管衛東輕松考數學 高考大題中的通解思維管衛東輕松考數學 高考大題中的通解思維管衛東輕松考數學 高考大題中的通解思維管衛東輕松考數學 高考大題中的通解思維 當前教學上喜歡講究一題多解 因為這樣能夠鍛煉學生的做題思維和技巧 但是搏眾高考中心 今天我們要反其道而行之 那就是一解多題 數學大題表面上是很難 但是通過多年的教學積累和經驗總結 我們發現數學整個學科的解題 思維基本上趨于一致 能夠形成通解 使我們在數學教學上大幅的簡化 甚至不需要刻意的思考 我們借助一下歷年高考真題 看看是不是能夠用一種方法或一種思維進行解答 這里 我們全部采 用 05 08 全國 I 卷的最后一題 發現是數列 函數或不等式題 沒關系 題型不一樣 看看是否能 用固定的思維解法 解題步驟中存在什么樣的共性 05 全國卷 已知函數 1 0 2 74 2 x x x xf 求 xf的單調區間和值域 設1 a 函數g xxa xax 32 3201 若對于任意x101 總存在 x001 使得 10 xfxg 成立 求a的取值范圍 解析 本題看似式子復雜 但是第一問直接可根據定義去做 這個分數必須拿到 根據定義得 出以下式子 解 I 對函數 xf求導 得 22 2 2 72 12 2 7164 x xx x xx xf 到這步幾乎大家都會 題目問的是的單調區間和值域 很多人看到這個式子不敢往下分析 其實仍舊跟據定義 令 0 xf解得 2 7 2 1 xx或 然后做表分析即可 思考 憑什么令思考 憑什么令0 xf 當x變化時 xfxf 的變化情況如下表 所以 當 2 1 0 x時 xf是減函數 當 1 2 1 x時 xf是增函數 當 1 0 x時 xf的值域為 4 3 第二問很多人看題目就暈菜了 其實這道題即使你不會分析 大膽的往下做 就能把題目做對 我們思考下 題目給的條件和我們要求的差距點是什么 題目給的條件和我們要求的差距點是什么 這道題的差距點雖然較大 但是用這種求 差值的思想是能一步步走下去的 題目給的是 g x x1和 x0 并且給了范圍 要我們求解 a 的范圍 要 想求 a 的值 就必須列出 a 的表達式 a 的表達式想要列出 就必須從 g x 入手 題目給的信息 除了區間就沒有其他能利用的條件了 既然題目給的是區間 因此我們不妨對函數 xg求導 得 3 22 axxg 思考思考 憑什么進行求導 目的是什么 憑什么進行求導 目的是什么 到了這一步 由于題目告訴我們1 a 所以當 1 0 x時 0 1 3 2 axg 因此當因此當 1 0 x時時 xg為減函數為減函數 從而當從而當 1 0 x時有時有 0 1 ggxg 這個就是我們所這個就是我們所 要的缺失條件 要的缺失條件 到這里可能同學們清楚了為什么要進行求導 因為題目給了我們取值區間 要想求 出 a 值 只要判斷這個函數的增減性就行了 這就是條件差異彌補的推導思想 由于知道函數的增 減性 就容易了 馬上可列出馬上可列出 a a a a 的表達式 的表達式 又 2 0 321 1 2 agaag 即當 1 0 x時有 2 321 2 aaaxg 有人說這個 不是表達式 還是個未知數 沒關系 我們再用同樣的思想去走 發現現在能利用的條件也異常清 楚了 因為就這個沒用上了 任給 1 0 1 x 3 4 1 xf 存在 1 0 0 x使得 10 xfxg 則 123243 2 aaa 即 12341 232 2 aa a 解得 3 5 1 aa或 2 3 a 又1 a 故a的取值范圍為 2 3 1 a 評析 這道題式子復雜 05 年高考時候正確率非常之低 但是其中的解題過程并不復雜 思維 方向也十分明確 只是考題將多個概念進行轉換 條件隱蔽的相對較深 數學題的核心就是知識點 與邏輯能力的結合 但是總的思想是異常相似的 幾乎全部的解答題都可以用一個思維來做 就是就是 條件差異彌補法條件差異彌補法 和和 必要性思維必要性思維 所謂的 必要性思維 指的是要想獲取某個結果 必須獲 得的前提是什么 多屬于逆推 兩者的道理是一樣的 這里我們總結出這道題的思維步驟和解題步驟 全部的思維步驟 全部的思維步驟 全部的思維步驟 全部的思維步驟 1 1 1 1 嚴格按照題目的要求 判斷要我們干什么嚴格按照題目的要求 判斷要我們干什么 2 2 2 2 找出題目給的條件和我們要求的差距點是什么找出題目給的條件和我們要求的差距點是什么 3 3 3 3 利用利用 找后補找后補 或或 找前提找前提 的方式彌補出這個差距的方式彌補出這個差距 4 4 4 4 最終聯系條件得出這個結論最終聯系條件得出這個結論 固定的解題步驟 固定的解題步驟 固定的解題步驟 固定的解題步驟 1 1 1 1 直接根據課本定義得出結論 某類題注意取值分析 直接根據課本定義得出結論 