目 錄待定系數法常數變異法冪級數法特征根法升階法降階法關鍵詞：微分方程，特解，通解，二階齊次線性微分方程常系數微分方程 待定系數法解決常系數齊次線性微分方程特征方程 (1) 特征根是單根的情形設是特征方程的的個彼此不相等的根，則相應的方程有如下個解： 如果均為實數，則是方程的個線性無關的實值解，而方程的通解可表示為如果方程有復根，則因方程的系數是實系數，復根將成對共軛出現。設是一特征根，則也是特征根，因而與這對共軛復根對應，方程有兩個復值解它們的實部和虛部也是方程的解。這樣一來，對應于特征方程的一對共軛復根，我們可求得方程的兩個實值解（2） 特征根有重跟的情形若特征方程的重零根，對應于方程的個線性無關的解。若這個重零根設特征根為其重數為。方程的解為對于特征方程有復重根的情況，譬如假設是重特征根，則也是重特征根，可以得到方程的個實值解例1 求方程的通解。解 特征方程的根為有兩個實根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數。例2 求解方程 的通解。解 特征方程的根為有兩個復根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數。某些變系數線性齊次微分方程的解法（1） 化為常系數1. 在自變量變換下，可化為常系數的方程一類典型的方程是歐拉方程 我們想找一個變換，使方程的線性及齊次性保持不變，且把變系數化為常系數。根據方程本身的特點，我們選取自變量的變換，并取，即變換 就可以達到上述目的（這里設，當時，取，以后為確定起見，認為）。事實上，因為代入方程，則原方程變為方程常系數二階線性微分方程，由 上可求得方程的通解。再變換，代回原來的變量，就得到原方程的通解。例 求方程的通解解 此方程為歐拉方程，令，則由知，原方程化為 其特征方程為特征根為，故方程的通解為換回原自變量，則原方程的通解為2. 在未知函數的線性齊次變換下，可化為常系數的方程現在考慮二階變異系數線性方程 的系數函數滿足什么條件時，可經適當的線性齊次變換化為常系數方程。這里是待定函數。為此，把代入方程，可得到欲使為常系數線性齊次方程，必須選取使得及的系數均為常數。特別地，令的系數為零，即可求得再代入，整理之，得到 由此可見，方程可經線性齊次變換化為關于的不含一階導數項的線性齊次方程，且當的系數為常數時，方程為常系數方程。因方程在形如的變換下，函數的值不會改變，故稱為方程的不變式。因此，當不變式為常數時，方程可經變換化為常系數線性齊次方程。例求方程的通解解 這里，因故令就可把原方程化為常系數方程可求得其通解為代回原變量，則得原來方程的通解為（二）降階的方法 處理一般高階微分方程的基本原則是降階，即利用適當的變換把高階方程的求解問題轉化為較低階方程的求解問題。具體參考常微分方程的思想與方法，這里只討論二階的。已知的一個特解，試求該方程的通解解 作變換，則原方程可化為一階線性微分方程求解，得所以原方程的通解為法二 設是方程的任一解，則有劉維爾公式得其中常數，亦即以積分因子乘上式兩端，就可推出積分上式可得到例 求方程的通解解 由觀察知方程有一特解，令則，代入方程，得再令，得一階線性齊次方程從而可得取便得原方程的另一解顯然，解線性無關，故方程的通解為冪級數法考慮二階線性微分方程及初值及的情況可設一般性，可設，否則，我們引進新變量，經此變換，方程的形式不變，但這時對應于的就是了.因此總認為. 定理 若方程中的系數和都能展成的冪級數，且收斂區間為,則方程有形如的特解，也以為級數的收斂區間.定理 若方程中的系數和都能展成的冪級數，且收斂區間為,則方程有形如的特解，也以為級數的收斂區間.定理 若方程中的系數和具有這樣的性質，即和都能展成的冪級數，且收斂區間為,若，則方程有形如的特解，是一個待定的常數.