高中數學中的易忘、易錯、易混點梳理杭州學軍中學 特級教師 馮定應本文發表于青年時報高三數學復習的策略非常重要，如果在復習中心浮氣躁、東一榔頭西一棒，或者不根據自己的實際情況，盲目地隨大流，都難以取得良好的復習效果。為了爭取最佳的復習效果，在高三后期及時調整自己的復習方略是非常必要的。 確定復習策略的依據有兩條，一是高考的考試大綱（或考試說明），二是自己的實際情況。復習工作的目的，就是努力使自己的數學水平達到考試大綱的要求。經常梳理自己的知識系統，結合自己的具體情況制定數學復習策略，及時調整數學復習方法，是每一位同學都需要重視的工作。只有摸清自己的易忘、易錯、易混點，才能完善學科知識和能力結構，明確復習重點，做到查漏補缺。系統地梳理知識，需要用心體會，耐心地將平時含糊不清、似是而非的概念、公式徹底理清。如：異面直線上兩點間的距離公式中正、負號如何確定；給定區間內，求二次函數的最值的討論依據是什么；的圖形變換的順序；應用導數確定函數極值點、單調區間的基本步驟等等，這一些易忘點、易錯點、易混點，需要自己及時“回到課本”逐一弄懂，千萬不能一帶而過，也不要以為記住概念和公式就萬事大吉了。例如，梳理“數列求和”不但要求記住公式，還應該從公式的推導過程中去體會“倒序求和”、“錯位相減求和”、“拆項求和”等方法和技巧，進而把握“歸納、遞推” 、“化歸、轉化”等數學思想。數學思想方法是更高層次的抽象和概括，它能夠進行廣泛的遷移，形成解決數學問題的通性通法。又如整理“不等式的解法”時，如果只是機械地分類型羅列幾種解法，那么遇到一個陌生的不等式，仍然沒有辦法。只有當我們把握了解不等式的思想方法才能變化自如，融會貫通。梳理知識還應該注意一題多解、一題多變，不斷地比較和提煉，使方法最優化。應青年導報欄目編輯的邀請，下面，根據今年高考的考試大綱（或考試說明），結合同學們平時數學學習時的易忘、易錯、易混點，我和我的同事們一起對高中數學的一些知識點、技能點和一些重要的結論進行了一個比較全面的梳理，供同學們查漏補缺時參考。一 集合與函數1進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進行求解.2你會用補集的思想解決有關問題嗎？3求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？問題:、 、 的區別是什么？ 4絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么？5解一元一次不等式（組）的基本步驟是什么？問題:如何解不等式：？6三個二次（哪三個二次？）的關系及應用掌握了嗎？如何利用二次函數求最值？注意到對二次項系數及對稱軸進行討論了嗎？ 7簡單命題與復合命題有什么區別？四種命題之間的相互關系是什么？如何判斷充分與必要條件？問題：請舉例說明“否命題”與“命題的否定形式”的區別.8 什么是映射、什么是一一映射？問題：已知：A=1，2，3，B=1，2，3，那么可以作 個A到B上的映射，那么可以作 個A到B上的一一映射.9函數的表示方法有哪一些？如何判斷函數的單調性、周期性、奇偶性？單調性、周期性、奇偶性在函數的圖象上如何反應？什么樣的函數有反函數？如何求反函數？互為反函數的圖象間有什么關系？求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，你注明函數的定義域了嗎？問題：已知函數求函數的單調遞增區間.（你處理函數問題是是否將定義域放在首位） 問題：已知函數圖象與的圖象關于直線.10 如何正確表示分數指數冪？指數、對數的運算性質是什么？11 你熟練地掌握了指數函數和對數函數的圖象與性質嗎?問題：已知函數上，恒有，則實數取值范圍是： 。12你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎？（定義法、導數法）13如何應用函數的單調性與奇偶性解題?比較函數值的大小；解抽象函數不等式；求參數的范圍（恒成立問題）.這幾種基本應用你掌握了嗎？問題：寫出函數的圖象及單調區間.時,求函數的最值.這種求函數的最值的方法與利用均值不等式求函數的最值的聯系是什么？問題：證明“函數的圖象關于直線對稱”與證明“函數與函數的圖象關于直線對稱”有什么不同嗎？二 數列14如何判斷等差數列、等比數列？等差數列、等比數列的通項公式和求和公式如何推導？15解決等差（等比）數列計算問題通常的方法有哪兩種？ 基本量方法：抓住及方程思想；利用等差（等比）數列性質）.問題：在等差數列中，其前，的最小值； 16解決一些等比數列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎？