位置不同，故只要優先選兩個位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”）。因此，一共可以組成=21個不同的數列。3. 相鄰問題用捆綁法:對于要求某幾個元素必須排在一起的問題，可用“捆綁法”“捆綁”為一個“大元素：與其他元素進行排列，然后相鄰元素內部再進行排列。例1.（1996年上海高考題）有8本不同的書，其中數學書3本，外文書2本，其他書3本，若將這些書排成一列放在書架上，則數學書恰好排在一起，外文書也恰好排在一起的排法共有_種（結果用數字表示）。解析將數學書與外文書分別捆在一起與其它3本書一起排，有種排法，再將3本數學書之間交換有種，2本外文書之間交換有種，故共有=1440種排法。評述這里需要說明的是，有一類問題是兩個已知元素之間有固定間隔時，也用“捆綁法”解決。如：7個人排成一排，其中甲乙兩人之間有且只有一人，問有多少種不同的排法？可將甲乙兩人和中間所插一人“捆綁”在一起做“大元素”，但甲乙兩人位置可對調，且中間一人可從其余5人中任取，有種排法。4. 相離問題用插空法:元素相離（即不相鄰）問題，可以先將其他元素排好，然后再將不相鄰的元素插入已排好的元素位置之間和兩端的空中。例. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相鄰有多少種排法？解：先將其余4人排成一排，有種，再往4人之間及兩端的5個空位中讓甲、乙、丙插入，有種，所以排法共有：（種）5. 定序(順序一定)問題用除法:對于在排列中，當某些元素次序一定時，可用此法。例. 由數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的六位數有多少個？解：不考慮限制條件，組成的六位數有種，其中個位與十位上的數字一定，所以所求的六位數有：（個）6. 多排問題用直排法:對于把幾個元素分成若干排的排列問題，若沒有其他特殊要求，可采取統一成一排的方法求解。例5. 9個人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，則不同的坐法共有多少種？解：9個人可以在三排中隨意就坐，無其他限制條件，三排可以看作一排來處理，不同的坐標共有種。7. 至少問題正難則反“排除法”:有些問題從正面考慮較為復雜而不易得出答案，這時，可以采用轉化思想從問題的反面入手考慮，然后去掉不符合條件的方法種數往往會取得意想不到的效果。在應用此法時要注意做到不重不漏。例1. 四面體的頂點和各棱中點共有10個點，取其中4個不共面的點，則不同的取法共有（ ）A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種解：從10個點中任取4個點有種取法，其中4點共面的情況有三類。第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面內，有種；第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；第三類，由中位線構成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），它的4個點共面，有3種。以上三類情況不合要求應減掉，所以不同的取法共有：（種）。8錯位排列問題:錯位排列問題是一個古老的問題，最先由貝努利（Bernoulli）提出，其通常提法是：n個有序元素，全部改變其位置的排列數是多少？所以稱之為“錯位”問題。例1五個編號為1、2、3、4、5的小球放進5個編號為1、2、3、4、5的小盒里面，全錯位排列（即1不放1，2不放2，3不放3，4不放4，5不放5，也就是說5個全部放錯）一共有多少種放法？ 【華圖解析】直接求5個小球的全錯位排列不容易，我們先從簡單的開始。 小球數/小盒數 全錯位排列 1 0 2 1（即2、1） 3 2（即3、1、2和2、3、1） 4 9 5 44 6 265當小球數/小盒數為13時，比較簡單，而當為46時，略顯復雜，考生們只需要記下這幾個數字即可（其實0，1，2，9，44，265是一個有規律的數字推理題，9=(1+2)*3；44=(2+9)*4；265=(44+9)*5；(44+265)*6=1854）由上述分析可得，5個小球的全錯位排列為44種。例2五個瓶子都貼了標簽，其中恰好貼錯了三個，則錯的可能情況共有多少種？【華圖解析】做此類題目時通常分為兩步：第一步，從五個瓶子中選出三個，共有種選法；第二步，將三個瓶子全部貼錯，根據上表有2種貼法。則恰好貼錯三個瓶子的情況有種。接下來，考生們再想這樣一個問題：五個瓶子中，恰好貼錯三個是不是就是恰好貼對兩個呢？答案是肯定的，是。那么能不能這樣考慮呢？第一步，從五個瓶子中選出二個瓶子，共有種選法；第二步，將兩個瓶子全部貼對，只有1種方法，那么恰好貼對兩個瓶子的方法有種。 問題出來了，為什么從貼錯的角度考慮是20種貼法，而從貼對的角度考慮是10種貼法呢? 答案是，后者的解題過程是錯誤的，這種考慮只涉及到兩個瓶子而沒有考慮其他三個瓶子的標簽正確與否，給瓶子貼標簽的過程是不完整的，只能保證至少有兩個瓶子的標簽是正確的，而不能保證恰有兩個瓶子的標簽是正確的。所以華圖公務員考試輔導專家王永恒老師建議各位考生在處理錯位排列問題時，無論問恰好貼錯還是問恰好貼對，都要從貼錯的角度去考慮，這樣處理問題簡單且不易出錯。9. “隔板法”:常用于解決整數分解型排列、組合的問題。例:為構建和諧社會出一份力，一文藝團體下基層宣傳演出，準備的節目表中原有4個歌舞節目，如果保持這些節目的相對順序不變，擬再添2個小品節目，則不同的排列方法有多少種？ 分析：記兩個小品節目分別為A、B。先排A節目。根據A節目前后的歌舞節目數目考慮方法數，相當于把4個球分成兩堆，由例26知有 種方法。這一步完成后就有5個節目了。再考慮需加入的B節目前后的節目數，同上理知有 種方法。故由乘法原理知，共有 種方法。 【小結】對本題所需插入的兩個隔板采取先后依次插入的方法，使問題得到巧妙解決。例. 有10個三好學生名額，分配到6個班，每班至少1個名額，共有多少種不同的分配方案？解：6個班，可用5個隔板，將10個名額并排成一排，名額之間有9個空，將5個隔板插入9個空，每一種插法，對應一種分配方案，故方案有：（種）10分球入盒問題例32：將5個小球放到3個盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法？ 