某類題注意取值分析 2 2 2 2 用求同存異的思想進行條件轉換用求同存異的思想進行條件轉換 3 3 3 3 函數用式子變形推出結果 引申 若是證明 數列用數學歸納法 函數用式子變形推出結果 引申 若是證明 數列用數學歸納法 我們來看下道題 是否能夠套用以上結論 06 全國卷 設數列 n a的前n項的和 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n 求首項 1 a與通項 n a 設 2n n n T S 1 2 3 n 證明 1 3 2 n i i T 解析 題目直接要求我們求首項和通項 由于我們知道通項和 Sn 公式 就能直接根據定義來做就能直接根據定義來做 解 由 Sn 4 3an 1 3 2 n 1 2 3 n 1 2 3 得 a1 S1 4 3a1 1 3 4 2 3 所以 a1 2 再由 有 Sn 1 4 3an 1 1 3 2 n 2 3 n 2 3 4 將 和 相減得 an Sn Sn 1 4 3 an an 1 1 3 2 n 1 2n n 2 3 做到這一步相信大家都會 那么我 們要求an公式 通過這個式子 我們發現差距點在我們發現差距點在 a a a an n n n a a a an n n n 1 1 1 1 同時可以 同時可以 2 2 2 2n 1 n 1n 1n 1 2 2 2 2n n n n也是相差一次也是相差一次 因因 此直接提出后此直接提出后 可以得出可以得出 a a a an n n n 2 2 2 2n n n n 4 a 4 a 4 a 4 an n n n 1 1 1 1 2 2 2 2n n n n 1 1 1 1 n 2 3 n 2 3 n 2 3 n 2 3 這個就是我們所彌補的缺失點 這個就是我們所彌補的缺失點 因而數 列 an 2n 是首項為 a1 2 4 公比為 4 的等比數列 即 an 2n 4 4n 1 4n n 1 2 3 因而 an 4n 2n n 1 2 3 做到這里 我們要問自己憑什么這么轉化我們要問自己憑什么這么轉化 我們所求的 an和得到的結果 an與 an 1 存在 差異點 要想把這個差異點彌補 就把他們之間的關系列出 就能得出結論 第二問是數學證明 首先可以考慮數學歸納法證明 但是這題題設與我們得到的結論差距較少 直接求解較快 如果為求穩妥 建議用數學歸納法 如果為求穩妥 建議用數學歸納法 看看直接求解的思路 題目讓干嘛就干嘛 別多想 直接用定義 題目讓干嘛就干嘛 別多想 直接用定義 題目給的是 2n n n T S 這個式子 那么必須求出 Sn 將 an 4n 2n代入 得 Sn 4 3 4 n 2n 1 3 2 n 1 2 3 1 3 2 n 1 1 2n 1 2 請思考 請思考 2 3 2 n 1 1 2n 1 然后求出 Tn 和 1 n i i T 問題與題目的差距點 并想辦法補上問題與題目的差距點 并想辦法補上 Tn 2n Sn 3 2 2n 2n 1 1 2n 1 3 2 1 2n 1 1 2n 1 1 所以 1 n i i T 3 2 1 n i 1 2i 1 1 2i 1 1 3 2 1 21 1 1 2i 1 1 3 2 評析 這題本身難度不高 但是第一步的難度較大 但是用上必要性思維和求差距思想 要想 獲得 an通項 必須結合起來解答 全部的難點僅此而已 總體而言 全部的解題思維是驚人的趨于 一致的 不信 看下道題 07 全國卷 已知數列 n a中 1 2a 1 21 2 nn aa 12 3n 求 n a的通項公式 若數列 n b中 1 2b 1 34 23 n n n b b b 12 3n 證明 43 2 nn ba 12 3n 07 全國卷 解析 發現這題的做法思路完全和 06 年的一致 顯然不能一步到位 還是先求 出 an與某個數的關系式 題目告訴我們 1 21 2 nn aa 說明差距體現在21 上 用這 個式子來決定我做題的方向 解 由題設 1 21 2 nn aa 21 2 21 22 n a 21 2 2 n a 1 2 21 2 nn aa 所以 數列 2 n a 是首項為22 公比為21 的等比數列 22 21 n n a 即 n a的通項公式為2 21 1 n n a 12 3n 這道題難在第一步不知道如何去想 題目告訴我們的條件似乎比較棘手 但是用這種 追求差 異 并想法彌補的思維定式去做 很容易就將題目解答出來了 對于高考 方法越簡單越實用越好 尤其是第二步給出了個看似復雜的式子 我們沒有必要花費過多的精力推導 直接用數學歸納法即 可 過程略 評析 整體難度其實不大 但是看起來比較有難度 我們只要沿用這種求同存異的 補差 思 想 