17在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎？(時，應有)18解決遞推數列問題通常有哪兩種處理方法？（猜證法；轉化為等差（比）數列問題） 問題：已知: 19你知道存在的條件嗎？（,你理解數列、有窮數列、無窮數列的概念嗎？你知道無窮數列的前項和與所有項的和的不同嗎？什么樣的無窮等比數列的所有項的和必定存在？ 20一般數列的求和問題你能夠找到一些辦法嗎?(倒序相加法、錯位相減法、拆項裂項法)*21用數學歸納法證明問題的基本步驟是什么？你注意到“用數學歸納法證明中，必須用上歸納假設”嗎？1 自然數有關的命題常用數學歸納法證明，其步驟是：（1）驗證命題對于第一個自然數nn0 (kn0)時成立；(2)假設n=k時成立，從而證明當n=k+1時命題也成立，（3）得出結論.2.(1)、（2）兩個步驟在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據，二者缺一不可。第二步證明時要一湊假設，二湊結論.三三角函數22正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢？你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區別嗎？23角度與弧度如何換算？你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？24三角函數的定義及單位圓內的三角函數線（正弦線、余弦線、正切線）的定義你知道嗎?25誘導公式， 及二倍角公式你熟記了嗎？你會推導每個三角公式嗎？還記得某些特殊角（,等）的三角函數值嗎？26掌握正弦函數、余弦函數及正切函數的圖象和性質.你會寫三角函數的單調區間嗎？會寫簡單的三角不等式的解集嗎？(要注意數形結合與書寫規范,可別忘了），你是否清楚函數的圖象可以由函數經過怎樣的變換得到嗎？問題：如何把函數的圖象變成函數的圖象？如何把函數的圖象變成函數的圖象？27你會用五點法畫的草圖嗎？哪五點？會根據圖象求參數的值嗎？28.你會求三角函數的周期嗎？（先化簡再求）輔助角公式在求周期、化簡時起著重要作用：29在三角函數中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎？（先求出某一個三角函數值，再判定角的范圍）30.反三角的概念（反正弦函、反余弦函及反正切），你知道的含義嗎？31三角函數中的和、差、倍、降冪公式、輔助角公式在求值、化簡、和證明時“正用”及“逆用”、“變用”你都掌握了嗎？問題：已知求的變化范圍.四 平面向量32你熟悉平面向量的運算（和、差、實數與向量的積、數量積）、運算性質和運算的幾何意義嗎？33你通常是如何處理有關向量的模（長度）的問題？（利用；）34你知道解決向量問題有哪兩種途徑？（向量運算；向量的坐標運算）35你弄清“”與“”了嗎？問題：兩個向量的數量積與兩個實數的乘積有什么區別？（1） 在實數中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數量積中，若，且，不能推出.（2） 已知實數，且，則a=c,但在向量的數量積中沒有.（3） 在實數中有，但是在向量的數量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.36向量的平移公式、函數圖象的平移公式你掌握了嗎？37正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內的求值、化簡和證明恒等式有什么特點？五 不等式38不等式證明的基本方法你都掌握了嗎？（比較法；分析法；綜合法；數學歸納法）重要不等式是指哪幾個不等式？由它們推出的均值不等式串是什么？問題：若，求證.(注意方法)問題：若是不等邊三角形的三邊長，其面積為，外接圓半徑為1，求證:.問題：求證；若恒成立，求n的最大值.39利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正；二定；三等”.40解分式不等式應注意什么問題？用“根軸法”解整式（分式）不等式的注意事項是什么？41解含參數不等式怎樣討論？注意解完之后為什么要寫上：“綜上，原不等式的解集是”.問題：對一切恒成立，求的范圍.42你會用不等式解（證）一些簡單問題嗎？43處理不等式恒成立問題有哪些常用的方法？六解析幾何44直線的斜率公式、點到直線的距離公式、到角公式、夾角公式你記住了嗎？45何為直線的方向向量？直線的方向向量與直線的斜率有何關系？