“變換”出彩摘要：數學家亞格龍將幾何學定義為：幾何學是研究幾何圖形在運動中不變的那些性質的學科。可見“變換”的運動觀點在幾何學中是很重要的。幾何變換是指把一個幾何圖形f1變換成另一個幾何圖形f2的方法。初中階段涉及了四種變換，其中“軸對稱、平移、旋轉”變換后所得的新圖形f2與原圖形f1之間僅僅是位置發生了變化，其形狀和大小都沒有改變，它們刻畫了兩個全等圖形特定的位置關系，而相似變換保留了幾何圖形f1與f2線段間的比例關系，而圖形本身的大小要改變。 不同變換之下的圖形都具有各自不同的性質，這些性質不僅能為推理提供依據，同時也是解決許多實際問題的重要工具。本文旨在從解題方法與策略入手，通過實例來探討這幾種變換的應用。一、平移變換通過平移把部分圖形搬到新的位置，使問題的條件相對集中，從而使條件與代求結論之間的關系明朗化，促使問題的解決。平移變換應用時，可采用下列的方法把圖形中的某個條件平移把結論中的線段、角或圖形平移把圖形中的某個條件和結論同時平移例1：如圖，在一塊長20m，寬10m的矩形地面上，修建兩條寬度分別是2m和3m的小路且小路的寬度處處相等，其余部分栽種花草，求花草的面積。3m2m分析：此類題目較常見，只需抓住小路的寬度處處相等，把四塊不規則的草地圖形通過平移，拼成一個長為17m寬為8m的長方形，其面積即為花草面積。屬于方法中的，把不規則的部分圖形通過平移后能夠重整為一個規則或易求的幾何圖形，這也提供了一個求面積的方法。cabdoe例2：如圖，ab=cd=1，bod=60求證：ac+bd1分析：如圖添輔助線，平移ac至de，構造了bde，由平移性質bae=bod=60，四邊形deac是平行四邊形，所以ab=cd=1=ae=be，在bde中，bd+debe；當ac/bd時bd+de=be。此題由結論出發，聯想到應用三角形的三邊不等關系，通過把圖形中的線段ac平移，使得ac、bd兩條線段集中到一個三角形中，充分利用了平移是全等變換的特性。例3：以浙教版七年級（下）課后作業題中的造橋選址問題引出：如圖在ab之間有兩條河，則兩條河上的橋（橋與岸垂直）分別建在何處才使a到b的路程長最短？河1與河2平行 河1與河2不平行 河1與河2垂直分析：以為例，此題利用作業題中的造橋選址問題進行類比聯想，設法將兩條河都轉化為沒有寬度的直線，即將a向下平移河1的寬度至a1，將b向上平移河2寬度至b1，連結a1、b1，交兩河于c、e，再作垂線段cd、ef，即為所求作的兩座橋。通過平移在河上造橋問題也就轉化為在直線上找點的問題了，由“兩點之間線段最短”可知兩直線的交點就是該點的位置。、兩題的作法同理。由上幾例的計算、證明和作圖中，我們不難發現平移變換常與平行線相關，往往要用到平行四邊形的性質；平移變換還可將角、線段、圖形等移到適當的位置，使得分散的條件相對集中，便于我們運用公式、定理等來解決問題。二、旋轉變換遇到下列情形中常實施旋轉變換：圖形中出現等邊三角形或正方形，把旋轉角定為60或90圖中有線段的中點，將圖形繞中點旋轉180，構造中心對稱的全等圖形 圖中出現了公共端點的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點旋轉兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合。例4：如圖，abc中，c=90，四邊形edfc是正方形，ad=6，db=3，求陰影部分的面積和。分析：通過求直角邊ae、ed、df、bf來求面積：設正方形edfc的邊長為x,則df=x,又由aeddfb得bf=x/2，所以x2+(x/2)2=32,隨即可求出ae、df的長，完成此題。此法綜合運用了相似、勾股定理和列方程的思想，較繁瑣，此題屬于，如果根據de=df，deh=dfb=90，可將dfb繞著點d逆時針旋轉90得到deh，必有a、e、h共線，adh=90，再根據旋轉不變性dh=db=3，原圖形中的兩塊陰影部分就合并成了邊長為6和3的直角三角形，利用直角三角形的面積公式直接可算得為9，省去了解方程的計算。