級數也以為級數的收斂區間.例 求方程的滿足初值條件及的解解 設 為方程的解.利用初值條件，可以得到因而將的表達式代入原方程，合并的同次冪的項，并令各項系數等于零，得到因而最后得對一切正整數成立.將的值代回就得到、這就是方程滿足所給初值條件的解.例用冪級數解法求解方程解 因為，所以在的鄰域內有形如的冪級數解.將代入原方程，得比較的同次冪的系數，得解得 所以，原方程的通解為即方程組的消元法 在某些情形下，類似于代數方程組的消元，我們可以把多個未知函數的線性方程組化為某一個未知函數的高階微分方程來求解例 求解線性微分方程組解 從第一個方程可得 把它代入第二個方程，就得到關于的二階方程式不難求出它的一個基本解組為把和分別代入式，得出的兩個相應的解為由此得到原來微分方程組的通解為其中和為任意常數二階非齊次線性微分方程待定系數法常用于解決常系數非齊次線性微分方程類型一 的特解，其中為特征方程的根的重數(單根相當于；當不是特征根時，取),而.類型二 的特解，其中為特征方程的根的重數，而均為待定的帶實系數的次數不高于的的多項式，.求方程的通解解 先求對應的齊次線性微分方程的通解.這里特征方程有兩個根.因此，通解為，其中為任意常數.再求非齊次線性微分方程的一個特解.這里又因為不是特征根，故可取特解形如,其中待定常數.為了確定A,B,將代入原方程，得到，比較系數得由此得從而因此，原方程的通解為求方程的 通解.解 特征方程有重根，因此，對應的齊次線性微分方程的通解為其中為任意常數.現求非齊次線性微分方程的一個特解.因為不是特征根，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到比較同類項系數得從而因此原方程的通解為方法二由方法一知對應的齊次線性的通解為為求非齊次線性微分方程的一個特解，我們先求方程 的特解.這是屬于類型一，而不是特征根，故可設特解為分出它的實部于是原方程的通解為注：對于這是因為，求的通解.對應的齊次方程的特征方程為即得特征根為對應方程，設其特解為代入方程則的即方程的一個特解為對應方程，設其特解為代入方程則的 即方程有一個特解為對應方程，設其特解為代入方程則的 即方程有一個特解為所以原方程的通解為這里是任意常數.升階的方法升階是常微分方程很少提到的一種方法，這是因為隨著階數的升高，一般會使得求解更為繁瑣，但適當運用這種方法，在有些情況下也可以受到事半功倍的效果.升階法往往用于求常系數非齊次線性微分方程，具體分析見參考文獻【9】 例 用升階法求方程的一個特解 解 兩邊同時逐次求導，直到右邊為常數，得令，則代回原方程，得，解之，有，該表達式幾位方程的一個特解. 例 用升階法求方程的一個特解解 先求解方程，令，代入方程，得，取，進一步取，則其虛部函數為原方程的一個特解，即可求得原方程的一個特解為 常數變易法定理 如果是區間上的連續函數，是區間上齊次線性微分方程的基本解組，那么，非齊次線性微分方程的滿足初值條件的解有下面公式給出這里是的朗斯基行列式，是在中的第列代以后得到的行列式，而且非齊次方程的任一解都具有形式這里是適當選取的常數.特別地，當時的特解為其中因此，當時，常數變易公式變為 而通解就是 法二設是方程的基本解組，當滿足以下條件時，是方程的通解，滿足條件的，則為二階非齊次線性微分方程的通解例 試求方程的一個解解 易知對應的齊次線性微分方程的基本解組為我們直接利用公式來求方程的一個的一個解。這時取是對應的齊次線性微分方程的一個解，所以函數也是原方程的一個解。 218頁13題165頁6題參考文獻1王高雄 周之銘 朱思銘 王壽松編 高等教育出版社 常微分方程第三版2丁同仁，李承志.常微分方程教程 .北京： 高等教育出版社3都長清