46在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況？問題：截距是距離嗎？“截距相等”意味著什么？47.解決線性規劃問題的基本步驟是什么？請你注意解題格式和完整的文字表達.（設出變量，寫出目標函數寫出線性約束條件畫出可行域作出目標函數對應的系列平行線，找到并求出最優解應用題一定要有答。）48你知道解決直線與圓的位置關系問題常常利用圓心到直線的距離嗎？直線與圓錐曲線的位置關系怎樣判斷？49三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質你掌握了嗎?50利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序？如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式？如何應用焦半徑公式？51用圓錐曲線方程與直線方程聯立求解時，在得到的方程中你注意到這一條件了嗎？圓錐曲線本身的范圍你注意了嗎？52曲線與直線相交時，弦長如何求，弦長公式你記得嗎？53解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎？題目中是否已經有坐標系了，是否需要建立直角坐標系？54求軌跡的幾種基本方法是什么？每一種方法的基本步驟是怎樣的？55圓、和橢圓的參數方程是怎樣的？常用參數方程的方法解決哪一些問題？七立體幾何56平面的基本性質是什么？（三個公理，三個推論）57上述各個公理和推論的意義和作用是什么?(請注意在表示點、線、面之間的關系時的符號的規范性.)問題：三個平面兩兩相交，有三條交線，證明：這三條交線兩兩平行或相交于一點.問題：已知：證明：a、b、c、d共面.58你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎？（斜二測畫法）。59理解空間兩直線位置關系分類方法，掌握平行直線的性質（公理4），理解異面直線的概念和判定定理.你知道如何證明空間兩直線的位置關系嗎？（相交、平行和異面） 60線面平行和面面平行的定義、判定和性質定理你掌握了嗎？線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯系和轉化在解決立幾問題中的應用是怎樣的？每種平行之間轉換的條件是什么？ 61線面垂直和面面垂直的定義、判定和性質定理你掌握了嗎？線線垂直、線面垂直、面面垂直這三者之間的聯系和轉化在解決立幾問題中的應用是怎樣的？每種垂直之間轉換的條件是什么？62三垂線定理及其逆定理你記住了嗎？63求線面角的關鍵是什么？（找直線的射影）.異面直線所成的角如何求？64你知道從確定平面外一點向平面作射影的三種常用方法嗎？（面面垂直線面垂直；從角的頂點出發引角所在平面的一條斜線，若該斜線與角的兩邊成等角，則該斜線在此平面上的射影是角平分線所在直線；利用特殊三棱錐頂點在底面上射影的位置）65你知道作二面角的平面角的主要方法是什么？（定義法、三垂線定理、垂面法）66你知道公式：和中每一字母的意思嗎？能夠熟練地應用它們解題嗎？67空間向量的意義及其向量的加減、數乘、數量積運算的法則是什么？向量共線、共面、垂直的充要條件是什么？68空間向量的基本定理.空間任一向量可由空間基向量唯一表示出來.你知道利用向量解決幾何問題的一般步驟是什么？ 69空間向量的夾角的坐標運算公式.你知道如何運用夾角公式求直線與平面所成的角、直線與平面內的直線所成的角、二面角及其平面角嗎？請注意這些角的意義、求法和角的取值范圍. 70空間向量的距離的坐標運算公式.分清幾個距離的意義和計算方法（公式）. 你知道如何運用距離公式求點到直線的距離、直線到與直線平行的平面的距離、兩個平行平面間的距離、異面直線間的距離嗎? 71你知道異面直線上兩點間的距離公式如何運用嗎？72棱柱及其性質、平行六面體與長方體及其性質、長方體對角線定理及其證明.這些知識你掌握了嗎?（注意運用向量的方法解題）73棱錐及其性質、正棱錐及其性質、正多面體的種類你掌握了嗎?74球及其性質；地球經度線和緯度線的意義、球面距離的求法；球的表面積和體積公式. 這些知識你掌握了嗎?八 排列、組合和概率75你掌握了解決排列、組合應用題的常見方法嗎？（考慮特殊元素；考慮特殊位置；捆綁法；插入法；先選后排法；排除法；列舉法.）76二項式展開式的通項公式記得嗎？用賦值法求出二項展開式的奇次項系數之和與偶次項系數之和，你還記得嗎？77你掌握了三種常見的概率公式嗎？（等可能事件的概率公式；互斥事件有一個發生的概率公式；相互獨立事件同時發生的概率公式.）