還是非常容易做的 甚至連計算都不難 看到這里 大家應該能用這種思維去做其他題了吧 我們日常遇見的題型雖然各有差異 其實 總的做題思維真的沒有太多差距 并且在解題步驟上也十分類同 大家不妨用這種思維去看看 08 的 最后一題 08 全國卷 設函數 lnf xxxx 數列 n a滿足 1 01a 1 nn af a 證明 函數 f x在區間 01 是增函數 證明 1 1 nn aa 簡要解析 看看 08 高考題型結合函數了 依舊用同一個思想 第一步 依舊是題目讓干嘛就干 嘛 求函數增減性 直接用定義 要證明 數學歸納法 解 第一步 略 第二步證明 發現第一步函數的增減性可以直接利用 直接用數學歸納法 第三步較為復雜 沒關系 這題表面是數列 其實考察的是不等式 無論是哪類題型 其根本點還 是從條件中尋求差異 要我們證明 1k ab 給的條件是設 1 1 ba 整數 1 1ln ab k ab 依舊是以 必要性思維 來思考 要想獲得 1k ab 這個結論 必須列出他們的表達 要想列出他們的表達 必須利用有這兩個字母的條件 我們發現題目有 lnf xxxx 和 1 nn af a 然后就能輕松的 得出結論 由 lnf xxxx 1 nn af a kkkk aababaln 1 1 1 ln k ii i abaa 到 了這里 幾乎全部出來了 1 若存在某ik 滿足 i ab 則由第二步可知 1ki abab 則 kkkk aababaln 1 1 1 ln k ii i abaa 1 1 ln k i i abab 1 1 ln k i i abab bkabaln 11 bkabaln 11 11 baba 0 即 1k ab 成立 解析 這道題出的十分經典 即考察定義 又綜合了多個知識點 同時式子看起來比較能夠 嚇 唬 人 思維跳躍過程很大 但是計算本身并不復雜 這題失分率非常之高 第一步的過程就把很 多學生難倒 這是不應該的 其實無論多難的數學題 解題的根本方法是從題目本身入手 題目讓 干嘛就干嘛 要我們做什么就自然而然的做 而不是看到題就聯系知識點套用 那樣只能做簡單的 題 對付這類靈活多變的綜合題 我們要在做題過程中形成這種相對固定的解題思路 達到用一招 就能化解多題 做一題 會百題的效果 縱觀近年數學考題 幾乎都可以用這種思維拿下 當然這是站在數學的理解基礎上 核心原則核心原則 是以題做題 挖掘各類題型思維的共性 這樣才能在數學考試上戰無不勝 攻無不克 是以題做題 挖掘各類題型思維的共性 這樣才能在數學考試上戰無不勝 攻無不克 09 試題的題型雖然比較獨特 但是看看能否用這種思維來作出這道題呢 我們看看 設函數 32 33f xxbxcx 在兩個極值點 12 xx 且 11 10 1 2 xx I 求bc 滿足的約束條件 并在下面的坐標平面內 畫出 滿足這些條件的點 b c的區域 II 證明 2 1 10 2 f x 解析 不管這道題的問法是什么 拿到題后還是先關注題目讓 我們干什么 題目意圖是讓我們畫出關于 f x 成立 bc 的條件范 圍 我們什么都不要想 直接順著題意來 2 363fxxbxc 由題意知方程 0fx 有兩個根 12 xx 1 10 x 且 2 1 2 x 則有 10f 00f 1020ff 故有 這個不等式組全部轉化為 c 的表達式 出來后就能通過坐標系畫圖 它們 圍起來的區域就是所得的區域 之所以要求導 是因為導數 0 時是極值點 這個就是直接根據定義得來的 符合我們說的通解思維 具體圖不畫了 第 II 問很多考生就不會做了 因為有一定的區分度 更主要原因是含字母較 多 不易找到突破口 來看我們的思想原則 首先找出題目給的條件和我們要求的差距點是什么找出題目給的條件和我們要求的差距點是什么 然后利用然后利用 找后補找后補 或或 找前提找前提 的方式彌補出這個差距的方式彌補出這個差距 題目讓我們干嘛就干嘛題目讓我們干嘛就干嘛 本題讓我們 證明 2 1 10 2 f x 既然是要求 x2 我們不妨想辦法列出 f x2 的表達 從題目給的極值 和 x2的 取 值 范 圍 我 們 不 妨 根 據 定 義 對 32 2222 33f xxbxcx 求 導 得 出 2 222 3630fxxbxc 有了這個式子 我們看看還有什么條件沒用上 轉化一步 寫成 cxbx 2 1 2 1 2 22 那么直接消去 b 得 3 222 13 22 c f xxx 為什么要消去 b 呢 因為由第 一步大家畫的區域可以知道 b c 的取值范圍 我們只有將 2 xf轉為 b 或 c 的表達式 才能得出 結果 這是由題目條件的差異來決定的 當考生拿到題的時候 第一時間要朝著 能利用 的方 向轉化 要想證明要想證明 2 xf這個式子這個式子