衡水中學20132014學年度第一學期高二年級五調考試數學試卷（理科） 第i卷 選擇題 （共60分）一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，下列每小題所給選項只有一項符合題意.)1. 當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限【答案】d解析， 選d2. 已知，若 (a , b) , 則（ ）a、a=5, b=24 b、a=6, b=24 c、a=6, b=35 d、a=5, b=35 【答案】c解析3.某人進行了如下的“三段論”推理：如果，則是函數的極值點，因為函數在處的導數值，所以是函數的極值點。你認為以上推理的（ ）a. 小前提錯誤 b.大前提錯誤 c. 推理形式錯誤 d. 結論正確【答案】b解析如果，則是函數的極值點，是錯誤的， 所以大前提錯誤。4設是定義在正整數集上的函數,且滿足:“當成立時，總可推出 成立”，那么，下列命題總成立的是a.若成立，則成立 b.若成立，則當時，均有成立 c.若成立，則成立 d.若成立，則當時，均有成立【答案】d解析只有d符合題意。5.已知結論:“在正中，中點為，若內一點到各邊的距離都相等,則”若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體中，若的中心為，四面體內部一點到四面體各面的距離都相等，則（ ） a1 b2 c3 d4【答案】c解析設om=r,三角形bcd面積為s，的高為則6.設定點，動點滿足條件，則動點的軌跡是（ ）.a. 橢圓 b. 線段 c. 不存在 d.橢圓或線段或不存在 【答案】d解析根據橢圓的定義，當時，動點的軌跡是橢圓, 當時，動點的軌跡是線段,當時，動點的軌跡不存在.7. 下列說法：命題“存在” 的否定是“對任意的”；關于的不等式恒成立，則的取值范圍是；函數為奇函數的充要條件是；其中正確的個數是（ ） a3 b2 c1 d0【答案】b解析正確8.函數，為f(x)的導函數，令a，blog32，則下列關系正確的是()af(a)f(b) bf(a)f(b)cf(a)f(b) df(|a|)f(b) 【答案】a解析，故是減函數，所以，故選a9.已知定義在r上的奇函數f(x)，設其導函數為f(x)，當x(，0時，恒有xf(x)f(2x1)的實數x的取值范圍是() a.(2,1) b.c. d.(1,2) 解析【答案】d因為f(x)xf(x)是偶函數，時，f(x)是增函數，由f(3)f(2x1)得10設a0,b0.（ ）a若,則abb若,則ab d若,則ab【答案】a解析構造函數所以是增函數，故選a11.已知橢圓的左、右焦點分別是，點p在橢圓上. 若p、是一個直角三角形的三個頂點，則點p到x軸的距離為（ ）a. b. c. d. 或【答案】c解析當或時，可得或則點p到x軸的距離為，當，可得點p到x軸的距離為舍去。故選c12.已知為定義在上的可導函數，且對于恒成立，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a解析構造函數,所以為減函數，可知選a第卷 非選擇題 （共90分）二、填空題 （本大題共6個小題，每小題5分，共30分）13. 若復數 是純虛數，則m= .【答案】：2解析是純虛數14.過拋物線的焦點f作傾斜角為30的直線，與拋物線分別交于a、b兩點(點a在y軸左側)，則 【答案】：解析過a，b分別做準線的垂線ac,bd，過a做bd的垂線ah,設|af|=m, |bf|=n,根據拋物線定義，知|ac|=m,| bd|=n, | bh|=n-m,在三角形abh中，角bah等于30度，所以，m+n=2(n-m).故，即.15.計算= 【答案】：-1解析0-1= -116. 橢圓中有如下結論：橢圓上斜率為1的弦的中點在直線 上，類比上述結論得到正確的結論為：雙曲線上斜率為1的弦的中點在直線 上【答案】：解析運用類比思想17. 將正整數排成下表：.則數表中的2008出現在第 行. 【答案】：45 解析因為每行的最后一個數分別為1，4，9，16，所以由此歸納出第n行的最后一個數為n2因為442=1936，452=2025，所以2008出現在第45行上故答案為：45 18. 對于三次函數給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”，某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心。給定函數，請你根據上面探究結果，計算= . 【答案】：2012解析對稱中心的坐標是故=三、解答題（共5個小題，每題 12分,共60分）19. 用數學歸納法證明等式：對于一切都成立【答案】：用數學歸納法證明解析（1）當n=1時，左邊= ，右邊=，等式成立。（2）假設n=k時，等式成立，即=，那么n=k+1時，=20. 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，是線段上的點，是線段上的點，且（）當時，證明平面；（）是否存在實數，使異面直線與所成的角為？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】：（）略（）解析建立空間直角坐標系可得21.已知ar，函數f(x)(x2ax)ex(xr，e為自然對數的底數)(1)當a2時，求函數f(x)的單調遞增區間；(2)若函數f(x)在(1,1)上單調遞增，求a的取值范圍【答案】：(1)函數f(x)的單調遞增區間是(，)，(2) a解析解.已知ar，函數f(x)(x2ax)ex(xr，e為自然對數的底數)(1)當a2時，求函數f(x)的單調遞增區間；(2)若函數f(x)在(1,1)上單調遞增，求a的取值范圍(1)當a2時，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.函數f(x)的單調遞增區間是(，) (2)函數f(x)在(1,1)上單調遞增，f(x)0對x(1,1)都成立f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，x2(a2)xaex0對x(1,1)都成立ex0，x2(a2)xa0對x(1,1)都成立即ax1對x(1,1)都成立令yx1，則y10，yx1在(1,1)上單調遞增，y11，a.22. 已知曲線都過點a（0，1），且曲線所在的圓錐曲線的離心率為.（）求曲線和曲線的方程；（）設點b,c分別在曲線，上，分別為直線ab,ac的斜率,當時，問直線bc是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由. 【答案】：（）曲線的方程為（）曲線的方程為（） （）過定點（0,1）解析（）由已知得， 2分所以曲線的方程為（） 3分曲線的方程為（）-4分（）將代入，得 -5分設所以b-7分將代入，得 設, 8分 因為，-10分 故bc的方程為，bc過定點（0,1）。12分11分23.已知函數.(1) 判斷函數f（x）在（0，上單調性；(2) 若恒成立, 求整數的最大值；(3) 求證：.【答案】：(1)上是減函數 (2)