問題：某人每次射擊擊中的概率是0.2,射擊中每次射擊的結果是相互獨立的，求他在10次射擊中擊中目標的次數不超過5次的概率.78次獨立重復試驗中某事件恰好發生次的概率公式為，你在運用時有過差錯嗎？*79理解隨機變量，離散型隨機變量的定義，你能夠寫出離散型隨機變量的分布列嗎?X1X2XnPP1P2Pn（1）期望值E x1p1 + x2p2 + + xnpn + ; （2）方差D ;(3)標準差；問題：某人每次投籃投中的概率為0.1,每次投籃的結果是相互獨立的，求他首次投籃投中時所需要投籃次數的分布列及他在5次內投中的概率.*80.你知道二項分布的定義和有關性質嗎?B(n，p)，其中n,p為參數，記為:；二項分布是一種常見的離散型隨機變量的分布，比如投硬幣，投骰子 ，射擊等等。怎樣的離散型隨機變量服從二項分布？又二項分布的期望與方差分別是什么？（若B（n,p）,則Enp, Dnpq,這里q=1- p）.81你知道哪幾種常見的抽樣方法？它們各自的特點及適用范圍是怎樣的？（1） 簡單隨機抽樣（包括抽簽法和隨機數表法）；（2） 系統抽樣，也叫等距離抽樣；（3）分層抽樣，常用于某個總體由差異明顯的幾部分組成的情形.82.如何對總體分布進行估計?(用樣本估計總體，是研究統計問題的一個基本思想方法，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確，要求能畫出頻率分布表和頻率分布直方圖；理解頻率分布直方圖矩形面積的幾何意義.)*83你還記得一般正態總體如何化為標準正態總體嗎？（對任一正態總體來說，取值小于的概率，其中表示標準正態總體取值小于的概率）*84兩個變量之間的關系有哪兩種？（函數關系；相關關系.）你知道對于具有相關關系的兩個變量的一組觀測值，如何求出的回歸直線方程嗎？*85.你了解假設檢驗的基本思想嗎? （1） 提出統計假設，確定隨機變量服從正態分布；（2） 確定一次試驗中的取值a是否落入范圍；（3） 作出推斷：如果a，接受統計假設； 如果 a由于這是小概率事件，就拒絕假設； (4) 相關系數r,衡量變量y與x之間的相關程度，|r|1,且|r|越接近于1，相關程度越大；且|r|越接近于0，相關程度越小.九導數及其應用*86你理解數列極限的定義嗎? 你會求一些簡單數列的極限嗎?（1） 掌握數列極限的直觀描述性定義；（2） 掌握數列極限的四則運算法則，注意其適用條件：一是數列anbn的極限都存在；二是僅適用于有限個數列的和、差、積、商;（3） 對于無窮數列的和（或積），應先求和（或積），再求極限；（4） 常用的幾個數列極限：（C為常數）；;（1,q為常數）. （5） 無窮遞縮等比數列各項和公式:（0）.*87. 你理解函數的極限嗎? 你會求一些簡單函數的極限嗎?（1）當x趨向于無窮大時，函數的極限為a .（2）當時函數的極限為a.(3)掌握函數極限的四則運算法則.*88. 你理解函數的連續性嗎?(1)如果對函數f(x)在點x=x0處及其附近有定義，而且還有，就說函數f(x)在點x0處連續；（2）若f(x)與g(x)都在點x0處連續，則f(x)g(x),f(x)g(x),(g(x)0)也在點x0處連續；（3）若u(x)在點x0處連續，且f(u)在u0=u(x0)處連續，則復合函數fu(x)在點x0處也連續；(4)連續函數的極限運算:如果函數在點x0處有極限，那么.89.在點處可導的定義你還記得嗎？（或）存在）它的幾何意義和物理意義分別是什么？利用導數可解決哪些問題？具體步驟還記得嗎？90你會用“在其定義域內可導，且不恒為零，則在某區間上單調遞增（減）對恒成立。”解決有關函數的單調性問題嗎？91你知道“函數在點處可導”是“函數在點處連續”的什么條件嗎？ 92. 你知道導數有哪一些應用?93. 你知道求可導函數最大值與最小值的步驟嗎?求可導函數極值的步驟：求導數；求方程的根和使不存在的值；檢驗在方程的根和使不存在的的左右的符號，如果左正右負，那么函數在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么函數在這個根處取得極小值.求可導函數最值的步驟：求在內的極值；將在各極值點的極值與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個是最小值.十復數*94.你了解復數、實數、虛數、純虛數、模、共軛復數的概念和復數的幾何表示嗎?*95.請你熟練掌握、靈活運用以下結論：(1) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR);(2) 復數是實數的條件： z=a+biRb=0 (a,bR); zRz=; zRz20;*96.復數是純虛數的條件你知道嗎? z=a+bi是純虛數a=0且b0(a