例5：如圖，abc中，d是bc的中點，dedf，判斷be+cf與ef的大小關系，并證明你的結論。分析：以d為旋轉中心，將bde逆時針旋轉180得到cdp，由已知可得ef=pf，在cfp中，cp+cffp,所以be+cfef。這里從所比較的線段入手，利用旋轉把他們集中于一個三角形中之中，此題屬于例6：如圖，四邊形abcd中，ab=ad，(1)bad=bcd=90， bc=b,cd=a,求ac(2) bad=60,bcd=30 ,bc=5,cd=3,求ac(3) bad=90,bcd=30 bc=5,cd=3,求ac（1）（3）（2）分析：此三小題目中均出現了公共端點的線段ab、ad，根據將含有相等線段ab、ad繞公共端點a旋轉兩相等線段的夾角90、60、90后與另一相等線段重合，分別得到了斜邊是a+b的等腰rtacc、直角邊長是3和5的rtcbc、邊長是3、5及夾角是120的斜dcc，再通過解三角形得到（1）（2）（3）因此依據的方法，可以構出如圖的基本模型，解兩個三角形dcc和頂角為a的等腰三角形acc必可解出ac的值。三、相似變換從變換的角度來說，相似圖形是將經位似變換所得的像進行平移后得到的。探索相似多邊形的性質，能利用位似將一個圖形放大或縮小。從實際操作意思上講可以利用位似的性質作出一個多邊形的內接圖形。例7：作出abc的內接等邊三角形、內接正方形分析：利用位似的方法，可以把一個多邊形放大或縮小。為了使作圖方便，位似中心可取b點，在ab、bc上分別取一點d、e，以de為邊做一個等邊def，利用位似變換的作圖方法，把def放大或縮小，使def的各頂點分別落在abc上,當然若d、e兩點取的位置不同，作出def的位置可能也不同，大小也不同。類似方法也可以作出abc的內接正方形。四、軸對稱變換我們在解題時應當充分利用問題自身條件的某些對稱性分析問題，在探究幾何及代數式的最值方面有廣泛的應用。牛飲水、彈子游戲、平面成像、光線的反射、斯諾克臺球（可通過撞擊桌壁的一邊、兩邊、三邊來擊中另一個球等），利用圖形的軸對稱性是解決此類問題的主要工具，由于這些問題比較常見，這里不再贅述。下面通過一個例子來說明平移、軸對性和線段公理綜合運用的一個模型。例8：如圖在平面直角坐標系中，a(2,3),b(5,-2),m、n是在x軸上，p、q是在y軸上，mn=pq=1（m在n的左側，p在q的上方）求下列路徑的最小值。 分析：題就是牛飲水問題，即在y軸上選一點p，使得ap+pb最小。如圖2，作a關于y軸的對稱點a，連結ab交y軸于p，所以最短路徑長為ab=題如圖3，因為mn是定長1，于是把b向左平移1個單位長度，可類似的想象成m、n縮成了一點，所以又轉化為題，在y軸上找一點p，使得ap+pb最小，最短路徑長為ab+mn= 如圖4，與類似，pq為定長1的線段且在y軸上，只需作a的對稱點a并將其向下平移一個單位，轉化為求a與b之間的最短距離，所以可得最短路徑為ab+pq=+1此模型賦予它具體的背景就可以用來解決例如以下的實際問題：如圖河岸l同側有a、b兩個居民小區，現計劃在河邊建一個長a米寬b米的矩形公園（公園用cdef表示，de邊與河岸重合,cf=a米,cd=b米）c、f處分別是公園的大門(門口寬度忽略不計),怎樣建才能使小區a到大門c的距離與小區b到大門f的距離之和最小? 解析：因為公園一邊與河岸重合，所以對邊在平行于河岸且與河岸的距離為b的直線上，所以將l向上平移b米距離得l1，將b向左平移a米距離至b1，按牛飲水的作法找到c，再將c向右平移a米距離即為f，過c、f分別作l的垂線，垂足分別為d、e，則cdfe即為所建的矩形公園，連結ac、bf，滿足ac+bf最小。軸對稱性在求一類代數式的最小值問題中也有應用。例9：已知a,b均為正數，且a+b=2, 求的最小值分析：若用代數方法很難解決，這里可以運用數形結合的思想將代數式構建一個幾何圖形。如圖，探究原代數式的幾何意義，先構造兩個邊長為2和 a及1和4-a的直角三角形，它們的斜邊長之和就是w，要求w的最小值，就是要在線段ab上