小球不同，盒子不同，盒子不空解：將小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3個不同的盒子中，即先分堆，后分配。有小球不同，盒子不同，盒子可空 解：種小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要將5個不同小球分成3份，分法為：1，1，3；1，2，2。共有=25種小球不同，盒子相同，盒子可空本題即是將5個不同小球分成1份，2份，3份的問題。共有種小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0 00 00 ，有種方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5個小球及插入的2個隔板都設為小球（7個球）。7個球中任選兩個變為隔板（可以相鄰）。那么2塊隔板分成3份的小球數對應于 相應的3個不同盒子。故有=21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5個相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2種小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要將將5個相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，1； 2，2，1。例、有4個不同的小球，放入4個不同的盒子內，球全部放入盒子內（1）共有幾種放法？（答：）（2）恰有1個空盒，有幾種放法？（答：）（3）恰有1個盒子內有2個球，有幾種放法？（答：）（4）恰有2個盒子不放球，有幾種放法？（答：）11分組問題與分配問題分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例。有9個不同的文具盒：（1）將其平均分成三組；（2）將其分成三組，每組個數2，3，4。上述問題各有多少種不同的分法？分析：（1）此題屬于分組問題：先取3個為第一組，有 種分法，再取3個不第二組，有種分法，剩下3個為第三組，有 種分法，由于三組之間沒有順序，故有種分法。（2）同（1），共有種分法，因三組個數各不相同，故不必再除以。練習：12個學生平均分成3組，參加制作航空模型活動，3個教師各參加一組進行指導，問有多少種分組方法？分配問題： 定額分配，組合處理； 隨機分配，先組后排。例。有9本不同的書：（1）分給甲2本，乙3本，丙4本；（2）分給三個人，分別得2本，3本，4本。上述問題各有多少種不同的分法？（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有種；再讓乙選，有種；剩下的給丙，有種，共有種不同的分法（2）此題是隨機分配問題：先將9本書分成2本，3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個人，共有種不同的分法。【評述】本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列 概率、隨機事件的概率例1 某商業銀行為儲戶提供的密碼有0，1，2，9中的6個數字組成.(1)某人隨意按下6個數字，按對自己的儲蓄卡的密碼的概率是多少？(2)某人忘記了自己儲蓄卡的第6位數字，隨意按下一個數字進行試驗，按對自己的密碼的概率是多少？解 （1）儲蓄卡上的數字是可以重復的，每一個6位密碼上的每一個數字都有0，1，2，9這10種，正確的結果有1種，其概率為，隨意按下6個數字相當于隨意按下個，隨意按下6個數字相當于隨意按下個密碼之一，其概率是.(2)以該人記憶自己的儲蓄卡上的密碼在前5個正確的前提下，隨意按下一個數字，等可能性的結果為0，1，2，9這10種，正確的結果有1種，其概率為.例2 一個口袋內有m個白球和n個黑球，從中任取3個球，這3個球恰好是2白1黑的概率是多少？（用組合數表示）解 設事件I是“從m個白球和n個黑球中任選3個球”，要對應集合I1，事件A是“從m個白球中任選2個球，從n個黑球中任選一個球”，本題是等可能性事件問題，且Card(I1)= ，于是P(A)=.、互斥事件有一個發生的概率例3在20件產品中有15件正品，5件次品，從中任取3件，求：（1）恰有1件次品的概率；（2）至少有1件次品的概率.解 （1）從20件產品中任取3件的取法有，其中恰有1件次品的取法為。恰有一件次品的概率P=.(2)法一 從20件產品中任取3件，其中恰有1件次品為事件A1,恰有2件次品為事件A2，3件全是次品為事件A3,則它們的概率P(A1)= =,而事件A1、A2、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= .法二 記從20件產品中任取3件，3件全是正品為事件A，那么任取3件，至少有1件次品為，根據對立事件的概率加法公式P()=例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊4種花色，每種13張，共52張，從1副洗好的牌中任取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.解 從52張牌中任取4張，有種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“4張全是黑桃”，共有種取法注 研究至少情況時，分類要清楚。、相互獨立事件同時發生的概率來源:學+科+網例5 獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為0.5，如果第一次射擊未中，則獵人進行第二次射擊，但距離150米. 如果第二次射擊又未中，則獵人進行第三次射擊，并且在發射瞬間距離為200米. 已知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率.解 記三次射擊依次為事件A，B，C，其中,由，求得k=5000。,命中野兔的概率為例6 要制造一種機器零件，甲機床廢品率為0.05，而乙機床廢品率為0.1，而它們的生產是獨立的，從它們制造的產品中，分別任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件廢品的概率； （2）其中至多有一件廢品的概率. 解： 設事件A為“從甲機床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機床抽得的一件是廢品”.則P（A）=0.05, P(B)=0.1,（1）至少有一件廢品的概率（2）至多有一件廢品的概率、概率內容的新概念較多，本課時就學生易犯錯誤作如下歸納總結：類型一 “非等可能”與“等可能”混同例1 擲兩枚骰子，求所得的點數之和為6的概率錯解 擲兩枚骰子出現的點數之和2，3，4，12共11種基本事件，所以概率為P=剖析 以上11種基本事件不是等可能的，如點數和2只有(1，1)，而點數之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數之和為6”的概率為P=類型二 “互斥”與“對立”混同例2 把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是（ ） A對立事件 B不可能事件 C互斥但不對立事件 D以上均不對錯解 A剖析 本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立”混同，二者的聯系與區別主要體現在 ： (1)兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；(2)互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；(3)兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發生 事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發生，一個不發生，可能兩個都不發生，所以應選C類型三 “互斥”與“獨立”混同例3 甲投籃命中率為O8，乙投籃命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?錯解 設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件A+B，P(A+B)=P(A)+P(B)： 剖析 本題錯誤的原因是把相互獨立同時發生的事件當成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和互斥事件是指兩個事件不可能同時發生；兩事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個事件間的關系，但所描繪的關系是根本不同解： 設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，且A，B相互獨立，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，于是P(AB)=P(A)P(B)= 0.169幾何概型1、【2012高考真題遼寧理10】在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，領邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】設線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C2、【2012高考真題湖北理8】如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓. 在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是A BC D【答案】A第8題圖【解析】令，扇形OAB為對稱圖形，ACBD圍成面積為，圍成OC為，作對稱軸OD，則過C點。即為以OA為直徑的半圓面積減去三角形OAC的面積，。在扇形OAD中為扇形面積減去三角形OAC面積和，扇形OAB面積，選A.3、【2012高考真題北京理2】設不等式組，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】題目中表示的區域如圖正方形所示，而動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一圓的面積部分，因此，故選D。 練習：一、從10位同學（其中6女，4男）中隨機選出3位參加測驗.每位女同學能通過測驗的概率均為，每位男同學能通過測驗的概率均為.試求：（）選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率；（）10位同學中的女同學甲和男同學乙同時被選中且通過測驗的概率. (2004年全國卷)解：本小題主要考查組合，概率等基本概念，獨立事件和互斥事件的概率以及運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分.解：（）隨機選出的3位同學中，至少有一位男同學的概率為 1；6分（）甲、乙被選中且能通過測驗的概率為 ；12分二、 已知8支球隊中有3支弱隊,以抽簽方式將這8支球隊分為A、B兩組,每組4支.求：（）A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；（）A組中至少有兩支弱隊的概率. (2004年全國卷)解：（）解法一：三支弱隊在同一組的概率為 故有一組恰有兩支弱隊的概率為解法二：有一組恰有兩支弱隊的概率（）解法一：A組中至少有兩支弱隊的概率 解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊的概率為1，由于對A組和B組來說，至少有兩支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有兩支弱隊的概率為三、為防止某突發事件發生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